Giải Toán 10: Bài 3. Các hệ thức trong tam giác và giải tam giác
§3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỊNH LÍ COSIN Định lí Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: a2 - b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = a2 + b2 - 2ab cosC Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma, mb và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và c của tam giác. Ta có: ĐỊNH LÍ SIN Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: sin A sinB sinC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Diện tích s của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: s = 4 ab sin c = 4 be sin A = ị ca sin B 2 2 2 4R s = pr s = Ợp(p - a)(p - b)(p - c) (công thức Hê-rông) B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 58° và cạnh a = 72cm. Tính c, cạnh b, cạnh c và đường cao ha. Giải • c = 90° - B = 32° • Theo định lí sin, ta suy ra: b = asinC _ 72. sin 32° sin A _ sin 90° a sin B sin A 72. sin 58° sin 90° 38,15 (cm) 61,06 (cm) • Ta có: s = g-bc = P a.ha (do tam giác ABC vuông tại A) bc 61,60.38,15 a 72 32,35 (cm) BÀI 2 Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,lcm, b = 85cm và c = 54cm. Tính các góc Â, B và c. Theo định lí cosin, ta suy ra: 0,8090 -0,2834 Ạ b-+c--a- 852 + 542 - (52,1)2 • cos A = — = 2bc 2.85.54 a2 + c2 - b2 _ (52, l)2 + 542 - 852 2ac “ 2.52,1.54 Vậy  « 36°. Vậy B ~ 106°28’. Suy ra c = 180° - ( + B) = 180° - (36° + 106°28’) « 37°32’ BÀI 3 Giải = 82 + 52 - 2.8.5.cosl20° a 129 = -0^9 2.(11,36).5 a 23° Cho tam giác ABC có  - 120°, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a và các góc B, c của tam giác đó. Theo định lí cosin, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA Vậy a a ll,36cm. a2 + C2 - b2 Ta có: cosB = — — = 2ac Vậy B a 37°. Suy ra: c = 180° - ( + B) BÀI 4 Tính diện tích s của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7,9 và 12. Giải Ta có: 2p= 7 + 9 + 12=>p=14 p-a=14-7 = 7 p - b = 14 - 9 = 5 p - c = 14 - 12 = 2 Ap dụng công thức Hêrong: s = 714.7.5.2 = 722.72.5 = 14 75 (đvdt) BÀI 5 Tam giác ABC có  = 120°. Tính cạnh BC cho biết cạnh AC = m và AB = n. Giải Ta có BC2 = AC2 + AB2 - 2AB.AC cosl20° BC2 = m2 + n2 - 2m.il. - BC2 = m2 + n2 + mn => BC = ựm2 + n2 + mn BÀI 6 Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. Tam giác đó có góc tù không? Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó. Giải Do a < b < c. „ _ a2+ b2-c2 _ 82 +102 -132 1 - 2ab 2.8.10 ' 16 => c > 90° hay tam giác ABC có góc c tù. Ta có: MA2 = 2(AB2 + AC2) - BC2 = 2(102 + 132) - 82 = 118,5 MA « 10,89 (cm). BÀI 7 Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết: Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm. Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm. Giải Nhận xét: Trong tam giác đốì diện với cạnh lớn nhát là góc lớn nhất. Vậy trong câu a) thì góc c là góc lớn nhất, còn trong câu b) thì góc A là góc lớn nhất. ~ 9 + 16-36 11 n ~ a) cosC =-- . • = -77 ~ -0,4583 => c ~ 117°16’ 2.3.4 24 h) cos = BÀI 8 132 + 372 -402 62 2.13.37 - 702 A ~ 93°41’ Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, B = 83° và c - 57°. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác. Ta có:  = 180° - (B + C) = 180° - (83° + 57°) = 40° _ a bc Theo định lí sin, ta có: ——- = ——— = , ta suy ra: * sin A sinB sinC asinB 137,5.sin 83° b = 7 = ,« 212,31 (cm) sin A sin 40° asinC 137,5.sin57° ir,n . . c = ; - = " -"777 ~ 179,40 (cm) sin A sin 40“ c _ c _ 179.40 Ta có: -^t; = 2R « R =-f—. Vậy R = = 106,95cm sinC 2sinC 2 sin 57 BÀI 9 Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC - b, BD = m và AC = n. Chứng minh rằng m2 + n2 = 2(a2 + b2). Giải A Cho hình bình hành ABCD, ta phải chứng minh: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) Ta có: AC2 + BD2 = AC2 + BD~ D- = (ÃẼ + ÃD)2 + (Bà + BC)2 = 2(AB2 + AD2) + 2(ÃB.ÃD + BA.BC) Do BA = -AB và BC = AD nên: AB.AD + BA.BC = 0 Vậy ta có: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) •*» BÀI 10 Hai tàu thủy p và Q cách nhau 300m. Từ p và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB. ơ trên bờ biến người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc BPA =35" và BQA =48°. Tính chiều cao của tháp. A Giải • Xét tam giác PQB có: P = 35°, PQB = 132° Suy ra: PQB = 180° - (35° + 132°) = 13° . , QB PQ Theo định lí sin, ta có: sin 35 sin 13 „„ PQ.sin35° 300. sin 35° => h>ky — . —— — —— sin 13° sin 13" Vậy BQ « 764,93m. • Xét tam giác QBA, ta có: QBA = 180" - (48° + 90") = 42° Theo định lí sin, ta có: AB = BQ AB _ BQ.sin48° ~ 764,93.sin 48° sin 48° _ sin 90° _ sin 90° ~ sin 90° Vậy AB ® 568,45 (cm). BÀI 11 Muốn đo chiều cao Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân c của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao h = l,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm Ap B1 cùng thẳng hàng với Cj thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được DA1C1 = 49° và DBjCj = 35°. Tính chiều cao CD = CC1 + C1D của tháp đó. Giải Ta có: DA1C1= 49° => DB1C1 = 131° => A1DB1 = 14° Xét tam giác DAjBp ta có: „ . A,B, .sinDB.A, DA, = ——! . 1—1 sin A1DB1 => DAj « 28,45 (m) Xét tam giác DCjAp ta có: CJ1A1 = 90° - 49° = 41°, suy ra: DC, DA, sinDÃ^C/ sin 90° => DC, = ĐA; <R5C|. 28.45 Sin49- ' sin 90° 1 Vậy chiều cao tháp CD w 1,3 + 21,47 ~ 22,77 (m).