Giải Toán 10: Ôn tập chương III

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III
BÀI 1
Cho hình chữ nhật ABCD. Biết A(5; 1), C(0; 6) và phương trình cạnh CD: X + 2y - 12 = 0. Tìm phương trình các cạnh còn lại.
Giải
* Cạnh AB // CD, vậy đường thẳng AB qua A(5; 1) nhận nCD(l; 2) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (AB): (x - 5) + 2(y - 1) = 0 o X + 2y - 7 = 0
Đường thẳng AD đi qua A(5; 1) và nhận nCD (2; 1) làm vectơ chỉ
Jx = 5 + t
phương nên (AD): 1 y = + 2t
Đường thẳng BC đi qua C(0; 6) và nhận nCD (2; 1) làm vectơ chỉ
J X = t
phương nên (BC): ịy = 6 + 2t
BÀI 2
Cho A(l; 2), B(3; 1) và C(4; -2). Tìm tập hợp điểm M sao cho: MA2 + MB2 = MC2.
Giải
Gọi M(x; y) ta có:MA2 - (x - l)2 + (y - 2)2 MB2 = (x - 3)2 + (y - l)2 MC2 = (x - 4)2 + (y + 2)2
Ta có:	MA2 + MB2 = MC2
o	(x	- l)2 + (y - 2)2 + (x	- 3)2 +	(y -	l)2 = (x	- 4)2	+ (y	+ 2)2
	X2	_ 2x + 1 + y2 - 4y	+ 4 +	X2	-	6x	+	9 + y2 - 2y +	1	=
= X2 - 8x + 16 + y2 + 4y + 4 o	X2	+ y2 - lOy - 5 = 0
o	X2	+ (y - 5)2 = 30
Vậy trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm M cần tìm là đường tròn (C) có tâm 1(0; 5), bán kính R = Vsõ •
BÀI 3
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:
Ap 5x + 3y - 3 = 0 và A2: 5x + 3y + 7 = 0
Giải
Dễ thấy A1 // A2, nên tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng Ap A2 là đường thẳng A song song với Ap A2 và khoảng cách từ A đến Aj bằng khoảng cách từ A đến A2.
Vậy A: 5x + 3y + c = 0 (c -3 và c * 7)
Ta lấy l[o;
A ta có:
|c - 3l |c + 7|
D(I, Ax) = d(I, A2) « J32 +52 -
 |c - 3| = |c + 7|	 c = -2
Suy ra: A: 5x + 3y - 2 = 0
Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng A: 5x + 3y - 2 = 0
BÀI 4
Cho đường thẳng A:x-y + 2 = 0và hai điểm 0(0; 0), A(2; 0).
Tìm điểm đối xứng của o qua A.
Tìm điểm M trên A sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
Giải
a) Đường thẳng d qua 0(0; 0) và vuông góc với A sẽ nhận nA(l;- l)làm Jx = 0 + t
X - y + 2 = 0
2t = -2
(X = t
X = t
[y = -t
y =
Tọa độ giao điểm của d và A là nghiệm hệ:
r	„	„	't = -l
vectơ chỉ phương. Vậy d: ì y _ 0 _ t
X = —1
y = l
Vậy giao điểm d và A là I(-l; 1).
Gọi O’(xo>; y0>) là điểm đối xứng với o qua A khi đó I là trung điểm 00’.
x„ + x„.
Yi =
y0 + y0' °
-1 =
1 =
0 + xo
2
0 + yo-
x0. = -2
[y0. = 2
O’(-2; 2)
b) Đặt F(x; y) = x - y + 2, ta có: F(0; 0) = 2 > 0, F(2; 0) = 4 > 0. Vậy hai điểm 0(0; 0) và A(2; 0) nằm về cùng một phía so với A. O’ là điểm đôi xứng với o qua A theo a) ta có Q O’(-2; 2). Với mọi điểm M e A ta có:
OM + MA - O’M + MA > O’A Vậy min(OM + MA) = O’A đạt được khi M là giao điểm của A và AO’.
