Giải Toán 10: Bài 3. Elip

§3. ELIP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm F1(-c; 0),
F2(c; 0) và độ dài không đổi 2a (a > c > 0).
(E) = {M/ F,M + F2M = 2a}
Phương trình chính tắc của elip (E) là:
—2 + P7 = 1 (a2 = b2 + c2) a b
Các thành phần của elip (E) là:
Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0).
Bốn đỉnh: A^-a; 0), A2(a; 0), B^O; -b), B2(0; b).
Độ dài trục lớn A1A2 = 2a.
Độ dài trục nhỏ B1B2 = 2b.
Tiêu cự FjF2 = 2c.
m- .	’ c
Tâm sai e = — .
a
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điếm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:
X2 y2
77- + Tr = 1
25	9
4x2 + 9y2 = 1
4x2 + 9y2 = 36
Giải
Ta có a2 = 25 => a = 5, b2 = 9 => b = 3 Từ b2 = a2 - c2 => 9 = 25 - c2 => c2 = 16 => c = 4 Vậy trục lớn có độ dài 10, trục bé có độ dài 6.
Bốn đỉnh elip là A1(-5; 0), A2(5; 0), Bx(0; -3) và B2(0; 3)
Tiêu điếm Fx(-4; 0) và F2(4; 0).
Phương trình 4x2 + 9y2 = 1 , -2 + Jy = 1
. i k _ 1 A „ _ 2/1 I2J X =>a=2’b=3vàc=6
Suy ra tọa độ các đỉnh A^--;oj, A2^-; °j, B1^°;--^, B2^0;
,	 _ 2
Độ dài trục lớn ATA2 = 1, độ dài trục bé BXB9 = —.
JTOf.Ảoì^\fẠoì
Tiêu điểm F, ’° và F, C. ’0 \ 6 J 2l 6 J
Phương trình 4x2 + 9y2 = 36	= 1
Từ đó ta có các đỉnh là: Aj(-3; 0), A2(3; 0), Bj(O; -2), B2(0; 2) Độ dài trục lớn AjAg = 6, độ dài trục bé BjB2 = 4.
Tiêu điểm Fj(-75 ; 0), F2( 75 ; 0).
BÀI 2
Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
Trục lớn có độ dài bằng 8, trục bé có độ dài bằng 6.
Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
Giải
2 ,.2
X y -ị
Gọi elip cần tìm có phương trình: 2 + 77 = 1 với a > b > 0.
â D
Trục lớn bằng 8 ta có 2a - 8 => a = 4 Trục bé bằng 6 ta có 2b = 6 => b = 3
X2 y2
Vậy elip cần tìm có phương trình: 7— + 7- = 1.
16	9
Trục lớn bằng 10 => 2a = 10 => a = 5 Tiêu cự bàng 6=>2c = 6=>c = 3
Mặt khác b2 = a2 - c2 => b2 = 25 - 9 = 16 X2 V2
Vậy phương trình cần tìm là: 777 + 77 = 1 •
BÀI 3
73
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: a) Elip qua các điểm M(0; 3), N^3;-—1
1; 2
V z )
Một tiêu điểm là F1( _73 ; 0) và elip qua M
Giải
X2 y2 ,
Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): 77 + 77 = 1, với a > b > 0.
0,9, 77 + 77-1 a 2
X x z -	X y
Vậy elip cần tìm có phương trình: 97 + Q- = 1
b) Do (E) có tiêu điểm F1(-73; 0)
=> c = 73 => c2 = 3 b2 = a2 - 3
_	
Mặt khác do elip qua M 9
Giải hệ (1), (2) ta tìm được a2 = 4; b2 = 1
„2 .2 X y
Vậy phương trình cần tìm: — + 1 = 1
 b2 9	144
.a2 + 25b2
b2 =9 a2 =25
a) Theo bài ta có:
(1)
1 ,	3	,
nên ta có: —7 + 777 = 1	(2)
a 4b
a b
BÀI 4
Đế cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm X 40cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Giải
Ta có:	2a = 80 => a = 40
2b = 40 => b = 20
c2 = a2 - b2 = 1200 => c = 20V3
Phải đóng đinh tại các điểm Fp F2 và cách mép ván:
F2A = OA - OF2 = 40 -20V3
=> F2A = 20(2 -73 ) ~ 5,4cm
Chu vi vòng dây bảng: F1F2 + 2a =40^3 + 80 = 40(2 + 7,3 )
BÀI 5
Cho hai đường tròn ^’1(F1; RJ và ^(F,,; ^2^- ^1 n^m trong ^2 và Fj ■*. F2. Đường tròn ‘ểthay đổi luôn tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc trong với 'ểg.
Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn ‘ể di động trên một elip.
Giải
Gọi R là bán kính đường tròn (C).
(C) và (Cp tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:
MF1 = Rj + R	(1)
(C) và (1) tiếp xúc trong với nhau, cho ta:
MF2 = Rọ = R	(2)
Từ (1) và (2) ta được:
MF1 + MF2 = R1 + R2 = không đổi
Điểm M có tổng các khoảng cách MFj + MF2 đến hai điểm cố định Fp F2 bằng một độ dài không đổi Rj + R2.
Vậy tập hựp M là đường elip, có các tiêu điểm Fp F2 và tiêu cự:
FxF2 + Rj + R2
BÀI I
nằm trên elip.
Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
b) Một tiêu điểm là F1 (-73; 0) và điểm M
BÀI 2
Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết
A(0; -2) là một đỉnh và F(l; 0) là một tiêu điểm của (E).
