Giải Toán 10: Ôn tập chương I

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I
BÀI 1	
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm o. Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có điểm đầu và điểm cuối là o hoặc các đĩnh của lục giác.
Học sinh vẽ hình lục giác đều ABCDEF.
Các vectơ bằng với vecto' AB có điếm cuối là o hoặc các đĩnh cúa lục giác là:
FO; ÕC; ẼD.
BÀI 2	
Cho hai vectơ a và b đều khác õ . Các khẳng định sau đúng hay sai?
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
Hai vectơ b và kb cùng phương.
Hai vectơ a và (-2)a cùng hướng.
Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương.
Giải
Đúng	b) Đúng
Sai	d) Đúng
BÀI 3
Tứ giác ABCD là hình gì nếu AB = DC và
AB
=
BC
Giải
Ta có: AB = DC ABCD là hình bình hành.
|ab| = |bc| => ABCD có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau.
Vậy ABCD là hình thoi.
BÀI 4
Chứng minh rằng
a + b
< í
1 + i
3 .
Giải
Kiểm chứng trường hợp a và b cùng phương thì bất đẵng thức đã cho đúng.
Xét trường hợp a và b không cùng phương.
Từ một điểm o trong mặt phảng ta dựng vectơ
OA = a OB = b
và dựng hình bình hành OACB.
Như vậy: OA = OB =
OA
OB
AC = I Ac| = Ibl
AC = OB
oc = OA + OB => oc = ẵ + b oc = loci = |ẵ + b|
Ap dụng bất đăng thức tam giác vào tam giác OAC, ta có OA + AC > oc => |a| + í bị > |a + bị
BÀI 5
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm o. Hãy xác định các điếm M, N, p sao cho
OM =_OA + OB	b) ÕN = ÕB + Õc
ọp = oc + OA	J
Giải
A
Nối ỌC và kéo dài cắt đường tròn tại điểm M. Dễ thây, tam giác OAM là tam giác đều và OAMB
là hình bình hành, cho ta:
ÕÃ + ÕB = ÕM
Hai vectơ OM và oc là hai vectơ đốì nhau => M và c là hai điếm xuyên tâm đôi.
và c) tương tự như trên.
BÀI 6
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính
|AB + Ac| b) Jab — Ac|
Giải
a) Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có: ÃB + ÃC = 2ÃH
=> |ãb + ãc| = 2|ãh| = 2ah aựã
mà AH =
b)
BÀI 7
_ 2_ AB + AC ÃB-ÃC
= aựã = IcbI = a
Cho sáu điểm M, N, p, Q, R, s bất kì. Chứng minh rằng: MP + NQ + RS = MS + NP + RQ
Giải
Ta có:	MP = MS + SP
NQ = NP + PQ RS = RQ + QS
=> MP + NQ + RS = (MS + NP + RQ) + (SP + PQ + QS)
Vì SP + PQ + QS = ss = 0 suy ra đpcm.
Chú ý: Có thê xét hiệu của 2 vê cũng được điều phải chứng minh.
BÀI 8
Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho
a) ÕM = mÕẤ + nÕB	b) ĂN = mÕÃ + nÕB
MN = mOA + nOB	d) MB = mOA + nOB
phân tích các vectơ:
Giải
Nhận xét: Thực chất cúa bài toán là ÕM, ÃN, MN, MB theo hai vectơ OA và OB .
Ta có: OM = — OA nên m = —, n = 0
Zj	/-1
ÃN = -ÕA + |õB
2
1
Vậy m = -1; n = -
MN = ^AB => MN = ị(ÃÕ + ÕB)
2 2
^MN = -ịõÃ + ịõB 2	2
1	1
Vậy m = n = -
MB = -jõẨ + ÕB
2
1
Vậy m = n = 1
BÀI 9
Chứng minh rằng G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ bất kì thì 3GGC = ÃA*' + BẼ’’ + cc1.
