Giải Toán 12: Bài 3. Phương trình của đường thẳng

  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 1
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 2
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 3
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 4
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 5
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 6
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 7
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 8
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 9
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 10
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 11
  • Bài 3. Phương trình của đường thẳng trang 12
§3. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm Mo(xo; y0; z0) có vectơ chỉ phương (a; b; c) có phương trình tham số là:
X = x0 + at
< y = y() + bt (t 6 R), trong đó a2 + b2 + c2 * 0 z = z0 + ct
Phương trình chính tắc của đường thẳng
X - x„ y - y„ z - z„ , ,
-—-2. = J	° = ——2- (abc * 0)
a	b	c
Góc
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng Ai và A2 có vectơ chỉ phương lần lượt là ũ (ag
bi; Ci> và v(a2; b2; c2).
Gọi (p là góc giữa Ai và A2, ta có:
_d	la.a,, + b.b,, + c.c,
coscp = cos(u, v) = —, ■ ' 1 2	ỵ--L_	2'
1	1	/„2 . u2 . „2	/„2 , 1,2 . „2
vai + bl + C1 -\a2 + b2 + c2
Hệ quả: Ai ± A2 aia2 + bib2 + CjC2 = 0.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng A có vectơ chỉ phương ũ (a; b; c) và mặt phẳng (A) có vectơ pháp tuyến n (A; B; C). Gọi <p là góc hợp bởi A và (a), ta có:
I	|Aa + Bb + Cc|
sintp = cos(ũ, n) =	,	1	,	1
1	1 Va2 + B2 + C2.Va2 + b2 + c2
Đặc biệt: A ± (a) ũ và n cùng phương ũ = kĩĩ
VỊ trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ta xét vị trí tương đối giữa đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; y0; z0) có vectơ chỉ phương ũ (a; b; c) với mặt phẳng (a) có phương trình:
Ax + By + Cz + D = o
(Mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến n (A; B; C)
+ A cắt (a) ũ X h Aa + Bb + Cc * 0
+ A // (a) (ũ ± n và Mo Ể (a)
Aa + Bb + Cc = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D * 0
+ A c (a) (ũ ± n ) và Mo e (a)	 '
Aa + Bb + Cc = 0 Ax() + By0 + Cz0 + d = 0
VỊ trí tương dối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng Ai và A2 định bởi:
A,:
X = x2 + a2t' y = y2 + b2t' z = z2 + c2t'
X = Xj + a^
y = y, + bjt và A2; z = Zj + Cjt
Gọi ũ và V lần lượt là vectơ chỉ phương của Ai và A2.
i) Ai và A2 chéo nhau khi và chỉ khi ũ * kv và hệ phương trình sau vô nghiệm:
X1 + aifc = x2 + a2t'
■ Yi + bil = y2 + b2t' 5 +	= z2 + c2t'
ii) Ai // A2 o
Ũj và ũ2 cùng phương M/XpypZj) e Ap M, Ế A2 iii) Ai và A2 cắt nhau hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:
X1 + a,t = x2 + a2t' Yi + b,t + y2 + b2t' Z1 + crt = z2 + c2t'
iv) Ai và A2 trùng nhau o
ũj và ũ2 cùng phương M/Xjjy,;^) e Ap Mt e A2
B. BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
d di qua điểm M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương ã = (2; -3; 1).
d đi qua điểm A(2; -1; 3) và,vuông góc với mặt phảng (a) có phương trình x + y- z + 5 = 0.
d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng A:
X = 1 + 2t
- y = -3 + 3t
z = 4t
d đi qua hai điểm P(l; 2; 3) và Q(5; 4; 4).
Giải
1) và có vectơ chỉ phương X = 5 + 2t
• y = 4 - 3t
z = 1 + t
Đường thẳng d đi qua điểm M(5; 4;
ã = (2; -3; 1) nên có phương trình là:
Mặt phẳng (a): x + y- z + 5 = 0có vectơ pháp tuyến n = (1; 1; -1). Theo giả thiết, đường thẳng d vuông góc với (a) nên d nhận n làm vectơ chỉ phương.
■ y = -1 +1
z = 3 - t
Vì d qua điểm A(2; -1; 3) nên d có phương trình là:
c) Đường thẳng A:
X = 1 + 2t
■ y = -3 + 3t có vectơ chỉ phương ã = (2; 3; 4). z = 4t
Vì d // A nên d nhận a làm vectơ chỉ phương. Mặt khác d đi qua X = 2 + 2t
y = 3t z - -3 + 4t
điểm B(2; 0; -3) nên d có phương trình là:
Đường thẳng d đi qua hai điểm P(l; 2; 3) và Q(5; 4; 4) nên có vectơ chỉ phương là ã = PQ = (4; 2; 1).
