Giải Toán 10: Bài 2. Tổng và hiệu hai vectơ
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN PHÉP CỘNG HAI VECTƠ vẽ hai Định nghĩa Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, AB = ã, BC_= b . Vectơ AC được gọi là tổng của vectơ a và b. Kí hiệu AC = ĂB + BC = ã + b Các qui tắc cần nhớ Qui tắc ba điểm Với ba điểm bất kì M, N và p ta luôn luôn có MN + NP = MP- Qui tắc hình bình hành Muốn tìm tổng của hai vectơ AB và AD không cùng phương, ta vẽ hình bình hành ABCD, khi đó ÃB + ÃD = ÃC. PHÉP TRỪ HAI VECTƠ Vectơ đối Hai vectơ ã và b được gọi là hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng, kí hiệu a = -b hoặc b = -a . Đặc biệt vectơ đôi của vectơ 0 là vectơ 0. Phép trù hai vectơ ĐỊnli nglũa Cho hai vectơ a và b . Ta gọi vectơ a + (-b ) là hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu là a - b. Cho hai vectơ a và b . Muôn tìm hiệu a - b ta lấy một điểm o tùy ý, vẽ OA = ã , OB = b, khi đó ă - b = OẤ - OB = BA. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Cho đoạn thắng AB và điếm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MÁ + MB và MA - MB . Giải A M’ M B Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ sao cho AãT' = MB vậy MA + MB = MA + AM’ = MM' (qui tắc 3 điếm) Vậy vectơ MM’ chính là vectơ tổng của MA và MB • MM; = Mà + MB Ta lại có MA - MB = MA + (-MB) => . MA - MB = Mà + BM (vectơ đối) Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có: Mà + BM = BM + Mà = Bà (clui tắc 3 diêm) Vậy Mà - MB = Bà BÀI 2 Cho hình bình hành ABCD và một điếm M tùy ý. Chứng minh rằng Mà + MC = MB + MD • Giải Ta có: Mà = MB + Bà MC = MD + DC => Mà + MC = MB + MD + (BA + DC) _ ABCD là hình bình hành, hai vectơ BA và DC là hai vectơ đôi nhau nên: BA + DC = õ Suy ra: Mà + MC = MB + MD _ Chú ý: Ta có thế chứng minh: (MA - MB) + (MC - MD) = 0 BÀI 3 Chứng minh rằng đôi với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có a) AB + BC + CD + DA = õ b) AB - Ãĩj = CB - CD Giải Áp dụng qui tắc ba điểm của phép cộng vectơ suy ra điều phải chứng minh. Áp dụng qui tắc ba điếm của phép trừ vectơ suy ra điều phải chứng minh. BÀI 4 Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ + IQ + PS = õ ■ Giải Ta xét tồng: RJ + JI + IQ + QP+ PS + SR = RR = 0 (1) Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên: _JI = AB QP = BC SR = CA => JI + QP + SR = AB + BC + CA = Ãà = Õ (2) Từ (1) và (2) suy ra: RJ + IQ + PS = õ (đpcm) BÀI 5 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB + BC và AB-BC. Giải Học sinh tự vẽ hình. Ta gọi D là điếm đối xứng của A qua BC. Dề thấy: ÃC = BD AB + Ãc = ÃB + BD = ÃD . ÃB + ÃC = ÃD Vậy ta có: ỊAB + ACj = |AD| Ta tính được AD = 2AH = 2. , 2 AC => AD = AB + Acị = aự3 Ta lại có: AB + BC = AC Iab + bc| = Ta có AB - BC = AB + CB Trên tia CB, ta dùng vectơ BẼ = CB • =>ÃB-ẼC = ÃB + BẼ = ÃẼ Tam giác EAC vuông tại A và có: AC = a, CE = 2a, suy ra AE = aự3 . Vậy Jab - Be] = |ÃẼ| = a