Giải
Ta có Gcf = GA + ÃÃT' + A'G''
GCC = GB + BẼT' + BAP Gcf = GC + ccp + CG'
=> 3GG' = (GA + GB + GC) + (AA' + BĨf+ CC’) + (A’G’+ B'G’+ C'G') (1) G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
GA + GB + GC = õ	(2)
G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’ nên:
G’A'' + G'B' + G'C' = õ hay A'G'’ + E G’’ + cccf = õ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
BAI 10
Trong mặt phẵng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?
Hai vectơ đôi nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.
Vectơ a cùng phương với 1 nếu a có hoành độ bằng 0.
Vectơ a có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với J.
Giải
Đúng
Sai
Đúng
BÀI 11	
Cho ã (2; 1), b(3;-4), c(-7j 2)
Tìm tọa độ của vectơ u = 3a + 2b - 4c .
Tìm tọa độ vectơ X sao cho X + a = b - c .
Tìm các số k và h sao cho c = ka + hb .
Giải
Ta có: 5 = (3.2 + 2.3 - 4.(-7); 3.1 + 2.(-4) - 4.2)
=> G = (40; -13)
Giả sử X = (m; n), ta có: X + a = (m + 2; n + 1)
b-c = (10; -6) ím + 2 = 10
Giải hệ: i_, 1 _ c => m = 8; n = -7 v [n + 1 = -6	’
^x = (8;-7)
Ta có:	c = ka + hb => C = (2k + 3h; k - 4h)
.	Í2k + 3h = -7
Với c = (5; 0) cho ta hệ: s. Âl -
[k - 4h = 2
Giải hệ này, ta được k - -2; h = -1.
BÀI 12
Cho u = — i - 5j , V = mĩ - 4j • Tìm m để u và V cùng phương.
Giải
Do U =	-5j nên u = ^2 ’ - V = mi - 4j nên V = (m; - 4)
Đế 5 và V cùng phương thì:
BAI 13
Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng?
Điếm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0.
p là trung điếm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của p bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và c bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của B và D.
Giải
Sai vì các điếm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.
Sai. Để p là trung điểm của AB thì phải có:
Hoành độ của p bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.*
Tung độ của p bằng trung bình cộng của tung độ của A và B.
Thiếu một trong hai điều trên đây'thì p chưa chắc là trung điểm
của AB.
Đúng. Vì trong trường hợp này tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác 0 có điểm đầu và điếm cuối là bôn đỉnh của tứ giác bằng:
4	(B) 6	(C) 8	(D) 12
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm o. Số các vectơ khác 0 cùng phương với Õc có điếm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác bằng:
Cho ba điếm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
CA-BA = BC	(B)AB + AC = BC
(C) AB + CA = CB	(D) AB - BC = CA
Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện đế điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:
IA = IB_^	(B) ỊA = IB
(C) IA = -IB	(D) AI - BI
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung diêm của BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
(A) GA = 2GI (C) GB + GC = 2GI
8. Cho hình bình hành ABCD (A) AC + BD = 2BC (C) AC - BD = 2CD
IG = -|lA
(D) GB + GC = GẤ
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
AC + |C = AB (D) AC- AD = CD
9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành OABC, c nằm trên Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) ÃB có tung độ khác 0	(B) A và B có tung độ khác nhau
(C) c có hoành độ bằng 0	(D) XA + xc - XB = 0
10. Cho U = (3; -2), V = (1; 6). Khẳng định nào sau đây là đúng?
u + V và a = (-4; 4) ngược hướng
uvà V cùng phương
u - V và b = (6; -24) cùng hướng
2u + V và V cùng phương
11.
12.
Cho tam giác ABC có A(3; 5), B( 1; 2), C(5; 2). Trọng tâm của tam giác ABC là:
(A) Gj(-3; 4)	(B) G2(4; 0)
(C)Gg(72;3)	(D)G4(3;3)
Cho bốn điếm A(l; 1), B(2; -1), C(4; 3), D(3; 5). Chọn mệnh đề đúng: (A) tứ giác ABCD là hình bình hành.
