Giải Toán 10: Ôn tập chương II
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II BÀI 1 Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc a với 0° < a < 180°. Tại sao khi a là góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ sô lượng giác đã được học ở lớp 9. Giải Học sinh tự trả lời bằng cách dựa trên lí thuyết đã học. BÀI 2 Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau? Giải Cho hai góc a và 180° - a. Gọi M và M’ lẩn lượt là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = a và xOM = 180° - a . => M và M’ đối xứng nhau qua trục Oy. => Tung độ của hai điểm M và M’ bằng nhau còn hoành độ của hai điểm M và M’ thì đối nhau hay hai góc bù nhau có sin bằng nhau và cosin đối nhau. BÀI 3 Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ã và b • Tích vô hướng này với |ă| và |b| không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào? Giải Ta có: ã-b = |ă|. jbj. cos( ã , b)với |ã| và |b| không đổi. => ă-b đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi cos( ã, b) lớn nhất. cos( ã, b) = 1 (ã > b) - 0° bay ã và b là hai vectơ cùng hướng, ã và b đạt giá trị nhỏ nhất cos( ă, b) nhỏ nhất. cos(ã, b 1 - “1 1 ã> b) - 180° hay ã và b là hai vectơ ngược hướng. BÀI 4 Trong hệ tọa độ Oxy cho vectơ a (-3; 1) và vectơ b (2; 2), hãy tính tích vô hướng a . b. Giải ã.b = -3.2 + 1.2 = -4 BÀI 5 Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ hệ thức này hãy tính cosA, cosB và cosC theo các cạnh của tam giác. Giải Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Khi đó: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2bacosC. Do đó: cos A = BÀI 6 b2 . _2 + c 2bc cosB = 2 2 1. 2 a + c - b 2ac cosC = 2 1 2 a + b - c 2ab Từ hệ thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA trong tam giác, hãy suy ra định lí Pitago. Giải Từ hệ thức a2 = b2 4- c2 - 2bccosA Nếu  - 90° => cosA = 0 => a2 = b2 + c2 (định lí Pitago) BÀI 7 Giải c Dựa vào định lí sin chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có a - 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC. Từ định lí sin —— = -y—— = “7—— sin A sin B sin c sin A b sin B c BÀI 8 sin c = 2R = 2R = 2R a = 2R sin A b = 2R sin B c = 2R sin c Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2 Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2 Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2 Giải b2 +c2 2bc Theo định lí cosin ta có: COS A Ta có: A nhọn cosA > 0 A tù o cosA cosA = 0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. BAI 9 Cho tam giác ABC có  = 60", BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Giải Theo định lí sin, ta có: = 2R => R = a = n .6 = 273 sin A 2 sin A 2 sin 60" BÀI 10 Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c - 20. Tính diện tích s của tam giác, chiều cao ha, các bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác. Ta có: p Giải a + b + c 12 + 16 + 20 2 2 Diện tích s tam giác: = 24. Suy ra: s = 7p(p - a)(p - b)(p - c) = 724(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20) .= 96 2S 2.96 16 Ta lại có: s = — aha => ha = - m _ abc _ abc 12.16.20 Ta có: s = —=> R = -.77 = —'7' = 10 4R 4S 4.96 s 96 A Mặt khác s = pr. Vậy r - p _ 24 _ 4 Theo công thức trung tuyến: , 2(b2 + c2) - a2 2(162 + 202) - 122 _ QQQ m: — — - — a 4 4 Vậy ma« 17,09. BÀI 11 12 Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Giải => s lớn nhất sinC lớn nhất. sinG = 1 hay.c = 90° Vậy trong tập tam giác có hai cạnh a và b, tam giác vuông tại c có diện tích lớn nhất. BÀI 12 Ta có: s = — absinC Cho tam giác ABC có BC = a, CA - b, AB = c. Hãy tính các góc của tam giác đó. Giải Ta có: „ A _ b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2 cos A = — — : cos B = : COS c = 2bc 2ac 2ab CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? /3 x/3 sinl50° = (B) cosl50° = - 1 _ L (C) tanl50° = -(D) cotl50° = Tã Cho a và p là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào Jà sai? since = sinp (B) cosa = -cõsp (C) tanoe = -tanp (D) cotcc - cotp Cho a là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? sinot 0 (C) tana 0 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? (A) cos45° = sin45° (B) cos45° - sinl35° (C) cos30° = sinl20° (D) sin60° = cosl20° Cho hai góc nhọn ce và p trong đó a < p. Khẳng định nào sau đây là sai? (A) cosa < cosp (B) since < sinp (C) coscc = sinp oe + p = 90° (D) tance + tanp > 0 Tam giác ABC vuông ở A và có góc B = 30°. Khẳng định nào sau đây là sai? (A) cosB = (B) sinC = (C) cosC = — (D) sinB = Tam giác đều ABC có đường cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng? Điều khắng định nào sau đây là đúng? (A) since = sin(180° - ce) (B) cosce = cos(180° - ce) (C) tancc = tan(180° - oe) (D) cotce = cot(1805 - oe) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây: (A) cos35° > coslO0 (B) sin60° < sin80° (C) tan45° < tan60° (D) cos45° = sin45° Tam giác ABC vuông ở A và có góc B = 50°. Hệ thức nào sau đây là sai: (A) (ÃB, BC) = 130° (B) (BC,AC) = 40° (C) (AB,CB) = 50° (D) (AC,CB) = 120° Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng. (A) a-b = |a|-|b| (B) a.b = 0 (C) a-b - “1 (D) ã.b = -|a|.|b| Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC là: (A) 50cm2 (B) 50V2 cm2 (C) 75cm2 (D) lõựĩõõcm2 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Gọi góc ABC - a và ACB = p. Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh a và b: (A) p > a (B) p < a (C) p = a (D) a < p Cho góc xOy = 30°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox yà Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: (A) 1,5 (B) 73 (C) 272 (D) 2 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Nếu b2 + c2 - a2 > 0 thì góc A nhọn. Nếu b2 + c2 - a2 > 0 thì góc A tù. Nếu b2 + c2 - a2 < 0 thì góc A nhọn. Nếu b2 + c2 - a2 < 0 thì góc A vuông. Đường tròn tâm o có bán kính R = 15cm. Gọi p là một điểm cách tâm o một khoảng PO - 9cm. Dây cung đi qua p và vuông góc với PO có độ dài là: (A) 22cm (B) 23cm (C) 24cm (D) 25cm Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 18cm và có diện tích bằng 64cm2. Góc A của tam giác có giá trị sinA là: . <b,l . Cho hai góc nhọn a và p phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? (A) sina - -cosp (B) cosa - sinp (C) tana = cotp (D) cota = tanp Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? (A) sin90° < sinl50° (B) sin90°15’ < sin90°30’ (C) cos90°30’ > coslOO0 (D) cosl50° > cosl20° Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai? (A) ÃB.ÃC < RA.BC (B) AC.CB < AC.BC (C) AB.BC < CA.CB (D) AC.BC < BC.AB Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 7cm, CA = 9cm. Giá trị của cosAlà: ,2 _ 1 _ 2 1 (A,| (B,i (C)-| (D)| ■ Cho hai điểm A(l; 2) và B(3; 4). Giá trị của AB2 là: (A) 4 (B) 4x/2 (C) 672 (D) 8 Cho hai vectơ a - (4; 3) và b = (1; 7). Góc giữa hai vectơ a và b là: (A) 90° (B) 60° (C) 45° (D) 30° Cho hai điếm M(l; -2) và N(-3; 4). Khoảng cách giữa hai điếm M và N là: (A) 4 (B) 6 (C) 376 (D) 27Ĩ3 Tam giác ABC có A = (-1; 1); B = (1; 3); c = (1; -1). Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn. ABC là tam giác cân tại B (có BA = BC). ABC là tam giác vuông cân tại A. Cho tam giác ABC có A = (10; 5), B = (3; 2) và c = (6; -5). Khẳng định nào sau đây là đúng? ABC là tam giác đều. ABC là tam giác vuông cân tại B. ABC là tam giác vuông cân tại A. ABC là tam giác có góc tù tại A. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm o bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số — bằng: (A) 1 + 72 (B) (C) (D) Tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm và BC = 15cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là: (A) 8cm (B) 10cm (C) 9cm (D) 7,5cm Tam giác ABC có BC = a, CA - b, AB = c và có diện tích s. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc c thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: (A) 2S (B) 3S (C) 4S (D) 6S Cho tam giác cân DEF có DE = DF = 10cm và EF = 12cm. Gọi I là trung điểm của cạnh EM và K là trung điểm của cạnh DF. Đoạn thẳng IK có độ dài là: (A) 6,5cm (B) 7cm (C) 5cm (D) 4cm BẢNG KẾT QUẢ Câu Kết quả Câu Kết quả Câu Kết quả 1 c 11 A 21 A 2 D 12 c 22 D 3 c 13 B 23 c 4 D 14 D 24 D 5 A 15 A 25 D 6 A 16 c 26 B 7 c 17 D 27 A 8 A 18 A 28 B 9 A 19 c 29 D 10 D 20 D 30 c B. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Tính các cạnh thứ ba của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau: a = 7 ; a = 2 ; b - 0,4 b = 10 c = 3 ; c = 12 C = 56°29’ B = 123°17’ A = 23°28’ BÀI 2 Tam giác ABC có c = 35, b = 20,  = 60°. Tính chiều cao ha. