Giải Toán 10: Bài 3. Tích một số với một vectơ

§3. TÍCH CỦA MỘT số VỚI MỘT VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa
Cho số k * 0 và vectơ ă *Õ - Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng |k| |ă|.
Ta qui ước oă = Õ,kÕ = õ.
Tính chất
Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có k(ã + b) = kă + kb (h + k)a = ha + ka h(kă) = (hk)ă
	1. a = ă , (-1). a = -a	
Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Nếu I là trung điếm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
MÃ + MB = 2MĨ .
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
MA + MB + MC = 3MG-
Điểu kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ đế hai vectơ a và b (b ự: 0) cùng phương là có một số k để a = kb.
Phân tích một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ a , b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ X đều phân tích được một cách duy nhát theo hai vectơ ã, b nghĩa là có duy nhất một cặp số h, k sao cho X - ha + kb.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: ÃB + ÃC + ÃD = 2ÃC
Giải
Vì ABCD là hình bình hành nên ÃB + AD = Ãc • Do đó: ÃB + ÃC + ÃD = ÃC + ÃC = 2AC .
BÀI 2
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB, BC,CA theo hai vectơ ũ = AK, V = BM .
Giải
Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.
Ta có:
ag = |ak 3
AG = -G
GB =-BG =-ỆbM =- —V
3	3
Theo qui tắc ba điếm đối với tổng vectơ:
AB = AG + GB =>
Do K là trung điếm BC nên ta có:
ÃB + AC = 2ÃK =>
__	4 _	2 -
Từ đây ta có: AC = 2 u + 2 v =>
Do M là trung điểm AC nên ta có:
AB = —u
|ư-ĩ)
2 - 2 - —— u - V + AC = 2Ũ
3	3
7VT _	4 3	2-
CA = -4 u--V 3	3
BÃ + BC = 2BM => -ÃB + BC = 2v
=> BC = fó + ịv 3	3
BÀI 3
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lây một điểm M sao cho MB = 3MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u = AB và V = Ãc -
Giải
Áp dụng qui tắc ba điểm của phép trừ vectơ ta có:
MB = 3MC « ÃB - ÃM = 3(ÃC - ÃM)
« ÃM = -ịÃB + tÃC « ÃM = -ịó + |v 2 2 2 2
BÀI 4
A
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng: •
2DA + DB + DC = õ
2ÕẦ + ÕB + ÕC = 405 , với o là điểm tùy ý.
Giải
Theo giả thiết DÃ + DM = õ
Vì M là trung điểm của BC nên:
~	=^=	DB + DC
DB + DC = 2DM o —7,	= DM
Vậy DÃ + DM = DÃ + DB + DC = õ X 1 2
hay 2DA + DB + DC = õ
Với điểm o bất kì ta có:
2ÕÃ + ÕB + 0C = 2(ÕD + DÃ) + (ÕD + 55) + (ÕD + DC)
405 + 2ÕÃ + 55 + 55
Vậy: 2ÕÃ + Õ5 + Õẽ = 405
BÀI 5
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
2MN = ac + 55 = bc + a5
Giải
N là trung điểm của CD:
Cho hai điếm phân biệt A và B. Tìm điếm K sao cho 3KA + 2KB = õ
Giải
Chú ý: Để xác định vị trí điểm M thỏa mãn một hệ thức vectơ, ta biến đổi hệ thức ấy về dạng: OM = V (*)
Với o là điếm cố định và V là vectơ không đổi. Từ hệ thức (*) cho ta vị trí điếm M hoàn toàn xác định.
Ta có: 3KA + 2KB = õ « -3ÃK + 2(ÃB - ÃK) = õ AK = f ÃẼ 2	5
Vậy K là điểm thuộc đoạn AB sao cho AK = -Ệ AB.
BÀI 7
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho: MA + MB + 2MC = 0
Giải
Gọi D là trung điểm của cạnh AB, ta có:
MÃ + MB = 2MC
Đẳng thức đã cho trở thành:
2MD + 2MC = õ => MD + MC = õ
Vậy M là trung điểm của đường trung tuyến CD.
BÀI 8	
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điếm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Giải
Gọi Gj là trọng tâm của tam giác MPR, Gọ là	B—N—C
trọng tâm của tam giác NQS. Với o là một điểm tùy ý ta có:	M
ÕG, = ị(ÕM + ÕP + ÕR)
1	3
= |(ÕÃ + ÕB + ÕC + ÕD + ÕẼ + ÕF) s 6
ÕÕỊ = |(ÕN + ÕQ + ÕS)
3
= ị(ÕB + Õc + ÕD + ÕẼ + OF + GA)
Ta suy ra OGj = OG2 nên Gj trùng với Gọ
Cho tam giác đều ABC có o là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng
MD + ME + MF =-t MO 2 
Giải
Qua M dựng các đoạn: A-lB2 // AB, BjC2 // BC, CjA2 // CA.
Các tam giác MA1A2, MB1B2, MC1C2 là các tam giác đều.
Nên D, E, F lần lượt là trung điểm của A1A2, B^, CjCg. Do đó:
MD = |(MÃ^ + MÃ7)
2
ME = |(MB^ + MBJ 2 .
MF = I (MC^ + MCZ)
=> MD + ME + MF • =
= I [(MÃ7 + MGQ + (MB^.+ MAJ + (MQ + MBj]
= |(MA + MB + MC)
2
Do AABC đều nên o cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy MA + MB + MC = 3MO Vậy: MD + ME + MF = |mÕ
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Cho AABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi:
ĨB = 2ĨC; JC = -ijA; KA = -KB
__ _ 2 __
Tính IJ và IK theo AB và AC.
Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
BÀI 2
Cho AABC với I, J, K xác định bởi:
IB = mIC; JC = nJA; k - pKB
Tính IJ và IK theo m, n, p, AB , AC .
Tìm hệ thức giữa m, n, p để I, J, K thẳng hàng.
Cho A ABC với H, o, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm.
1) Chứng minh OA + OB + oc = 3OG 2-)-6hứng minh AH + BH + CH = 2OH
Tìm tỉ số theo đó điếm G chia OH.
BÀI 4
Cho AABC và điếm M tùy ý.
Chứng minh rằng MA + 2MB - 3MC là vectơ hằng.
Dựng điếm D sao cho CD bằng vectơ hàng trên. CD cắt AB tại N. Chứng minh NA + 2NB = õ và CD = 3CN .
BÀI 5
Cho bốn điếm A, B, c, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng: 2 ( AB + AI + JA + DA ) - 3 ÕB
BÀI 6
Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình bình hành ABMN, BCPQ, CARS.
Chứng minh rằng: QM + NR + SP = õ
BÀI 7
Cho bôn điểm A, B, c, D. Gọi I, J lần lượt là trung điếm của BC và CD. Chứng minh rằng: 2(Ãẽ + Ãỉ + JA + DA) = 3DB
BÀI 8
Cho tam giác ABC, gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BA, CA, AB.
Chứng minh rằng AA' + BB' + cc' = õ .
Đặt BB' = U, cc' = V , tính BC, CA, AB theo U và V.
BÀI 9
Cho tam giác ABC. Hãy dựng I, J, K, L biết:
ĨÃ + ĨB - ĩc = BC	b) JA + JB + JC = ÃB + Ăc
3 KA + KB + KC = õ	d) 3LA - 2LB + LC = õ
BÀI 10
Cho hình bình hành ABCD tâm o. Hãy dựng các điếm I, J, K biết rằng:
ĨẨ + ĨB + ĩc = 4ĨD	b) 2JA + 2JB = 3JC - JD
4KA + 3KB + 2KC + KD = õ
BAI 11
Cho hình bình hành ABCD, M và N là hai điểm lưu động định bởi: MN = 3MA - 2MB - 2MC + MD
Chứng minh MN là vectơ không đổi. Tìm tập hợp các điếm M biêt rằng giá của MN qua o (O là tâm hình bình hành).
Tìm tập hợp các điểm M biết rằng điểm N chuyến động trên AC.
BÀI 12
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
Ima + mb + mc| = ||mb + mc|
|ma + bc| = |ma - mb|
|2MA + MbJ = j4MB - Mc|
|4MA + MB + Mc| = |2MA - MB - McJ BÀI 13
Cho tam giác đều ABC tâm o, M là điểm bât kì trong tam giác có hình chiếu xuống ba cạnh là D, E, F.
Chứng minh: MD + ME + MF = -| MO
’ 2
Tìm tập hợp trọng tâm tam giác DEF khi M lưu động sao cho ỊmD + ME + MF| có giá trị không đối.
BÀI 14
Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A.
1) M là điếm bất kì trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F.
Tìm tập hợp các điểm M biết rằng MD + ME + MFcùng phương với BC.
Tìm tập hợp các điểm M biết rằng:
|md + ME + mf| = |mã|
) M chuyến động trên đường tròn tâm A không cắt đường trung bình tam giác ABC ứng với BC. Tìm vị trí của M đê |mD + ME + MF|lớn nhất, nhỏ nhất.