Điểm G^2; —
AB = CD-
là trọng tâm của tam giác BCD.
(D) AC, AD cùng phương.
13. Cho bôn điếm A(-5; -2), B(-5; 3), C(3; 3), D(3; -2). Khắng định nào sau đây là đúng?
ÃB và CD cùng hướng;
ABCD là hình chữ nhật;
Điếm K-l; 1) là trung điểm AC;
OA + OB = oc , o là gốc tọa độ.
14. Cho tam giác ABC. Đặt a = BC, b = AC Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
(A) 2a + b và a + 2b	(B) a - 2b và 2a - b
(C) 5a + b và - 10a - 2b	(D) a + b và a - b
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gôc 0 là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
|OA + ObỊ = AB	(B) OA - OB và DC cùng hướng
XA = -xc và yA = yc	(D) XB = -xc và yc = - yB
Cho M(3; -4). Kẻ MMj vuông góc với Ox, MM2 vuông góc với Oy. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) ÕM^ = -3	(B) ÕÃẸ = 4
ÕÃẸ - OM2 có tọa độ (-3; 4)	(D)	+ ÕÃụ có tọa độ (3; -4)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2; -3), B(4; 7). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
(A) (6; 4)	(B) (2; 10)
(C) (3; 2)	(D) (8; -21)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(5; 2), B( 10; 8). Tọa độ của vectơ
ÃB là
(A) (15; 10)	(B) (2; 4)
(0(5; 6)	(D) (50; 16)
Cho tam giác ABC có B(9; 7), C(ll; -1), M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tọa độ của vectơ MN là
(A) (2; -8)	(B) (1; -4)
(0(10; 6)	(D) (5; 3)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bôn điểm
A (3;-2)	B (7; 1)
c (0; 1)	D (-8; -5)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
AB và CD là hai vectơ đối nhau.
AB và CD cùng phương nhưng ngược hướng.
AB và CD cùng phương và cùng hướng.
A, B, c, D thẳng hàng.
Cho ba điểm A(-l; 5), B(5; 5), C(-l; 11). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ba điểm A, B, c thẳng hàng.
ÃB và ÃC cùng phương.
AB và ÃC không cùng phương.
Ãc và BC cùng phương.
Cho a = (3; -4), b = (-1; 2). Tọa độ của vectơ ã + b là
(A)(-4; 6)	(B)(2; -2)	(C)(4; -6)	(D)(-3; -8)
Cho a = (-1; 2), b = (5; -7). Tọa độ của vectơ a - b là
(A) (6;-9)	(B) (4;-5)	(C) (-6; 9)	(D) (-5;-14)
Cho a = (-5; 0), b = (4; x). Hai vectơ a và b cùng phương nếu số X là
(A) -5	(B) 4	(C) 0	(D) -1
Cho a = (x; 2), b = (-5; 1), C = (x; 7). Vectơ c = 2a + 3b nếu
(A) X = -15 (B) X = 3	(C) X = 15	(D) X = 5
Cho A(l; 1), B(-2; -2), C(7; 7). Khắng định nào đúng?
G(2; 2) là trọng tâm của tam giác ABC.
Điếm B ở giữa hai điểm A và c.
Điếm A ở giữa hai điếm B và c.
Hai vectơ AB và AC cùng hướng.
Các điếm M(2; 3), N(0; -4), P(-l; 6) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tọa độ đỉnh A của tam giác là:
(A) (1; 5)	(B) (-3;-1)	(C) (-2;-7)	(D) (1; -10)
Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ o, hai đỉnh A và B có tọa độ là A(-2; 2), B(3; 5). Tọa độ của đỉnh c là:
(A)(-l;-7)	(B)(2;-2)	(C) (-3;-5)	(D) (1; 7)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
Hai vectơ a = (-5; 0) và b - (-4; 0) cùng hướng.