Để tìm tọa độ M (như vậy) trước hết ta lập phương trình AO’, thật vậy ta có:
f X — 2 + 2t
ÃO' = (-4; 2) = -2(2; 1) => (AO’): I y = 0 - t
Tọa độ điếm M là nghiệm hệ sau:
X-y + 2 = 0 X = 2 + 2t <: y = -t
2 + 2t + t + 2 = 0 X = 2 + 2t y = -t
t=4
3
„(2 4 ì
Vậy Ml “gỉ g I là điếm cần tìm.
BÀI 5
Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8)
Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp AABC.
Chứng minh rằng I, G, H thẳng hàng.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp AABC.
Giải
a) Gọi G(xg; yG) là trọng tâm AABC ta có:
XA + XB + xc
4 + 2-3
-_yA+yB+yc ,3+7-82 VậyGll; j 3	3	3.
Ta dễ thấy ÃABC vuông tại B.
Do AABC vuông tại B, vậy trực tâm H = B(2; 7).
Xạ +Xc
Do AABC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp AABC là trung điểm I của AC, gọi I(xp yj).
y,=^4^- 1 2
% VậyI(2;"2 2
Dễ thấy IG = — GH.Vậy ba điểm I, G, H thẳng hàng.
AC V170
	_ 4T_ _	/1	1	1 z 1 A(
Đường tròn ngoại tiêp AABC có tâm 11 2 ’ - 2; và kán kính R = —
7 if .	5?	170
Vậy phương trình là: Ị X - — I + I y + — I = —ị—
BÀI 6
Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường sau: A: 3x - 4y + 12 = 0 và A’: 12x + 5y - 7 = 0.
Giải
M(x; y) thuộc đường phân giác cần tìm khi và chỉ khi:
|3x-4y + 12| Ịl2x + 5y-7| d(M, A) = d(M, A’) o 1 ,	' = 1	1
ự32+(-4)2	7l22+52
|3x-4y + 12| |l2x + 5y-7|
725	-	7169
 13 |3x - 4y + 12| - 5 |l2x + 5y - 7|
13(3x - 4y + 12) = 5(12x + 5y - 7)
l_13(3x - 4y + 12) = -5(12x + 5y - 7)
21x-77y + 191 = 0 99x - 27y + 121 = 0
Vậy các đường phân giác cần tìm có phương trình:
21x - 77y + 191 = 0 và 99x - 27y + 121 = 0
BÀI 7
Cho đường tròn (C) có tâm 1(1; 2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C) tạo với nhau một góc 60° là một đường tròn và viết phương trình đường tròn đó.
Giải
Giả sử M là một điếm mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến tới (C), sao cho hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 60°.
=> IM =
IH
sin 30°
Giả sử H là tiếp điếm của 1 trong 2 tiếp tuyến đó, ta có AMIH vuông tại H, HMI = 30° -
Vậy M cách điếm I cô định một khoảng bằng 6.
=> M thuộc đường tròn tâm 1(1; 2), bán kính R’ = 6, phương trình: (x - l)2 + (y - 2)2 = 36
BÀI 8
Tìm góc giữa hai đường thẳng Ap A2 trong các trường hợp sau:
Ap 2x + y - 4 = 0 và A2: 5x - 2y + 3 = 0
13
Ap y = -2x + 4 và A2: y = -X + -
|2
a) Gọi (f> là góc giữa Ap A9 ta có coscp = -7=77 8 V2
Giải
■5 + l.(-2)|
+ 12 a/52 + 4
Vậy <p là góc thỏa mãn: cosọ = ỰĨ45
b) Ax có hệ số góc kj = -2, A2 có hệ số góc k9 = —
—> kpk2 = —1 => Aj _L A2
Vậy góc giữa Aj và A2 bằng 90°.
BÀI 9
Cho elip (E): ^ + v = l 16	9
Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.
Giải
Ta có:	a2 = 16 => a = 4
b2 = 9 => b = 3
mà c2 = a2 - b2 => c2 = 7 => c = ựỹ
Vậy elip có 4 đỉnh AjC-4; 0), A2(4; 0), B1(0; -3), B2(0; 3).
Tiêu điểm elip F/-V7; 0), F2( 7Ỹ; 0).
BÀI 10
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip, mà Trái Đất là một tiêu điếm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769266km và 768106km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên.trục lớn của elip.
