Giải Toán 12: Bài 1. Khái niệm về khối đa diện

Chương I
KHÔI Dfĩ DIỆN
§1. KHÁI NIỆM VỂ KHỐI ĐA DIỆN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hình đa diện, khối đa diện
Hình đa diện là hình gồm có một số hữu hạn các miền đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:
Hai miền đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của mỗi miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác.
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khôi đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.
Phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa diện
Một khối đa diện có thể được chia thành nhiều khôi đa diện.
BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số’ các mặt của nó phải là một sô chẵn. Cho ví dụ.
Giải
Gọi M là số mặt, c là số cạnh của đa diện. Do mỗi mặt là tam giác có 3 cạnh, nên với M mặt thì có 3M cạnh. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của 2 mặt nên ta có 2C = 3M.
Hệ thức trên chứng tỏ M là một số chẵn. Vậy tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Ví dụ: Tứ điện, các hình đa diện là lắp ghép bởi hai hình chóp chung đáy là đa diện có các mặt là tam giác và tổng số các mặt của nó là
Bài 2. Chứng minh rằng một đa giác mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Giải
Gọi c là số cạnh. Đ số đỉnh và p là số cạnh chung tại mỗi đỉnh của đa diện.
Do tại mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh nên có pĐ cạnh. Mà mỗi cạnh thì có hai đỉnh nên ta có 2C = pĐ.
Do p là số lẻ nên hệ thức trên chứng tỏ Đ là một số chẵn.
Ví dụ: Tứ diện, hình lập phương là các đa diện có p = 3 là một số lẻ và Đ là một số chẵn. (Tứ diện có Đ = 4, hình lập phương có Đ = 8).
Bài 3. Chia một khôi lập phương thành năm khôi tứ diện.
Giải
Trong hình bên, khôi lập phương ABCD.A'B'C'D' được chia thành 5 khôi tứ diện là:
ABDA', BCDC', BA'B'C', DA'C'D', BDA'C'
Bài 4. Chia một khôi lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. Giải
Ta chia khối lập phương ABCD, A'B'C'D' thành 6 khối tứ điện như sau:
Trước hết chia khôi lập phương thành hai khôi lăng trụ bằng nhau là ABC.A B'C' và ACD.A'C'D'.
Tiếp tục chia khôi lăng trụ ABC. A'B'C' thành 3 khối tứ diện là ABCC , AA'B'C', ABB'C'.
Ta thấy 3 khôi tứ diện này bằng nhau.
Tương tự ta chia khối lăng trụ ACD.A'C'D' thành 3 khôi lăng trụ bằng nhau là ACDC', AA'C'D', ADC'D'.
Vậy: Khối lập phương được chia thành 6 khối tứ diện bằng nhau.