Vectơ C = (7; 3) là vectơ đổì của d = (-7; 3).
Hai vectơ u = (4; 2) và V = (8; 3) cùng phương.
Hai vectơ a = (6; 3) và b = (2; 1) ngược hướng.
Trong hệ trục (O; ĩ; j ), tọa độ của vectơ i + j là:
CA) (0; 1)	(B)(-l;l)	(C) (1; 0)	(D) (1; 1)
BẢNG KẾT QUẢ
Câu
Kết quả
Câu
Kết quả
Câu
Kết quả
1
D
11
D
21
c
2
A
12
A
22
B
3
A
13
B
23
c
4
A
14
c
24
c
5
c
15
A
25
D
6
c
16
D
26
c
7
c
17
c
27
B
8
A
18
c
28
A
9
D
19
B
29
A
10
A
20
B
30
D
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ÕN TẬP CHƯƠNG I
CÂU HỎI Tự KIỂM TRA
Hãy nói rõ vectơ khác đoạn thẳng như thế nào.
Nếu hai vectơ ABvà CD bằng nhau và không cùng nằm trên một đường thắng thì bốn đỉnh A, B, c, D có là bôn đỉnh của một hình bình hành hay không?
Nếu có nhiều vectơ thì xác định tổng của chúng như thế nào?
Hiệu hai vectơ được định nghĩa qua khái niệm tống hai vectơ như thế nào?
Cho hai điểm A, B phân biệt. Mỗi đắng thức sau đây đúng hay sai với một điểm o bất kì?
a)AB = OA-0B__	b)0A-OB = BA~
OA + OB = -BA	d) OA + BO = -AB
Có thể dùng phép nhân vectơ với một số để định nghĩa vectơ đối của một vectơ hay không?
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Trong các vectơ c, d, u, V, X, y sau đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng và các vectơ ngược hướng.
1- , 2r	-7	- , lr	. . r
c 2+3	’	d--a + |b ;	u = 3a + 4b
V = 3a - b ;	x_-4a_3b	’	y = _9a + 3b
Hai vectơ c và d có cùng phương hay không? Tại sao?
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) ÃM = 2ÃG	b) AG = I AM	c) MG = I GA
AG = —(AB + AC) e)GB = AG + BG
Cho biết tọa độ hai điểm A và B. Làm thế nào đế
Tìm tọa độ của vectơ ÃB ?
Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB?
Cho tọa độ ba đĩnh của một tam giác. Làm thê nào đế tìm tọa độ của trọng tâm tam giác đó?
BÀI TẬP
Cho tam giác ABC. Hãy xác định các vectơ
AB + BC ; CB + BA ; ÃB + CÃ ; BA + CB
BA + CA ; CB-CA ; AB-CB ; BC-AB
Cho ba điếm o, A, B không thẳng hàng. Tìm điều kiện cần và đú để vectơ ÕẨ + ÕB có giá là đường phân giác của góc AOB.
Gọi o là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có
MO = 4(MA + MB + MC + MD)
4
Cho tam giác ABC.
Tìm các điểm M và N sao cho
MÃ - MB + MC = õ và 2NA + NB + NC = õ
Với các điếm M, N ở câu a), tìm các số p và q sao cho
MN = pAB + qAC
Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2IA + 3IB = 0
Tìm số k sao cho AI = kAB .
Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
mi = |ma + |mb 5	5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-l; 3), B(4; 2), C(3; 5).
Chứng minh rằng ba điểm A, B, c không thẳng hàng.
Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = -3BC.
Tìm tọa độ điểm E sao cho o là trọng tâm tam giác ABE.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điếm của các cạnh BC, CA, AB. Vectơ A'B' cùng hướng với vectơ nào trong các vectơ sau đây?