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. BÀI 3 Cho tam giác ABC. Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp; ra, rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, c của tam giác. Chứng minh rằng: , A z B z x C r = (p - a)tg — = (p - b)tg- = (p - c)tg- A B C ra = p.tg— ; rb=p.tg- ; rc = p.tg- BÀI 4 Tính góc A của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa hệ thức: b(b2 - a2) = c(c2 - a2) (b c) BÀI 5 Cho tam giác ABC thỏa điều kiện: < a + c - b a = 2bcosC (2) Chứng minh tam giác ABC đều. BÀI 6 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: . 4 ... I a2 + b2+c2 cotgA + cotgB + cotgC = — BÀI 7 s Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: a4 - b4 + c4. Chứng minh tam giác ABC có các góc đều nhọn. Chứng minh: 2sin2A = tgB.tgC. BÀI 8 Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến Xuất phát từ các đỉnh B, c là mb, mc thỏa mãn: b = 1 Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC BÀI 9 Chứng minh với tam giác ABC bất kì, ta có: ABC r = p.tg^.tg^.tgj BÀI 10 Cho tam giác ABC, M là điếm tùy ý trên cạnh BC. Đặt AM = d, BM = m, CM = n Chứng minh: mb2 + nc2 = ad2 + amn (Định lí Stewart) BÀI 11 Cho tứ giác ABCD; I, J là trung điểm của AC và BD. Chứng minh hệ thức: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2 Chứng tỏ rằng trong một hình bình hành, tống bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo. BÀI 12 Cho tam giác ABC cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm D, còn trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BD = — BC, AE = ED. Tính độ dài đoạn thẳng CE. BÀI 13 Cho tam giác ABC. Vẽ các đường phân giác AD, CF. Biết AC = 6, AF = 2, CD = 3. Tính độ dài đoạri thẳng DF. BÀI 14 Cho tam giác ABC, vẽ các đường cao AD, CE. Biết BC = a, AB = b, DE mz , " -^7 = k. Tính độ dài đoạn thăng AC. BÀI 15 Cho hình thang ABCD (AD // BC). Biết AD = a, BC = b, CD = d, AB = c. Tính các đường chéo AC và BD của hình thang. BÀI 16 Cho tam giác ABC với các cạnh có độ dài tương ứng là a, b, c thỏa mãn hệ thức: a = k2 + k + 1 b = 2k + 1 c = k2 - 1 (k > 1) Tính giá trị của góc A. BÀI 17 Tam giác ABC có diện tích s, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R thỏa mãn hệ thức: 3S = 2R2(sin3A + sin3B + sin3C) Chứng minh ABC là tam giác đều. BÀI 18 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, diện tích bằng s. Tìm các góc của tam giác, biết s = 4 (a2 + b2). BÀI 19 Cho tam giác ABC, các trung tuyến AA1 và BB1 cắt nhau tại M. Biết rằng tứ giác MB1CA1 ngoại tiếp đường tròn. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân. BÀI 20 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có các đường cao ha, hb, hc và bán kính r của đường tròn nội tiếp liên hệ với nhau bởi hệ thức: ha + hb + hc = 9r thì tam giác ABC là tam giác đều. BÀI 21 Cho tam giác ABC, các cạnh BC, CA, AB lần lượt có độ dài a, b, c; G là trọng tâm của tam giác; M là điểm tùy ý của mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + |(a2 + b2 + c2) Từ đó suy ra: tống bình phương của các khoảng cách từ một điểm của một mặt phắng đến các đỉnh của tam giác có giá trị nhỏ nhát trùng với trọng tâm tam giác. BÀI 22 Cho a = x2 + l+x;b = 2x + l;c = x2-l. Hãy tìm X sao cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng tam giác nhận được luôn luôn có một góc bằng 120°. BÀI 23 Trên mặt phắng cho hai điểm A và B cùng nằm về một phía đối với đường thẳng (d). Hãy tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tống MA2 + MB2 là bé nhát. BÀI 24 Cho AABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Giả sử a2, b2, c2 cũng là độ dài các cạnh của AA’B’C’. Chứng minh AABC nhọn. Hãy so sánh góc bé nhất của AABC với góc bé nhất của AA’B’C’. BÀI 25 Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4EF2 Từ đó hãy chứng minh rằng một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tổng bình phương của bốn cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo. BÀI 26 Đường thẳng chứa đường trung tuyến đi qua đĩnh c của AABC cắt đường tròn ngoại tiếp AABC tại D. Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ đế trọng tâm của AABC là trung điếm của dây CD là 2c2 = a2 + b2. BÀI 27 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có bất đẳng thức: ã ma + mb + mc < -R