X = 1 + 4t
Phương trình của d là
• y = 2 + 2t
z = 3 + t
Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu X = 2 + t
vuông góc của đường thẳng d:
y = -3 + 2t lần lượt trên các mặt z = 1 + 3t
phẳng sau:
(Oxy)
(Oyz)
Giải
Trên d lấy hai điểm A(2; -3; 1) và B(3; -1; 4), ứng với t = 0 và t = 1.
Gọi c, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên mặt phẳng (Oxy) ta được C(2; -3; 0) và Đ(3; -1; 0). Đường thẳng dj qua c, D là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng di có vectơ chỉ phương ữ = (1; 2; 0).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng di là:
X = 2 + t ■ y = -3 + 2t
z = 0
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên mặt phẳng (Oyz), ta được E(0; -3; 1) và F(0; -1; 4). Đường thẳng d2 qua E, F là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oyz). Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương V = (0; 2; 3).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d2 là:
X = 0
• y = -3 + 2t
z = 1 + 3t
a) d:
X = -3 + 2t
• y = -2 + 3t
z = 6 + 4t
và d':
X = 5 + t
< y = -l-4t
z = 20 + t
b) d:
X = 1 +1
■ y = 2 + t và d' z = 3 - t
X = 1 + 2t'
■ y = -1 + 2t'
z = 2 - 2t'
Giải
a) Đường thẳng d đi qua điểm A(—3; -2; 6) và có vectơ chỉ phương ũ = (2; 3; 4)7
Đường thẳng d' đi qua điểm B(5; -1; 20) và có vectơ chỉ phương V = (1; -4; 1).
Nhận thấy ũ * kv .
Ta xét hệ phương trình:
-3 + 2t = 5 + t' (1) -2 + 3t =-1 - 4t' (2) 6 + 4t = 20 + t' (3)
Từ (1) và (2) ta suy ra t = 3 và t' = —2. Kiểm chứng ta thây t = 3 và t' = -2 nghiệm đúng (3).
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhát (3; 7; 18).
‘í
Bài 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau:
Vậy hai đường thẳng d và d' cắt nhau, giao điểm của chúng là điểm 1(3; 7; 18).
b) Đường thẳng d đi qua điểm A(l; 2; 3) và có vectơ chỉ phương ũ = (1; 1; -1).
Đường thẳng d' đi qua điểm B(l; -1; 2) và có vectơ chỉ phương V = (2; 2;-2).
Nhận thấy V = 2Ũ .
+ t = 1 + 2t'
Ta xét hệ phương trình:
+ t = -1 + 2t'
-1 = 2 - 2t'
Ta thấy hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy d // d'. Bài 4. Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
X = 1 -1' y = 2 + 2t' z - 2 - t'
X = 1 + at y = t và d' z = -1 + 2t
Giải
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
at + t' = 0 t - 2t' = 2 2t +1' = 4
(1)
(2)
(3)
1 + at = 1 -1' t = 2 + 2t'	 -í
-1 + 2t = 3 -1'
Giải hệ (2) và (3) ta được t = 2, t' = 0.
Thế t = 2, t' = 0 vào (1) ta được a = 0.
Vậy nếu a = 0 thì hai đường thẳng d và d' cắt nhau.
Bài 5. Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
a) d:
X = 12 + 4t
< y = 9 + 3t và (a): 3x + 5y-z-2 = 0 z - 1 + t
b) d:
c) d:
■ y = 2 -1 và (a): x + 3y + z + l = 0 z = 1 + 2t
X = 1 + t
• y - 1 + 2t và (a): x + y + z- 4 = 0 z = 2 - 3t
Giải
a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (ct) nghiệm đúng hệ phương trình:
X = 12 + 4t
• y = 9 + 3t	(1)
z = 1 + t
3x + 5y - z - 2 = 0 (2)
Thế (1) và (2) ta được:
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0
 26(t + 3) = 0 t = -3
Thế t = -3 vào (1) ta được giao điểm của d và (a) là điểm (0; 0; -2).
Vậy đường thẳng d và mặt phẳng (a) có một điểm chung.
b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (a) nghiệm đúng hệ phương trình:
X = 1 + t
•y = 2-t	(1)
z = 1 + 2t
X + 3y + z + 1 = 0	(2)
Thế (1) và (2) ta được:
(1 + t) + 3(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0
 Ot + 9 = 0
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy đường thẳng d và mặt phẳng (a) không có điểm chung.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (a) nghiệm đúng hệ phương trình:
X = 1 + t
• y = 1 + 2t	(1)
z = 2 - 3t
x+y+z-4=0 (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
(1 + t) + (1 + 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0 Ot = 0
Phương trình này có vô số nghiệm.
Vậy đường thẳng d và mặt phẳng (a) có vô số điểm chung.
