Giải Toán 10: Bài 2. Đường tròn
§2. ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Nếu a2 + b2 - c > 0 thì phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a; b) bán kính R = ựa2 + b2 _ c . II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có phương trình: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0 B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 16x2 + 16y2 + 16x - 8y - 11 = 0 X2 + y2 - 4x + 6ỹ - 3 = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình: (x - l)2 + (y| l)2 = 4 Vậy tâm của đường tròn đã cho là 1(1; 1), bán kính R = 2. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: v2_2_ 1 11 _n x + y2 + X - jy - jg = 0 (x + j) + (y_4^) =1-v‘,l“ ’(■'H) vàR= r Phương trình đã cho tương đương với phương trình: (x - 2)2 + (x + 3)2 = 16 Vậy tâm là 1(2; -3) bán kính R = 4. BÀI 2 Lập phương trình đường tròn 0ễ) trong các trường hợp sau: ('ễ) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3). (tẽ) có tâm I(—1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng X - 2y + 7 = 0. (tể) có đường kính AB với A(l; 1) và B(7; 5). Giải Cẽ) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3) nên bán kính R = IM = 7(2 + 2)2 + (-3 - 3)2 = 752 Vậy (x + 2)2 + (y - 3)2 = 52 Do (<ễ) có tâm K-l; 2) và tiếp xúc với d: X - 2y + 7 = 0 1-1-4 + 71 2 => R = d(I, d) = I — /— Vl + 4 ỳ 5 Vậy (C): (x + l)2 + (y - 2)2 = ị. XI c) Gọi I(Xp y-j) là trung điểm AB ta có: Yi 2 1±Ễ = 3 2 => 1(4; 3) AB /—— ( tâm 1(4; 3) và bán kính R = = vl3 Vậy eg): (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13 BÀI 3 Lập phương trình đường tròn qua 3 điểm: A(l; 2), B(5; 2) và C(l;-3) M(-2; 4), N(5; 5) và P(6; -2) Giải Gọi phương trình cần tìm: X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 l2 + 22 - 2a - 4b + c = 0 Theo bài ra ta có: 52 + 22 -10a-4b + c = 0 l2 + (-3)2 - 2a + 6b + c = 0 -2a -4b + c + 5 = 0 < -10a - 4b + c + 29 = 0 -2a + 6b + c + 10 = 0 a = 3 < b = 2 c = -1 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: X2 + y2 - 6x + y - 1 = 0 b) Dễ thấy MP2 = MN2 + NP2. Vậy 3 điếm M, N, p lập thành một tam giác vuông tại N. Từ đó => đường tròn cần tìm có phương trình: (x - 2)2 + (y - l)2 = 25. BÀI 4 Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và quaM(2;l). Giải Gọi I(a; b) là tâm phương trình đường tròn cần tìm, do đường tròn tiếp xúc với Ox, Oy nên ta có: d(I, Ox) = d(I, Oy) = R |a| = |b| = R (1) (2) Mặt khác do đường tròn qua M(2; 1) nên ta có: IM = R o 7(2 - a)2(l - b)2 = R Vậy (1) và (2) ta có: 7(2-a)2 +(l-b)2 =R Ta Chú ý do đường tròn qua M(2; 1) nên tâm I(a; b) của đường tròn phải nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy) tức là a > 0, b > 0. a = b = R s a = 1 ị_a = 5 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn lần lượt có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 và (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25 BÀI 5 Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0. Giải Do đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ do đó tâm I thuộc đường thẳng y = X hoặc y = -X. Vậy chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp I(a; a) Vì I nằm trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0 nên với I(a; a) ta có: 4a - 2a - 8 - 0 => a = 4 Đường tròn cần tìm có tâm 1(4; 4) và bán kính R = 4 có phương trình: (x - 4)2 + (y - 4)2 = 42 X2 + y2 - 8x - 8y + 16 = 0 Trường hợp I(-a; a) Vì I nằm trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0 nên ta có: 4 -4a -2a-8 = 0 => a = • —. o ta được đường tròn có phương trình: r 4) 2 <41 K + l K =1 1 Cho đường tròn (<ể) có phương trình X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 Tìm tọa độ tâm và bán kính của (*ể). Viết phương trình tiếp tuyến với (<ễ) đi qua điểm A(-l; 0). Viết phương trình tiếp tuyến với (tể) vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + 5 = 0. Giải Tâm 1(2; -4), R - 5. Ta có IA = 5 = R vậy điểm A nằm trên đường tròn. Vậy tiếp tuyến tại A là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ IA làm vectơ pháp tuyến. Kết quả: Tiếp tuyến tại A có phương trình: 3x - 4y + 3 = 0 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + 5 