Vã. BÀI 6 Cho hình bình hành ABCD có tâm o. Chứng minh rằng: a)CO-0B = BA b)AB-BC = DB DA-DB = OD-0C c) Dà - DB + DC = õ Giải a) Ta có, theo qui tắc ba điểm của phép trừ: Ẽà = ÕÃ-ÕB (1) Mặt khác: Õà = co (2) Từ (1) và (2) suy ra: Bà = co - ÕB b) Ta có: DB = AB - AD AD = BC Từ (1) và (2) cho ta: DB = AB - BC Ta CÓ: DA - DB = BA OD - oc = CD (2) BA = CD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm. Dà - DB + DC = (Dà - DB) + DC = Bà + DC = BA + AB (vì DC = AB) = BB = õ BÀI 7 li nào có các đẳng thức sau: = lã - bí Cho các vectơ a và b khác vectơ 0. K' a + b = a + b b) a + b Giải Hình bình hành ABCD có AB = DC = ã và AD = BC = b thì Ịa + b là độ dài đường chéo AC và |a| = AB; jb = BC. Ta có: AC - AB + BC Đẳng thức này chỉ xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điêm A, c. Vậy a + b = a + b khi hai vectơ ã, b cùng hướng. b) Tương tự, là độ dài đường chéo AC là độ dài đường chéo BD a - b| => AC - BD Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD T AB hay ă i b. BÀI 8 Cho a + b = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b. Giải Từ ja + b = 0, ta có: a + b = ổ => ã = Vậy ă và b là hai vectơ đôi nhau. BÀI 9 Chứng minh rằng AB = CD khi và chi khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Giải 1) Giả sử ÃB = CD ta chứng minh AD và BC có cùng trung điếm. Gọi I là trung điểm cúa AD. Ta chứng minh I cũng là trung điếm của BC. Theo qui tắc ba điểm của tông, ta có: ỹỹg = Ãỉ + ĨB ’ CD = CI + ĨD Vì AB = CD nên Ãĩ + ĨB = CĨ + ĨD => ÃI - ID = cÍ - IB Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC. Giả sử các đoạn thẳng AD và BC có cùng trung điểm, ta sẽ chứng minh: ÃD = BC I là trung điếm của AD => Ãỉ + DĨ = õ => Ãỉ - rô = õ I là trung điểm của BC => CI + Bĩ = õ => C i - ĨB = õ Suy ra AI - ĨD = Ci - ĨB => Ãĩ + ĨB = CĨ + ĨD => ÃB = CD (đpcm) c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương a và b , ta có: |a| - |b| < |ă + b| < |ă| + |bj BÀI 2 Cho ba điêm o, A, C không thắng hàng. Khi nào vectơ Õà + OJB nằm trên đường phân giác của góc AOB? Khi nào vectơ ÕÃ--ÕB nầm trên đường phân giác ngoài của góc AOB? BÀI 3 Cho ba vectơ ÕÃ,ÕB,ÕC có độ dài bằng nhau và Õà + ÕB + Õc õ - Tính các góc AOB, BOC, COA. BÀI 4 Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm o. Chứng minh rằng Õà + ÕB + Õẽ + Õ5 + ÕẼ = 0 • Hãy phát biểu bài toán trong trường hợp n- giac ứeu. BÀI 5 Cho hình bình hành ABCD với tâm o. Mỗi khắng định sau đây đúng hay sai? a)ÕÃ-ÕB = ÃB b)cÕ_õB = gà AB - AD = AC _ d’AB-AD = BD CD - CO = BD - BO BÀI 6 Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp các điêm o sao cho Õà = ỠB- Tìm tập hợp các điếm o sao cho Oà = -OB- BÀI 7 Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng Ị5à - DB + DC = õ • BÀI 8 Chứng minh rằng ÃB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. BÀI 9 Cho sáu điếm A, B, c, D, E, F. Chứng minh rằng: ÃD + BẼ + CF = ÃẼ + BF + CD = ÃF + BD + CẼ