Giải Toán 10: Bài 2. Đường tròn

  • Bài 2. Đường tròn trang 1
  • Bài 2. Đường tròn trang 2
  • Bài 2. Đường tròn trang 3
  • Bài 2. Đường tròn trang 4
  • Bài 2. Đường tròn trang 5
  • Bài 2. Đường tròn trang 6
  • Bài 2. Đường tròn trang 7
  • Bài 2. Đường tròn trang 8
§2. ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Nếu a2 + b2 - c > 0 thì phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a; b) bán kính R = ựa2 + b2 _ c .
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có phương trình: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
16x2 + 16y2 + 16x - 8y - 11 = 0
X2 + y2 - 4x + 6ỹ - 3 = 0
Giải
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
(x - l)2 + (y| l)2 = 4
Vậy tâm của đường tròn đã cho là 1(1; 1), bán kính R = 2.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
v2_2_ 1 11 _n x + y2 + X - jy - jg = 0
(x + j) + (y_4^) =1-v‘,l“ ’(■'H) vàR= r
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
(x - 2)2 + (x + 3)2 = 16 Vậy tâm là 1(2; -3) bán kính R = 4.
BÀI 2
Lập phương trình đường tròn 0ễ) trong các trường hợp sau:
('ễ) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3).
(tẽ) có tâm I(—1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng X - 2y + 7 = 0.
(tể) có đường kính AB với A(l; 1) và B(7; 5).
Giải
Cẽ) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3) nên bán kính
R = IM = 7(2 + 2)2 + (-3 - 3)2 = 752 Vậy (x + 2)2 + (y - 3)2 = 52
Do (<ễ) có tâm K-l; 2) và tiếp xúc với d: X - 2y + 7 = 0
1-1-4 + 71	2
=> R = d(I, d) = I — /—
Vl + 4	ỳ 5
Vậy (C): (x + l)2 + (y - 2)2 = ị.
XI
c) Gọi I(Xp y-j) là trung điểm AB ta có:
Yi
2
1±Ễ = 3 2
=> 1(4; 3)
AB	/——
( tâm 1(4; 3) và bán kính R =	= vl3
Vậy eg): (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13
BÀI 3
Lập phương trình đường tròn qua 3 điểm:
A(l; 2), B(5; 2) và C(l;-3)
M(-2; 4), N(5; 5) và P(6; -2)
Giải
Gọi phương trình cần tìm:
X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
l2 + 22 - 2a - 4b + c = 0
Theo bài ra ta có:
52 + 22 -10a-4b + c = 0
l2 + (-3)2 - 2a + 6b + c = 0
-2a -4b + c + 5 = 0
< -10a - 4b + c + 29 = 0
-2a + 6b + c + 10 = 0
a = 3
< b =
2
c = -1
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: X2 + y2 - 6x + y - 1 = 0 b) Dễ thấy MP2 = MN2 + NP2. Vậy 3 điếm M, N, p lập thành một tam
giác vuông tại N.
Từ đó => đường tròn cần tìm có phương trình: (x - 2)2 + (y - l)2 = 25.
BÀI 4
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và quaM(2;l).
Giải
Gọi I(a; b) là tâm phương trình đường tròn cần tìm, do đường tròn tiếp xúc với Ox, Oy nên ta có:
d(I, Ox) = d(I, Oy) = R |a| = |b| = R	(1)
(2)
Mặt khác do đường tròn qua M(2; 1) nên ta có:
IM = R o 7(2 - a)2(l - b)2 = R
Vậy (1) và (2) ta có:
7(2-a)2 +(l-b)2 =R
Ta Chú ý do đường tròn qua M(2; 1) nên tâm I(a; b) của đường tròn phải nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy) tức là a > 0, b > 0.
a = b = R s a = 1
ị_a = 5
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn lần lượt có phương trình là:
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 và (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25
BÀI 5
Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0.
Giải
Do đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ do đó tâm I thuộc đường thẳng y = X hoặc y = -X. Vậy chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp I(a; a)
Vì I nằm trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0 nên với I(a; a) ta có:
4a - 2a - 8 - 0	=> a = 4
Đường tròn cần tìm có tâm 1(4; 4) và bán kính R = 4 có phương trình: (x - 4)2 + (y - 4)2 = 42
 X2 + y2 - 8x - 8y + 16 = 0
Trường hợp I(-a; a)
Vì I nằm trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0 nên ta có:
4
-4a -2a-8 = 0	=> a = • —.
o
ta được đường tròn có phương trình:
r 4)
2
<41
K
+ l
K =1
1
Cho đường tròn (<ể) có phương trình X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0
Tìm tọa độ tâm và bán kính của (*ể).
Viết phương trình tiếp tuyến với (<ễ) đi qua điểm A(-l; 0).
Viết phương trình tiếp tuyến với (tể) vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + 5 = 0.
Giải
Tâm 1(2; -4), R - 5.