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng d: 4x + 3y + m = 0. Dùng điều kiện: d(I, d) = R, ta tìm được m = 29 V m = -21. Kết quả: Có 2 tiếp tuyến là dp 4x + 3y + 29 = 0 và d2: 4x + 3y - 21 - 0 c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Cho phương trình X2 + y2 - 2mx + 4my + 6m -1 = 0 (1) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn. Với điều kiện ở câu a hãy tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn theo m. BÀI 2 Cho đường tròn (C): (x - l)2 + (y - 2)2 = 4 và (d): X - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với (C) qua (d). Tìm giao điểm của (C) và (C’). BÀI 3 Cho đường tròn (C): X2 + y2 + 2x - 4y - 20 = 0 và A(3; 0). Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung của đường tròn qua A khi: Dây cung có độ dài lớn nhất. Dây cung có độ dài nhỏ nhất. Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ o và cắt đường tròn: (x - l)2 + (y + 3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài 8. BÀI 5 Cho A(3; 1), B(0; 7), C(5; 2). Chứng minh AABC vuông và tính diện tích của nó. Giả sử M là điếm chạy trên đường tròn ngoại tiếp íXABC. Chứng minh khi đó trọng tâm G của AMBC chạy trên một đường tròn. Viết phương trình chính tắc đường tròn đó. BÀI 6 Cho họ đường cong (Cm): X2 + y2 + 4mx - 2my + 2m + 3 = 0. Định m để (Cm) là đường tròn. Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm). BÀI 7 Cho họ đường cong (Cm) có phương trình: X2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0 Tìm m để (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Chứng minh (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định. BÀI 8 Cho họ đường cong (Cm): X2 + y2 + 2mx -6y + 4- m = 0 Chứng minh (Cm) là đường tròn với mọi m. Hãy tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đối. Với m = 4. Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng (A): 3x - 4y + 10 = 0 và cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho AB = 6. BÀI 9 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biêt phương trình các cạnh AB: 3x + 4y - 6 = 0; AC: 4x + 3y - 1 = 0; BC: y = 0. BÀI 10 Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 2x + 6y + 5 = 0 và đường thẳng (D): 2x + y - 1 = 0. Xác định tâm, bán kính của (C). Viết phương trình tiếp tuyến A với (C), biết A song song với (D). Tìm tọa độ các tiếp điểm. BAI 11 Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 6x + 2y + 6 - 0 và điểm A(l; 3). Chứng minh rằng A ở ngoài đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A. BÀI 12 Cho đường tròn (C) có phương trình X2 + y2 + 4x + 4y - 17 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến A với (C) trong mỗi trường hợp sau: A tiếp xúc với (C) tại M(2; 1). A vuông góc với đường thẳng (D): 3x - 4y + 1 - 0. A đi qua A(2; 6). BÀI 13 Cho hai đường tròn (Cj): X2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0 và (C2): X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 Xét vị trí tương đối của (Cj) và (C2). Viết phương trình tiếp tuyến chung của (Cp và (C9). BÀI 14 Viết phương trình đường tròn (C) qua gốc o và tiếp xúc với hai đường thẳng: (A1): 2x + y - 1 = 0 và (A2): 2x - y + 2 = 0 BÀI 15 Vĩết phương trình đường tròn (C) qua A(l; 0) và tiếp xúc với hai đường thẳng: (A1): X + y - 2 - 0 và (A2): X + y + 3 - 0 BÀI 16 Viết phương trình đường tròn (C) qua 2 điểm A(l; 2), B(3; 4) và tiếp xúc đường thẳng (A): 3x + y - 3 - 0 BÀI 17 Cho AABC có ba cạnh lần lượt nằm trên các đường thẳng: (Aj): 2x - 3y + 21 = 0 (A2): 3x - 2y - 6 = 0 (Ag): 2x + 3y + 9 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp AABC. BÀI 18 Cho đường (Cm) có phương trình: X2 + y2 - 2mx + 2(m - l)y + 5 = 0 Tìm m để (Cm) là một đường tròn. Tìm tập hợp tâm I của (Cm) khi m thay đổi. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C): X2 + y2 - 1. BÀI 19 Cho họ đường tròn (Cm): X2 + y2 - 2mx - 2(1 - m)y + 2m2 - 2m - 3 = 0 Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn (Cm). Cho m = 2 và điểm A(0; 3). Viết phương trình các tiếp tuyến của (C2) kẻ từ A. BÀI 20 Cho họ (Cm): X2 + y2 - (m - 2)x + 2my -1 = 0 Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm). Tìm các điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua.