Giải Toán 12: Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

§3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Thể tích khôi hộp chữ nhật
(K. hộp chữ nhật) = abc
(với a, b, c là ba kích thước của khôi hộp chữ nhật)
Hệ quả:
(K. lập phương) = a3 (a là cạnh của lập phương)
Thể tích khôi chóp
(K. khối chóp) = |sh
3
(với s là diện tích đáy và h là chiều cao của khôi chóp)
Thể tích khối lăng trụ
(K. lăng trụ) = Sh
(với s là diện tích đáy và h là chiều cao của lăng trụ)
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính thể tích khôi tứ diện đều cạnh a.
Giải
Ta xét khôi tứ diện đều ABCD cạnh a.
Vì ABCD là khối tứ diện đều nên A.BCD là khối chóp tam giác đều. Kẻ đường cao AH thì H là tâm của ABCD. Gọi I là trung điểm của
CD thì BI là đường cao của ABCD, suy ra BH = ^BI =
3	3
Bài 2. Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Giải
Ta xét khôi bát diện đều ABCDEG (như hình vẽ).
Khối bát diện đều ABCDEG là do lắp ghép hai khối chóp tứ giác đều cạnh a có chung mặt đáy ABCD là E. ABCD và G.ABCD.
Gọi o là giao điểm của AC và BD thì EO 1 (ABCD)
Tam giác EOB vuông tại o, ta có:
OE2 = EB2 - OB2 = a2 -
1^2
a
~2
Suy ra: EO =
Bài 3. Cho khôi hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính tỉ sô thể tích khối hộp đó và thế’ tích khôi tứ diện ACB'D'.
Giải
Gọi V là thế’ tích khôi hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có:
V.'= V... = V.	
’ (ABCB’1 ’ (ACDD*) ’ (AA'B’ID
= V	 = 1
(CB’C’D’> g
Suy ra:
y.	=v - V.	 + V	
tACB’D)	(ABCB'1 ’(ACOin
+ V ...	+ V,	
(AA'B'D’1 (CBC'D'1
„	. V V
V	= V-4.—- = —
’(ACB’D)	6	3
Vậy tỉ số thể’ tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' và thế’ tích khối tứ diện ABB'D' là 3.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, sc lần lượt lấy ba điếm A', B', C' khác với s. Chứng minh rằng:
V,S.A-B-C-) L . SA- SR sơ Xs.ABC) = SA ■ SB • sc
Giải
Gọi V, V' là thể tích hai khối chóp S.ABC và s
Đặt BSC = a . Gọi H, H' lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A, A'
trên mặt phẳng (SBC), dễ thấy ba
điểm s, H, H' thẳng hàng. Ta có:
1
11= 3
V :
S(ASBV)-A'H'
„ s, ,U,.,,,.AH
(ASBC)
»•
ị. ị SB'.Sơ sina.A'H'
= 3 2
ị. ịsB.SCsina.AH
3 2
= SB' Sơ A'H'
SB’SC ’ AH
Mặt khác trong mặt phẳng (SAH) ta có:
A'H' SA'
AH " SA
o	 V' SA' SB' Sơ
J	V SA SB sc
A'H' // AH
A'B'Ơ.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua c và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua c vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khôi tứ diện CDEF theo a.
Giải
Từ giả thiết suy ra DC ± AC, DC ± BC. Do đó tam giác ACD vuông cân tại c và tam giác BCD vuông tại c.
Ta có:
AB 1 BC AB 1 CD
=> AB ± mp(ACD)
Suy ra AB ± CE
Mặt khác: BD ± mp(CEF) nên BD ± CE
Từ (1) và (2) cho CE 1 mp(ABD).
Suy ra CE 1 EF, thế nên
tam giác CEF vuông tại E.
Gọi V là thể tích khối tứ
diện CDEF, ta có:
V = V.	= — .s	DF
(D.CEF) 3‘°<CEF)~ƯX
AACD vuông cân tại c và
CE 1AD nên CE =
2
Từ ABCD vuông tại c cho:
DF.DB = CD2
CD2 "2
(1)
(2)
DF =
BD
a _ a
aVI ~ Vã
• Từ hai tam giác vuông DFE và DAB đồng dạng:
EF
AB
DF
EF _ Vã a aV2
V2 a
Vế
1 a2V3 a _ a3 - 36
DA
EF =
Suy ra S,CEF) = j.CE.EF = ỉ - 2 2 2
Vi
12V3
12
Vậy
3' 12 'Vã
Chú ý: Có thề’ chứng minh bài toán trên bằng cách sau: V,DE DF
Ta có:
(D.CEF)
(D.ABC)
DADB
(*)
Trong đó:	= ỉ	I
DA 2 DB aVã 3
17	_ 1 q rr - À a~ „ _ a
V(D.ABC) = -.«(ABC) .i’>G = 3 Ỳ 6
Từ(*) suy ra: V(DCEF) =
1 1 a3
a
Bài 6. Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d'. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên d'. Chứng minh rằng khôi tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Giải
Gọi (P) là mặt phảng qua d và song song với d', thì (P) là mặt phảng cố định.
Qua A kẻ đường thẳng A song song với d', thì A nằm trong (P). Từ D dựng đường thẳng song song với AC cắt A tại điểm E.
Ta thây tứ giác ACDE là một hình bình hành, do đó:
V(ABCD) = V(ABDE)-
(Vì hai khối chóp B.ACD và B.ADE có hai đáy là hai tam giác ACD và DEA bằng nhau, có cùng chiều cao là khoảng cách từ B đến mp(d', A)).
Gọi a là góc tạo bởi d và d'. Ta có:
Xabde) - ^’S(ABE) ’h V01 h — d(d, <P))
Mà s, AI1,	Ậ AB.AEsina = Ậa.AB.CDsina = Ậabsina (không đổi)
(ABE)	2	2	2
Ngoài ra, do d' // (P) nên khoảng cách h từ d đến (P) không đổi.
Suy ra V(ABDE) không đổi.
Vậy V(ABCD) không đổi.