Bài 6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng
A:
X = -3 + 2t
• y = -1 + 3t và mặt phẳng (a): 2x-2y + z + 3 = 0 z = -1 + 2t
Giải
Đường thẳng A đi qua điểm Mo(-3; -1; -1).
Và có vectơ chỉ phương ũ = (2; 3; 2).
Mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến n = (2; -2; 1).
nên A // (a).
ũ.n = 2.2 + 3.C-2) + 2.1 = 0 M„(-3;-l;-l).g(a)
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng A và mặt phẳng (a) là:
|2.(-3)-2.(-l) + (-l) + 3|
V22 + (-2)2 + l2
Bài 7. Cho điểm A(l; 0; 0) và đường thẳng A:
X = 2 + t
■ y = 1 + 2t
z = t
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điếm A trên đường thẳng A.
Tìm tọa độ điểm A' đôi xứng với A qua đường thẳng A.
■ ■ Ị
Giải
Đường thẳng A có vectơ chỉ phương ã = (1; 2; 1). Gọi (P) là mặt phẳng qua A(l; 0; 0) và vuông góc với A thì H là giao điểm của A và (P), và ã là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình của (P):
l.(x - 1) + 2.(y - 0) + l.(z - 0) = 0
x + 2y + z- l = 0
Tọa độ của H nghiệm đúng hệ phương trình:
z = 2 + t
Jy = l + 2t	(1)
3z=t
X + 2y + z - 1 = 0 (2)
Thế (1) vào (2):
(2 + 1)+ 2(1+2t)+ t-1 = 0 6t + 3 = 0
 t = -|
2
_	„Í3 l'
Thế t = - 4 vào (2) ta được H	.
• V2 2j
xo = 2xh - XA = 2
yo2yH-yA = °
Gọi A'(x0; yo’, z0) là điểm đối xứng của A qua A thì H là trung điểm của AA'.
Suy ra •
Vậy A'(2; 0; -1).
Bài 8. Cho điểm M(l; 4; 2) và mặt phẳng (a): x + y + z- l = o.
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (a).
Tìm tọa độ điểm M' đốì xứng với M qua mặt phẳng (oc).
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (a).
Giải
Mặt phẳng (a): x + y + z- l = Ocó vecto' pháp tuyến n = (1; 1; 1).
Gọi A là đường thắng qua điếm M(l; 4; 2) và vuông góc với (a) thì n là vectơ chỉ phương của A và H là giao điếm của A và (cc).
Phương trình tham số của A:
Tọa độ của điếm H ứng với t nghiệm đúng phương trình: (1 + t) + (4 + t) + (2 + t) - 1 = 0
 3t + 6 = 0 t = -2
Thế t = -2 vào phương trình của A ta được H(-l; 2; 0).
Gọi M'(x0; y0; z0) là điểm đối xứng của M qua (a) thì H là trung điểm của MM'.
Suy ra:
x0 = 2x,
X., = -3
M
y,» = 2yII - yA = °
z0 = 2Zị
ZA = -2
ậ = 6 = 2 VI 2 VI
Vậy M'(-3; 0; -2). c) Khoảng cách từ M đến (a):
|l + 4 + 2
+ l2 + l2
d(M, (a)) =
X -- 1 + t
- y = 3 - 2t z - 1
y = 2 + 2t và d': z = 3t
Bài 9. Cho hai đường thẳng X = 1 - t
d: <
Chứng minh d và d' chéo nhau.
Giải
Các đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là ũ = (-1; 2; 3) và V = (1; -2; 0).
Nhận thây ũ và V không cùng phương (1).
t + t' = 0 2t + 2t' = 1 3t - 1
Ta xét hệ phương trình:
l-t = l + t'
• 2 + 2t = 3 - 2t' «
3t = 1
Dễ thấy hệ phương trình trên vô nghiệm. (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận, hai đường thẳng d và d' chéo nhau.
Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C).
Giải
Đặt hình lập phương trong hệ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B(l; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1).
* Ta có: BD = (-1; 1; 0)
BÃ' = (-1; 0; 1)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'BD): n = BD A BA' = (1; 1; 1)
Phương trình của mặt phẳng (A'BD);
l.(x - 1) + l.(y - 0) + l.(z - 0) = 0
x + y + z- l = o
Gọi di là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD).
Ta có:
_ |o + 0 + 0 - l| 1 Vã Vi2 +12 +12 -5/3-3
* Dễ thấy rằng hai mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C) song song với nhau, nên n = (1; 1; 1) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B'D'C), mặt phẳng này đi qua C(l; 1; 0) nên có phương trình là:
l.(x-1) + l.(y-1) + l.(z - 0) = 0 x + y + z- 2 = 0
Gọi d2 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B'D'C).
Ta có:
H _ |o + 0 + 0 - 2|	2	2V3
7lz + l2 + l2 - Tã - 3 .