(A) ÃB	(B) AC;
(C) ba	(D) C'B
Cho ba điếm M, N, p thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và p. Khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
(A) MN và PN	(B) MN và MP
(C) MP và PN	(D) NM và NP
Cho hình chữ nhật ABCD. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng?
(A) AB = CD	(B) BC = DA
(C) Ãc = BD	(D) AD = BC
Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
(A) HB = HC	(B) AC = 2HC
(C) |ah| = ^|bc|	(D) ÃB = AC
Cho điếm B nằm giữa hai điểm A và c với AB = 2a, CB = 5a. Độ dài vectơ Ãc bằng bao nhiêu?
(A) 7a	(B) 3a
(C) y	(D) 10a2
Cho bốn điểm A, B, c, D. Khi đó đẳng thức nào dưới đây đúng?
(A) AB + Cp = AC + BD	(B) AB + CD = AD + BC .
(C) AB + CD = AD + CB	(D) AB + CD - DA + BC
Cho sáu điểm A, B, c, D, E, F. Khi đó đẳng thức nào dưới đây đúng?
AB + CD + FA + BC + EF + DE = 0_
AB + CD + FA + BC + EF + DE = AF
AB + CD + FA + BC + EF + DE = AE
AB + CD + FA + BC + EF + DE = AD
Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy là AB = 3a và CD - Get. Khi đó |aB + CdỊ bằng bao nhiêu?
(A) 9a	(B) 3a
(C) -3a	(D) 0
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị Jac + BdỊ bằng bao nhiêu?
(A) 2a72	(B)	2a
(C) a	(D)	0
Cho ba điểm bất kì A, B, c. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
(A)AB = CB_CA	(B)|c =	AB-AC
(C) AC - CB = BA	(D)	CA - CB = AB
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị |aB-CA| bằng bao nhiêu?
(A) 2a	(B) a
(C) aV3	(D) ~
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
(A) 3GG’ = ÃÃ"' + BB' + CCD	(B) 3GCÍ' = Ãĩf + BCT + CÃ~’
(C) 3GG'= AC' + BA' + CB'	(D) 3GG'= ÃÃA + BB'+ cc'
Cho điểm B ở giữa hai điểm A và c, với AB = 2a, AC = 6a. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
(A) BC = ÃB	(B) BC = -2ÃB
(C) BC = 4ÃB	(D) BC = -2BA
Cho ba điểm phân biệt A, B, c. Nếu AB = -3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
(A) BC = 4ÃC	(B) BC = -4ÃC
(C) BC = 2ÃC	(D) BC = -2ÃC
Điều kiện nào dưới đây là cần và đủ để điểm o là trung điểm của đoạn thẳng AB?
(A) OA = OB	(B) QA = OB
(C) AO = BO	(D) OA + OB - õ
Nêu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
(A) ÃG = AB + AC	(B) ÃG = AB +AC
2	3
(C) ÃG = 3(AB + AC) (D) ÃG = -2--AB + AC)
2	3
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
(A) ĨÃ + ĨB + ĩc = õ	(B) -ĨA + ĨB + ĩc = õ
(C) ĨẤ + ĨB - ĩc = õ	(D) 2ĨA + ĨB + ĩc = õ
Trong mặt phẵng tọa độ Oxy cho hai điểm A(-l; 4) và B(3; -5). Khi đó tọa độ vectơ BA là bao nhiêu?
(A) (2; -1)	(B) (-4; 9)
(C) (4; -9)	(D) (4; 9)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 5) và B(2; -7). Tọa đệ trung điểm của đoạn thẳng AB là bao nhiêu?
(A)(2; -2)	(B)(-2; 12)
(C) (-1; 6)	(D) (1;-1)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(8; -1) và N(3; 2). Nếu p là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì tọa độ của p là bao nhiêu?
<A)(-2;5)	(B)
(0(13;-3)	(D) (11;-1)