F1(-7; 0) là tiêu điểm và (E) đi qua M(-2; 12).
BÀI 3
X2 2	„
Tìm những điểm trên elip (E): —— + y2 =1 9
Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng 2 lần bán kính qua tiêu điếm phải.
Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 60°.
BÀI 4
X2 y2 ,
Cho elip (E) có phương trình -Ệ- + ^ = 1.
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, tính tâm sai và vẽ (E).
Xác định m để đường thẳng (D): y = X + m và (E) có điểm chung.
BÀI 5
Tìm phương trình chính tắc của elip (E) biết:
Có độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.
Có một tiêu điểm F(2; 0) và M(2; 3) thuộc (E).
BÀI 6
Tìm phương trình chính tắc (hoặc thường gặp) của elip (E) biết:
5^5 ì
1) (E) qua hai điểm Võ; - —ì và ấ375. 4ự5Ầ
và N
-2;
2) M
nằm trên (E) vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một
t 5	5 y
góc vuông và hai tiêu điếm nằm trên Ox.
BÀI 7
Tìm điếm M thuộc (E): — +	- 1 sao cho: MF1 = 2MF2, trong đó F1
là tiêu điểm bên trái và F2 là tiêu điểm bên phải.
BÀI 8
X2 y2	v
Qua tiêu điểm của elip (*<?):	2 + T? = 1 vẽ đường thắng vuông góc với
â. ~ D ~
trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tìm độ dài đoạn thẳng AB.
BÀI 9
„2 ..2
X y	Q	.	O
Cho elip 777 + „ = 1 và điểm 1(1; 2). Viết phương trình đường thăng đi 16	9
qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip hai hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB.
BÀI 10
Tìm tâm sai của elip trong các trường hợp sau đây:
Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.
Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục bé (k > 1).
Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự.
BÀI 11
x2 2 ,
Cho elĩp:	= 1 và đường thẳng d: X - V2y +2 = 0. Đường thẳng
O 4
d cắt elip tại hai điểm B và c. Tìm tọa độ điểm A trên elip sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
BÀI 12
Cho elip (E):	= 1 với tiêu điểm F(-c; 0). Tìm điểm M trên elip
b“
(E) sao cho độ dài FM ngắn nhất.
BÀI 13
Cho đường tròn (Fp 2a) (a là độ dài không đổi) và điểm F9 cố định ở trong đường tròn (Fp 2a). Đặt FjF2 = 2c (0 c < a). (M) là đường tròn tâm M thay đổi luôn luôn đi qua F9 và tiếp xúc với (Fp 2a).
Chứng tỏ rằng quỹ tích những điểm M là một elip.
Viết phương trình chính tắc của elip đó.
BÀI 14
Trên mặt phang tọa độ Qxy cho đường elip có phương trình: 16x2 + 25y2 = 100.
Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai của elip đó.
Tìm tung độ của điểm thuộc elip có hoành độ X = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm.
Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = X + b có điểm chung với elip trên.
BÀI 15
Cho elip (E) có phương trình 3x2 + 5y2 = 30.
Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip.
Một đường thẳng d qua tiêu điểm F2(2; 0) của elip (E), song song với trục tung, cắt elip (E) tại hai điểm A và B. Tính khoảng cách từ A và B tới tiêu điểm Fr
BÀI 16
x2
Cho elip — + y2 = 1 và điểm A(-2; 0).
Gọi M là điểm di động trên elip. Gọi H là hình chiếu của M trên trục Oy. Giả sử AH cắt OM tại p. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên elip thì p luôn luôn chạy trên một đường cong (C) cố định. Vẽ đồ thị đường cong (C).
BÀI 17
Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và một điểm M(l; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt elip tại hai điểm M1, M2 sao cho MMj = MM2.
BÀI 18
Lập phương trình chính tắc từ đó suy ra phương trình tham số của elip (E), biết:
Tám o, một tiều điểm là F(0; 2) và một đỉnh là A(-l; 0).
Đi qua các điểm M( 3^3 ; 2) và N(3; 2 71 )•
BÀI 19
Lập phương trình của elip (E), biết:
Tâm 1(1; 1) tiêu điểm F1(l; 3), độ dài trục nhỏ bằng 6.
Hai tiêu điểm Fj(2; 0), F2(0; 2) và có độ dài trục lớn bằng 8.
Hai tiêu điếm F^-3; 0), F2(3; 4) và đi qua gốc tọa độ.
BAI 20
Cho điểm A(-4; 0) và đường tròn (C) có phương trình:
(C): (x - 4)2 + y2 = 100
Lập phương trình quỹ tích tâm các đường tròn đi qua A và tiêp xúc với (C) (Chú ỷ\ xét 2 trường hợp tiếp xúc trong và tiêp xúc ngoài).
BÀI 21
Cho điểm A(0; 6) và đường tròn (C) có phương trình:
(C): X2 + y2 = 100
Lập phương trình quỹ tích tâm các đường tròn đi qua A và tiêp xúc với (C).
BÀI 22
Cho điểm A(3; 3) và hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình:
(Cx): (x + l)2 + y2 = 16 và (C2): (x - l)2 + y2 = 1
Gọi M là tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (Cx), (C9). Tìm quỹ tích điểm M, biết:
(C) tiếp xúc trong với (Cx) và tiếp xúc ngoài với (C2).
(C) tiếp xúc trong với cả (Cj) và (C2).
BÀI 23
Cho điểm M(2; -2) và elip (E) có phương trình:
Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (E) tại hai điểm phân 32
biệt A, B sao cho AB = —.
5