Giải
Khoảng cách ngắn nhất từ Mặt Trăng M đến Trái Đất F2 là F2A. Khoảng cách dài nhất từ Mặt Trăng M đến Trái Đất F2 là F2A’. Ta thấy: F2A = OA - 0F1 = a - c
F1A = OA’ + OF2 = a + c Ta biết 2a = 769266 => a = 384633
e = — => c = a.e = 384633 X 0,0549 « 21116 (km) a
Suy ra F2A « 363517 (km), FXA « 405749 (km)
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(l; 2), B(3; 1) và C(5; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao vẽ từ A?
2x + 3y - 8 = 0	(B) 3x - 2y - 5 = 0
(C) 5x - 6y + 7 - 0	(D) 3x - 2y + 5 = 0
Cho tam giác ABC với A(—1; 1), B(4; 7) và C(3; -2). Phương trình tham số của trung tuyến CM là:
[x = 3 + t	fx = 3 + t
<A)|y = -2 + 4t	<B)|y = -2-4t
fX = 3 -1	í X = 3 + 3t
(C)[y = 4 + 2t	(D)[y = -2 + 4t
fx = 5 + t
Cho phương trình tham số của đường thẳng d: ịy _ _g _ 2t
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d)?
2x + y - 1 = 0	(B) 2x + 3y + 1 = 0
(C) X + 2y + 2 = 0	(D) X + 2y - 2 = 0
Đường thẳng đi qua điểm M(l; 0) và song song với đường thẳng d: 4x +
Cho đường thẳng d có phương	trình	tổng quát:	3x	+ 5y + 2006 = 0.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
(d) có vectơ pháp tuyến n= (3; 5)
(d) có vectơ chỉ phương a= (5; -3)
5
(d) có hệ số góc k =
O
(d) song song với đường thẳng 3x + 5y = 0
Bán kính của đường tròn tâm 1(0; -2) và tiếp xúc với đường thẳng A: 3x - 4y - 23 = 0 là:
15	(B) 5
(C) I	(D) 3
5
Cho hai đường thẳng
d1: 2x + y + 4 - m = 0 và d2: (m + 3)x + y - 2m -1 = 0 d1 song song với d2 khi:
(A) m = 1	(B) m = -1
(C) m = 2	(D) m = 3
Cho (dj): X + 2y + 4 - 0 và (d2): 2x - y + 6 = 0. số đo của góc giữa hai đường thẳng dj và d9 là:
g\")30°	(B) 60°
(0 45°	(D) 90°
Cho hai đường thẳng A1: X + y + 5 = 0 và A2: y = -10. Góc giữa Ax và A2 là:
(A) 45°	(B) 30°
(C) 88°57’52”	(D) 1°13’8”
Khoảng cách từ điểm M(0; 3) đến đường thẳng A: xcosa + ysina + 3(2 - sina) = 0 là:
(A) Tẽ	(B) 6
3
(C) 3sinoc	(D) -7——————
sin a + cos a
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
(A) X2 + 2y2 - 4x - 8y + 1 = 0	(B) 4x2 + y2 - lOx - 6y - 2 = 0
(C) X2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0	(D) X2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0
Cho đường tròn (C): X2 + y2 + 2x + 4y - 20 = 0 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
(A) (C) có tâm 1(1; 2)	(B) (C) có bán kính R = 5
(C) (C) đi qua điểm M(2; 2)	(D) (C) không đi qua điểm A(l; 1)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 4) với đường tròn
(C): X2 + y2 - 2x - 4y - 3 = 0 là:
(A) X + y - 7 = 0	(B) X + y + 7 = 0
(C) x - y - 7 = 0	(D) X + y - 3 = 0
Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 4x - 2y = 0 và đường thẳng A: X + 2y + 1 = 0
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
(A) A đi qua tâm (C);	(B) A cắt (C) tại hai điểm;
(C) A tiếp XÚC (C);	(D) A không có điểm chung với (C).
Đường tròn (C): x2 + y2-x + y- l = 0có tâm I và bán kính R là:
.......	_	<1. lì Tẽ
(A) I (-1; 1), R = 1;	(B) I [f;=	;
_ Tẽ
(C) I ^2;fJ’R = 2;	(D) I (1;-1); R = Tẽ •
Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây là phương trình của đường tròn
X2 + y2 - 2(m + 2)x + 4my + 19m -6 = 0?
(A) 1 < m < 2;	(B) -2 < m < 1;
(C) m 2;	(D) m 1.
