Giải Toán 10: Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỊNH NGHĨA
Cho hai vectơ a và b khác vectơ õ. Tích vô hướng của ã và b là một số, kí hiệu là a . b, được xác định bởi công thức sau:
a • b “ I) • cos( 3,1))
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta qui ước a . b =0.
Chú ý
Với ã và b khác vectơ ỏ ta có a.b = 0 a lb
Khi ã = b tích vô hướng a .a được kí hiệu là ã và sô" này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a .
Ta có: ã' - a. |ã| cos0° = |ă|
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
Với ba vectơ a , b , c bất kì và mọi số k ta có:
ã . b = b. ã (tính chất giao hoán)
a.(b+ c) = a.b + a.c (tính chất phân phối)
(kă).b = k.(ã.b) = ã.(kb)
-2 -2 - a >0, a - 0 a = 0
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
(a + b)2=a2+2a.b + b‘
(ă - b )2 - a2 - 2 ã . b + b'
(ã + b)(a - b) = a' - b2
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÕ HƯỚNG
Trên mặt phẳng tọa độ (O; ĩ, J), cho hai vectơ a = (Up a2), b = (bp b9) Khi đó tích vô hướng ă • b là:
ã • b = sẠ + a2b2
ỨNG DỤNG
Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ ã = (ab aọ) được tính theo công thức: jaj = yỊa-ị + aị
Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (ax; a9) và b - (bp b2) đều khác Q thì ta có:
cos(a,b) = 7-j
a.b	atbj + a2b9
_ = 1 1 bl ựapH- áị ,ựbf + b*
Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điêm A(xa; yA) và B(xb; yB) được tính theo công thức:
AB = ự(xB - XA )2 + (yB - yA )2
B. GIÃI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng ĂB.ÃC, AC.CB
Giải
AB.AC = Ịab|.|ac|.cos90"
Vậy ÃẼ.ÃC = 0
AC.CB = |AC|.Icb|.cos135°
BÀI 2
Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng ÕÃ.ÕB trong hai trường hợp:
Điếm o nằm ngoài đoạn AB.
Điếm o nằm trong đoạn AB.
Giải
Khi o nằm ngoài đoạn AB thì hai vectơ o	A B
OA, OB cùng hướng và góc (OẤ, OB) = 0.
COS(ÕẦ, ÕB) = 1 nên ÕÃ.ÕB = a.b	A o B
Khi o nằm trong đoạn AB thì OẤ và OB là hai vectơ ngược hướng và góc (OA, OB) - 180°
cos(OẤ, ỠB) = -1 nên ÕÃ.ÕB = -a.b
BAI 3
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là haí điếm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA .
Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM + BI.BN theo R.
Giải
Ta có: AI.AM = Jai| .Jam| ,cosO° = AI.AM	(1)
AI.AB = |Al| .|abJ cosIAB = AI.AB.cosIAB = AI.AM (2)
(Do tam giác AMB vuông tại M => AM =	I
AB.cosĨAB)
Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Hoàn toàn chứng minh tương tự ta cũng được BI.BN - BĨ.BÃ
Ta có: AI.AM + BI.BN = AI.AB + BI.BA (Theo câu a)
= ÃB(ÃĨ - BĨ) - ÃB.ÃB = AB2 = (2R)2 = 4R2
BÀI 4
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(l; 3), B(4; 2).
Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
Tính chu vi tam giác OAB.
Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Giải
a) Gọi D(x; 0) ta có; AD(1 - x; 3), DB(4 - x; 2)
Để DA = DB « |ÕÃ| = IDS!
