Giải Toán 10: Bài ôn tập cuối năm

BÀI TẬP ỒN CUỐI NĂM
BÀI 1
Cho hai vectơ a và b , có |a| = 3, ịb| = 5 và (a , b ) = 120°.
Với giá trị nào của m thì hai vectơ a+mb và a~mb vuông góc với nhau?
Giải
Ta có: a + mb vuông góc a - mb (a+mb).(a-mb) = o
-2 „-.2 3 a -mb = 0	9 - 25m2 - 0 m = ± -p.
BÀI 2
Cho tam giác ABC và hai điểm M, N sao cho AM = aAB ; AN = pAC •
2 2
Hãy vẽ M, N khi a - 3; p = - 3.
Hãy tìm mốì liên hệ giữa a và p đế MN // BC.
Giải
Với am = A AB	=> ĂM và ÃB là vectơ cùng hướng và AM = -T AB
blTacó: ĂM = ccÃB
ĂN = pÃC
=> ÃM - ÃN = ctÃB - pÃC =>	MN = aÃB - pÃC
=>	MN = c^ÃB-|ãcÌ a^o
Ta cũng có BC = -(ÃB - ÃC)
Do đó để MN // BC thì AB - AC và AB - — AC phải cùng phương, cho a
ta — = 1 =>p = ct ct
BÀI 3
Cho AABC là tam giác đều cạnh a, M là một điếm trên đường tròn ngoại tiếp AABC.
Tính MA2 + MB2 + MC2 theo a.
Cho đường thẳng d, tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 nhò nhất.
Giải
Do A ABC đều nên trọng tâm G của AABC trùng với tâm o cua đường tròn ngoại tiếp AABC ngoài ra theo định lí sau ta có:
-7^— = 2R => R = a0 = —= A, sin A	2 sin 60	73	73
= ^ + ^ + 20M.0A (MO = OA = R) o o
2fl2	■■
=	+ 20M.0A	(1)
3
Tương tự ta có: MB = —— + 2OM.OB	(2)
o
MC = =?- + 20M.0C	(3)
3
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có:
MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 + 2ÕM(ÕẨ + ÕB + ÕC) = 2a2
(Do ÕA + ÕB + ÕC = Õ).
Gọi G là trọng tâm của tam giác ta có:
NA = NG + GA
=> NA2 = GA2 + 2NG.GA + GA2 Tương tự ta có:	•
NB2 = NG2 + 2NG.GB + GB2 NC2 - NG2 + 2NG.GC + GC2
/	/— \ 2
2 aVP
= az
3' 2
=> NA2 + NB2 + NC2 = 3NG2 + 2NG(GA + GB + GC) + GA2 + GB2 + GC2 Vì G là trọng tâm của tam giác nên GÃ + GB + GC = õ GA2 + GB2 + GC2 = 3.GA2 = 3.
=> NA2 + NB2 + NC2 = a2 +3NG2 a2 là số không đổi nên tổng NA2 + NB2 + NC2 nhỏ nhất khi NG đạt
giá trị nhỏ nhất. Vì NG là khoảng cách từ G đến điểm N thuộc đường thẳng d nên NG nhỏ nhất khi NG ± d hay N là hình chiếu của trọng tâm G trên đường thẳng d.
BÀI 4
Cho AABC đều cạnh 6 (cm), M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2 (cm).
Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính cosin của góc BAM.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AABM.
Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh c của AACM.
Tính diện tích AABM.
Giải
.	, AB „
Ap dụng định lí sin trong AABC ta có:	c -
R= 6_1_3 6 =27
2. sin 60°	7|	73
2
a) Áp dụng định lí cosin trong AABM ta có:
AM2= AB2 + BM2 - 2AB.BMcosB
= 36 + 4 - 24.cos60° = 28 => AM = 277 • AB2 + AM2 - BM2 36 + 28-4	60
cosBAM
_ 36 + 28-4	60	5
2.6.277 - 2477 - 277
2AB.AM
b) Gọi Rj là bán kính đường tròn ngoại tiếp AABM, theo định lí sin ta có:
AM
sinB
= 2Rj
R, =
AM
277
2sinB 2. sin 60°
(cm>
Gọi mc là độ dài trung tuyến vẽ từ c của AACM, ta có:
, AC2+MC2	AM2	36 + 16	28	_
m2 = 	7-	——-	= — 	^7	=	26 - 7 =	19
c	2	4	2	4
=> mc = 7Ĩ9 (cm)
dt(AABM) = ^BA.BM.sinB = |.6.2.sin60° = 6.^ = 373 (cm2).
ắỉ	Á
BÀI 5
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
a = b.cosC + c.cosB
sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
ha = 2R.sinB.sinC
Giải
a) Áp dụng định lí COS ta có:
„2	. L2	2	2	, „2	1 2
b.cosC + c.cosB
, 3. 4- D — c 3 + c — u
b.	-—-	h c.	