Ta có IA = 5 = R vậy điểm A nằm trên đường tròn. Vậy tiếp tuyến tại A là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ IA làm vectơ pháp tuyến.
Kết quả: Tiếp tuyến tại A có phương trình: 3x - 4y + 3 = 0
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + 5 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng d: 4x + 3y + m = 0.
Dùng điều kiện: d(I, d) = R, ta tìm được m = 29 V m = -21.
Kết quả: Có 2 tiếp tuyến là dp 4x + 3y + 29 = 0 và d2: 4x + 3y - 21 - 0
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Cho phương trình X2 + y2 - 2mx + 4my + 6m -1 = 0	(1)
Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn.
Với điều kiện ở câu a hãy tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn theo m.
BÀI 2
Cho đường tròn (C): (x - l)2 + (y - 2)2 = 4 và (d): X - y - 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với (C) qua (d). Tìm giao
điểm của (C) và (C’).
BÀI 3
Cho đường tròn (C): X2 + y2 + 2x - 4y - 20 = 0 và A(3; 0).
Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung của đường tròn qua A khi:
Dây cung có độ dài lớn nhất.
Dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ o và cắt đường tròn: (x - l)2 + (y + 3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài 8.
BÀI 5
Cho A(3; 1), B(0; 7), C(5; 2).
Chứng minh AABC vuông và tính diện tích của nó.
Giả sử M là điếm chạy trên đường tròn ngoại tiếp íXABC. Chứng minh khi đó trọng tâm G của AMBC chạy trên một đường tròn. Viết phương trình chính tắc đường tròn đó.
BÀI 6
Cho họ đường cong (Cm): X2 + y2 + 4mx - 2my + 2m + 3 = 0.
Định m để (Cm) là đường tròn.
Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm).
BÀI 7
Cho họ đường cong (Cm) có phương trình:
X2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0
Tìm m để (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Chứng minh (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định.
BÀI 8
Cho họ đường cong (Cm): X2 + y2 + 2mx -6y + 4- m = 0
Chứng minh (Cm) là đường tròn với mọi m. Hãy tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đối.
Với m = 4. Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng (A): 3x - 4y + 10 = 0 và cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho AB = 6.
BÀI 9
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biêt phương trình các cạnh AB: 3x + 4y - 6 = 0; AC: 4x + 3y - 1 = 0; BC: y = 0.
BÀI 10
Cho đường tròn (C):
X2 + y2 - 2x + 6y + 5 = 0 và đường thẳng (D): 2x + y - 1 = 0.
Xác định tâm, bán kính của (C).
Viết phương trình tiếp tuyến A với (C), biết A song song với (D).
Tìm tọa độ các tiếp điểm.
BAI 11
Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 6x + 2y + 6 - 0 và điểm A(l; 3).
Chứng minh rằng A ở ngoài đường tròn.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.
BÀI 12
Cho đường tròn (C) có phương trình X2 + y2 + 4x + 4y - 17 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến A với (C) trong mỗi trường hợp sau:
A tiếp xúc với (C) tại M(2; 1).
A vuông góc với đường thẳng (D): 3x - 4y + 1 - 0.
A đi qua A(2; 6).
BÀI 13
Cho hai đường tròn (Cj):
X2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0 và (C2): X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
Xét vị trí tương đối của (Cj) và (C2).
Viết phương trình tiếp tuyến chung của (Cp và (C9).
BÀI 14
Viết phương trình đường tròn (C) qua gốc o và tiếp xúc với hai đường thẳng:
(A1): 2x + y - 1 = 0 và (A2): 2x - y + 2 = 0
BÀI 15
Vĩết phương trình đường tròn (C) qua A(l; 0) và tiếp xúc với hai đường thẳng:
(A1): X + y - 2 - 0 và (A2): X + y + 3 - 0
BÀI 16
Viết phương trình đường tròn (C) qua 2 điểm A(l; 2), B(3; 4) và tiếp xúc đường thẳng (A): 3x + y - 3 - 0
BÀI 17
Cho AABC có ba cạnh lần lượt nằm trên các đường thẳng:
(Aj): 2x - 3y + 21 = 0 (A2): 3x - 2y - 6 = 0 (Ag): 2x + 3y + 9 = 0
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp AABC.
BÀI 18
Cho đường (Cm) có phương trình:
X2 + y2 - 2mx + 2(m - l)y + 5 = 0
Tìm m để (Cm) là một đường tròn.
Tìm tập hợp tâm I của (Cm) khi m thay đổi.
Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C): X2 + y2 - 1.
BÀI 19
Cho họ đường tròn (Cm):
X2 + y2 - 2mx - 2(1 - m)y + 2m2 - 2m - 3 = 0
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn (Cm).
Cho m = 2 và điểm A(0; 3). Viết phương trình các tiếp tuyến của (C2) kẻ từ A.
BÀI 20
Cho họ (Cm): X2 + y2 - (m - 2)x + 2my -1 = 0
Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm).
Tìm các điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua.