Giải Toán 10: Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc

CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA
HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC a
VỚI 0° < a <180°
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỊNH NGHĨA
y
1
y?\
oe	\
-1 X , ol
1 X
Với mỗi góc cc (0° < a < 180°) ta xác định một điếm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = ce và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta định nghĩa:
sin của góc a là y0, kí hiệu since = y0,
y„
x„
cosin của góc a là x0, kí hiệu cosa = x0
tang của góc a là x (x0 * 0), kí hiệu tance =
x„
• cotang của góc a là (y0	0), kí hiệu cotce =
y 0
Các số since, cosa, tana, cotce được gọi là các giá trị lượng giác của góc oe.
TÍNH CHẤT
since - sin (180° - oe.) cosoe = -cos (180° - oe) tana = -tan (180° - ce) cotce = -cot (180° - oe)
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
Giá trị\. lượng giác
a
0°
o
O
CO
45°
60°
90°
180°
since
0
1
2
72
2
73
2
1
0
cosce
1
73
2
72
2
1
2
0
-1
tance
0
1
73
1
73
II
0
cotce
II
73
1
1
73
0
líl
GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Định nghĩa
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm o bất kì ta vẽ OA = ã và OB = b. Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a, b). Nếu (a , b ) = 90° thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a ỉ b hoặc b 1 a .
Chú ý: Từ định nghĩa ta có (ã , b) - (b, ã ) ■
BÀI 1
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
sin A = sin (B + C)
cos A = -cos (B + C)
Giải
Trong tam giác ABC, ta có B + c bù với A nên:
sinA = sin(B + C)
cosA = -cos(B + C)
BÀI 2
Cho AOB là tam giác cân tại o có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử ÃOH = a. Tính AK và OK theo a và a.
Ta có: AOB = 2a => Trong tam giác OKA
AK = OA.sinẤÕK OK = OA.cosÁÕk
Giải
=>	AK - a.sin2ct
=>	OK = a.cos2oc
A'
o
H
BÀI 3
Chứng minh rằng:
a) sinl05° = sin75°
b)cosl70° = -coslO0
c) cosl22ử = -cos58°
Giải
Ta có: sin 105° = sin(180° - 105°) => sinl05° = sin75°
COS1700 = -cos(180° - 170°) => cosl70° .= -coslO0
cosl22° = -cos(180° - 122°) => cosl22° = -cos58°
BÀI 4
Chứng minh rằng với mọi góc a (0° < a < 180°) ta đều có cos2a + sin2a = 1.
Giải
Từ M kẻ MP 1 Ox, MQ 1 Oy
=> OQ = cosa; MP = OQ
OP = sin a
Trong tam giác vuông MPO:
MP2 = PO2 = OM2 => COS2
BÀI 5
Cho góc X, với cosx = —.
O
Tính giá trị của biểu thức: p = 3sin2x + COS2X
Giải
Ta có sin2x + COS2X =1	=> sin2x = 1 - COS2X
Do đó p = 3sin2x + COS2X = 3(1 - cos2x) + COS2X
=> p = 3 - 2cos2x
1	9	1	„	„	2	25
Với cosx = — coszx = — =>p = 3~ — = —
BÀI 6
Cho hình vuông ABCD.
Tính: COS (AC, BA), sin (AC, BD), cos(AB,CD)
Giải
Học sinh vẽ hình vuông ABCD.
Ta có:	cos (AC, BA) = cosl35° = -^ệ-
=2 2
sin (AC, BD) = sin90° =1 cos(AB, CD) = cosO° = 1
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số):
(2sin30° + cosl35° - 3tanl50°)(cosl80° - cot60°)
sin290° + COS2120° + cos20° - tan260° + cot2135°
BÀI 2
Đơn giản các biếu thức:
sinlOO0 + sin80° + cosl6° + cosl64°
2sin(180° - a)cota - cos(180° - cc)tanacot(180° - cc) với 0° < a < 90°
BÀI 3
Chứng minh các hệ thức sau:
sin2oc + cos2ot - 1
1 + tan2a = —-5— (a * 90°)
cos a 1
1 + COS2OC = -775— (0° < a < 180°)
sin a