2.ab	2.ac
a2+b2-c2+a2+c2-b2	2a2	_	'
	 2T	= 27 = a '
b) Theo a), ta có: a = b.cosC + c.cosB (1), áp dụng định lí sin ta có: a = 2R.sinA, b = 2R.sinB, c = 2R.sinC
Thay vào (1) ta có: 2RsinA = 2R.sinB.cosC + 2RsinC.cosB sinA = sinB.cosC + sinC.cosB (đpcm)
c) Theo công thức tính diện tích ta có: S;4AĨ5r, = — a.h
Mặt khác:	s
AABC 2	a
-"AABC
= -b.c.sinA = -be.— 2 ồ A 2 b 2R
(2)
=> ha =	= 2RsinB.cosC (đpcm)
Từ(l)và(2)^|a.h,= jbc.^ b.c
BÀI 6
Cho các điểm A(2; 3), B(9; 4), M(5; y) và P(x; 2)
Tìm y để AABM vuông tại M.
Tìm X để 3 điểm A, p, B thẳng hàng.
Giải
a) Ta có: ÃM = (3; y - 3); MB = (4; 4- y)
AABM vuông tại M khi và chỉ khi AM . MB = 0
	3.4 + (y - 3)(4 - y) = 0	-» 12 + 4y - y2 - 12 + 3y = 0
y - 7y = 0
.y = 7
'y = 0
b) Ta có: AB = (7; 1), AP = (x - 2; -1)
Ba điểm A, p, B thẳng hàng khi và chỉ khi 3k sao cho: Ãg = k. ÃP
Í7 = k.(x-2)
|7 = -x + 2 k = -l
[1 = k(-l)
Vậy với X = -5, thì ba điểm A, p, B thẳng hàng.
BÀI 7
X = —5 k = -l
Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình đường thẳng AB, BH và AH lần lượt là:
4x + y - 12 = 0, 5x - 4y - 15 = 0 và 2x - 2y - 9 = 0
Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
A
Giải
Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ:
4x + y-12 = 0	(5 ì
2x + 2y - 9 = 0
Đường thẳng BH: 5x - 4y - 15 = 0 có vectơ chỉ phương U = (4; 5)
Cạnh AC vuông góc với BH nên nhận U làm một vectơ pháp tuyến; AC đi qua A^2 ’2^ và có vectơ pháp tuyến U = (4; 5) nên có phương trình:
4- 2+ 5(y - 2) = 0 o 4x + 5y - 20 = 0
Tương tự, tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ:
4x + y - 12 = 0
[6x-4y-15 = 0	=> B(3; 0)
AH: 2x + 2y - 9 = 0 có vectơ chỉ phương V = (-1; 1) lam veciơ pnap tuyến; phương trình BC là:
—l(x - 3) + (y - 0) = 0	x-y-3 = 0
Tọa độ H là nghiệm của hệ:
5x-4y-15 = 0	<11.5^1
2x + 2y-9 = 0	HL_3’;6j
Đường cao CH đi qua. H vuông góc với AB.
Hoàn toàn tương tự như trên, ta viết được phương trình của CH:
CH: 3x - 12y - 1 = 0
BÀI 8
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng A: 4x + 3y - 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng: A1: X + y + 4 = 0 và A2: 7x - y + 4 = 0.
Giải
Gọi I(x0; y0) là tâm của (C) cần lập.
Doi e (A) ta có: 4x0 + 3y0 -2 = 0	(1)
Mặt khác: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng Aj và A2 nên ta có:
.VT A > .VI A ì,, lx°+ y»+ 4L K - y0 + 4| d(I; Al) = d(I; A2) «	—7=—
	5.|x0+y0+4| = |7x0-y0+4|
5x0+5y0+20 = 7x0-y0+4 5x0 + 5y0 + 20 = -7x0 + y0 - 4 x„ - 3y0 - 8 = 0
2x0 - 6y0 - 16 = 0 -12x0 -4y0 -24 = 0
(2)
3x0 + y0 + 6 = 0	(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hai hệ: |4x0 + 3y0 - 2 = 0 |xo-3yo-8 = O
(I)
Giải (I) ta được: <
và (II)
4x0 + 3y0 - 2 = 0 3x0 + y0 + 6 = 0
x„ =2
y0 = -2
Vậy 1(2; -2) và bán kính: R = d(I, Ax) = Vậy (C): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 8
|2 - 2 + 4| “V2-
= 2.72
Giải (II) ta được:
x0 =-4
y0 = 6
Vậy I(-4; 6) và bán kính R = d(I, Ax) = 3.72 Vậy (C): (x + 4)2 + (y - 6)2 = 18.
BÀI 9
+ ^- = 1
Cho elip (E):
100 36
Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và vẽ elip (E).
Qua tiêu điếm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dài đoạn MN.
Giải
Ta có: a2 = 100 => a = 10 b2 = 36 b = 6
c2 = a2 - b2 = 100 - 36 = <
=> c = 8
Vậy elip (E) có hai điểm Fx(-8; 0), F2(8; 0)
y
A\É 0
'lyA, X
B,
Bốn đỉnh của (E) là: A1(-10; 0), A2(10; 0), B/0; -6), B2(0; 6).
Xét điểm F1(-8; 0) đường thẳng qua Fx và song song với Ox có phương ,	64 y2
trình: X = -8 thay vào phương trình (E) ta có: —— + iT? = 1 100	36
2
18
^y = ±f.
=>
Vậy dt: X = -8 cắt elip (E) tai hai điểm M(-8;-^-) và N(-8;
□	o
Tương tự đường thẳng song song với Oy và qua F2 cắt elip (E) tại M’,
N’ và M’N’ =	.