Đường thẳng A: 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): X2 + y2 = 1 khi:
(A) m = 3;	(B) m = 5;
(C) m = 1;	(D) m = 0.
Cho hai điểm A (1; 1) và B (7; 5). Phương trình đường tròn đường kính AB là:
X2 + y2 + 8x + 6y + 12 = 0;
X2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0;
X2 + y2 - 8x - 6y - 12 = 0;
X2 + y2 + 8x + 6y - 12 = 0.
Đường tròn đi qua ba điếm A (0; 2), B (-2; 0) và c (2; 0) có phương trình là:
X2 + y2 = 8;
X2 + y2 + 2x + 4 = 0;
X2 + y2 - 2x - 8 = 0;
X2 + y2 - 4 = 0.
Cho điểm M (0; 4) và đường tròn (C) có phương trình: X2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0.
Trong các phát biểu sau, tìm phát biểu đúng:
M nằm ngoài (C);
M nằm trên (C);
M nằm trong (C);
M trùng với tâm của (C).
Cho elip (E):	= 1 và cho các mệnh đề:
(E) có tiêu điểm Fx (-4; 0) và F2 (4; 0);
. c 4
(E) có tỉ sô _ = P ;
a 5
(E) có đỉnh Ax (-5; 0);
(E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
(I) và (II);
(II) và (III);
(I) và (III);
(IV) và (I)
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là (-3; 0), (3; 0) và hai tiêu điểm là (-1; 0), (1; 0) là:
(1
2 „2 _ X y
(C,T + T
1;
1:
„ x y
„2 _,2 V V
,U’TTg '-
Cho elip (E): X2 + 4y2 = 1 và cho các mệnh đề:
(E) có trục lớn bằng 1;
(E) có trục nhỏ bằng 4;
' Tã'
(E) có tiêu điểm F, O’-Q- ;
< z y
(E) có tiêu cự bằng 73 .
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
(A) (I);	(B) (II) và (IV);
(C) (I) và (III);	(D) (IV).
X2 y2
Dây cung của elip (E): — +	= 1 (0<b<a) vuông góc với trục lớn
tại tiêu điểm có độ dài là:
2c2
(A)
a
Of, 2
(C)	,
c
(B)
a
(D) —
2b2
c 12
Một elip có trục lớn bằng 26, tỉ sô' — = 7“. Trục nhỏ của elip bằng
H lơ
bao nhiêu?
(A) 5;	(B) 10;
(C) 12;	(D) 24.
Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
(A) (E) có trục lớn bằng 6;	(B) (E) có trục nhỏ bằng 4;
(D) (E) có tỉ số — - 3
(C) (E) có tiêu cự bằng 75 ;
75
Cho đường tròn (C) tâm Fj bán kính 2a và một điểm.F2 ở bên trong của (C).
Tập hợp tâm M của các đường tròn (ơ) tnay ũói nhưng luôn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) là đường nào sau đây?
(A) Đường thẳng;	(B) Đường tròn;
(C) Elip;	(D) Parabol.
Khi cho t thay đổi, điếm M (5cost; 4sint) di động trên đường nào sau đây?
(A) Elip;	(B) Đường thẳng;
(C) Parabol;	(D) Đường tròn.
_	.	X N	_____
Cho elip (E):	+ pr = 1 (0 < b < a). Gọi Fp F2 là hai	tiêu	điểm	và
cho điếm M	(0; -b). Giá trị nào sau đây bằng giá trị của	biểu	thức
MFpMF2 - OM2?
(A) c2;	(B) 2a2;.	(C) 2b2;	(D) a2 - b2.
Cho elip (E):	— +	= 1 và đường thẳng A: y + 3 = 0.
Tính các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến đường thẳng A bằng giá trị nào sau đây:
(A) 16;	(B) 9;	(C) 81;	(D) 7.
BẢNG KẾT QUẢ
Câu
Kết quả
Câu
Kết quả
Câu
Kết quả
1
A
11
D
21
D
2
B
12
A
22
c
3
A
13
D
23
D
4
c
14
c
24
B
5
c
15
B
25
B
6
D
16
c
26
C
7
B
17
B
27
C
8
D
18
B
28
A
9
A
19
D
29
A
10
B
20
A
30
B