 7(1 - x)2 + 32 = 7(4 - x)2 + 22 (1 - x)2 + 9 = (4 - x)2 + 4
..5
 6x = 10 X = —
O
Vậy d[|; o)
ÃB = (3; -D=> AB = M =	+ 1" =
ÕÃ(1; 3) => OA = M = 7l2 + 32 = 7ĨÕ OB (4; 2) => OB = ỊõẼ| = yj4~ + 22 = 720
Vậy chu vi tam giác bằng OA + OB + oc = 7ĨÕ + 7ĨÕ + 720
Ta có: ÕÃ.ĂB = 1-3 + 3.(—1) => OA 1 AB
=> Diện tích tam giác OAB = ^.OA.AB = Ẹ-7ĨÕ.7ĨÕ - 5 (đvdt)
Zj	Zj
BÀI 5
Trên mặt phắng Oxy hãy tính góc tạo bởi hai vectơ a và b trong các trường hợp sau:
a) ã = (2; -3), b = (6; 4)	b) ã = (3; 2), b = (5; -1)
ã = (-2;-273), b = (3; 73 )
Giải
a) ă.b = 2.6 - 3.4
= 0 => ã ± b ^> (a, b) = 90°
ă.b	3.5 + 2(-l)	13	1
b) Ta có cos( a , b)
" |ã|. b ' 732 + 22.7õ2 + l2 ’ 726.713	72
=> (ã, b)
= 45°
— —
ă.b -2.3 + 273.73	-12	Í3 -73
c) Ta eó: cost a , b;
ẵ|.b ’ 74 + 12.79 + 3	477	V4	2
=> (ã, b;
) = 150°
BÀI 6
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bôn điểm:
A(7; -3)	B(8; 4)	C(l; 5)	D(0; -2)
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Giải
Ta có ÃẼ = (1; 7)	DC = (1; 7)
AB = DC => ABCD là hình bình hành.	(1)
Ta lại có AB2 = 50 => AB = 5^2 AD2 = 50 => AD - 5Ự2
AD = AB, kết hợp với (1) suy ra: ABCD là hình thoi. (2)
Mật khác AB - (1; 7) AD = (-7; 1)
.1.7 + (-7).l = 0 => ÃB 1 ÃD
Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông.
BÀI 7
Trên mặt phẵng tọa độ Oxy cho điếm A(-2; 1). Gọi B là điếm đôi xứng của điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ các điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c.
Giải
B là điểm đối xứng với A qua gốc tọa độ o nên suy ra điếm B(2; -1). Gọi tọa độ C(x; 2) ta có:
CÃ = (-2 - x; -1) , CB = (2 - x; -3)
Để tam giác ABC vuông tại c thì:
CÃ • CB = 0 (-2 - x).(2 - x) + (—1X—3) = 0 x = ±1 Vậy điếm C(l; 2) và C(-l; 2).
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Chứng minh các công thức (với hai vectơ ã và b bất kì):
ă.b = — ^|ã + b|”-|ăj -|b| j
a . b = -| (|ã|2 + |b|2 - |ă - b|' j
a.b = ỉ(|ã + bj2-|a-b|2)
BÀI 2
Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b.
Tính các tích vô hướng AB.BC > ÃB.ĂC
Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
BÀI 3
Cho tam giác ABC, AB = c, BC = a, CA = b. Gọi M là điểm sao cho BM = k.BC . Tính độ dài đoạn thẳng AM. Xét trường hợp đặc biệt khi k = —.
BÀI 4
Chứng minh với bốn điểm A, B, c, D bất kì, ta có:
DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0	(*)
BÀI 5
Cho tam giác ABC. Biết AB = c, BC = a, CA = b. Hãy tính ÃB.ÃC theo a, b, c.
BÀI 6
Cho hình chữ nhật ABCD, m là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
1- MÃ + MC = MB + MD	2. MA.MC = MB.MD
MA2 + MC2 = MB2 + MD2
BÀi 7
Cho tam giác vuông cân ABC tại A. Tính góc nhọn giữa các trung tuyến kẻ từ các đỉnh B, c.
BÀI 8
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
AC 1 BD o AB2 + CD2 = AD2 + CB2
BÀI 9
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh:
GA2 + GB2 + GC2 = j(a2 + b2 + c2)
MA2 + MB2 + MC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3MG2
BÀI 10
Cho đa giác ApAg,An và điếm M di động trên mặt phẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của: s = AMj + AM| + ... + AM2
BÀI 11
Cho tam giác ABC có trọng tâm G nội tiếp đường tròn (0; R). Chứng minh rằng:
0G2 = R2 - j(a2 + b2 + c2)
BÀI 12
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: BM 1 CN o b2 + c2 = 5a2
Ở đây BC = a, AC = b, AB = c.
BAI 13
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa điều kiện: MA	2(b2+c2)-a2
= '	4
 2	2(a2 + c2) - b2
 	'
2	2(a2 + b2)-c2
m, = —	
c	4
 + MB2 = 3MA.MB