Giải Toán 12: Bài 2. Mặt cầu

, = Ìa’M.A’P.A'1 = j.|44 = 6	6 2 4 3
§2. MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm o cố định một khoảng cách R cho trước gọi là mặt cầu có tâm là o và bán kính bằng R.
Kí hiệu: S(O; R).
Như vậy: S(O; R) = [M I OM = Rị
a) Nếu trên mặt cầu S(O; R) ta lấy điểm A nào đó, thì đoạn thẳng OA cũng được gọi là bán kính của mặt cầu.
Nếu gọi B là điểm đôi xứng của A qua điếm o thì điểm B nằm trên mặt cầu. Đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu.
b) Cho M là một điểm bất kì, ta có các trường hợp sau:
Nếu OM - R thì điểm M nằm trên mặt cầu.
Nếu OM > R thì ta nói rằng điểm M nằm ngoài mặt cầu.
Nếu OM < R thì ta nói rằng điểm M nằm trong mặt cầu.
VỊ trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc cúa o trên mp(P) và đặt d = OH (d là khoảng cách từ điểm o đến mp(P)). Khi đó:
Nếu d < R thì mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm là H và có bán kính là r = Ợr2 - d2 <
Nếu d - R thì mp(P) và mặt cầu S(O; R) chỉ có một điểm chung duy nhât lả H, ta nói đường thẳng A tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H, điểm H gọi là tiếp điếm và A gọi là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm H.
Nếu d > R thì đường thẳng A không cắt mặt cầu S(O; R).
Định lí 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R) có vô sô' tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại điểm A.
Định lí 2: Qua điếm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp tuyến đều bằng nhau.
Mặt cầu ngoại tiếp một hình đa diện
Một mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H, và hình đa diện H gọi là nội tiếp trong mặt cầu đó.
Bất kì hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.
Xét hình tứ diện ABCD. Gọi A là trục của đường tròn ngoại tiếp ABCD và (P) là mặt trung trực của cạnh AB, thì tam giác o của mặt cầu ngoại tiếp ABCD là giao diện cua A và (P).
Hình chóp S.AiA-2... Aj có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy AiA2...A„ có đường tròn ngoại tiếp.
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác AiA2...An và mặt trung trực một cạnh bên của hình chóp.
Hình lăng trụ A1A2...An. A'j A'2...A'n có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy có đường tròn ngoại tiếp. Gọi I, F lần lượt là tâm hai đáy (tâm đường tròn ngoại tiếp), thì tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình lăng trụ là trung điếm o của đoạn thẳng II'.
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện
Nếu có một mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả các mặt của một hình đa diện H thì ta nói (S) là mặt cầu nội tiếp trong hình đa diện H và H gọi là hình đa diện ngoại tiếp (S).
Diện tích mặt cầu và thế tích khôi cầu
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: s = 4nR2.
Khối cầu bán kính R có thê tích là: V = 4nR:!.
3
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
Giái
|m|AMB = 90°
= s
O;
AB
Gọi o là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
Vậy tập hợp các điểm M nhìn đoạn
thẳng cố định AB dưới một góc vuông
.	_ AR
là mặt cầu tâm o bán kính R = ——.
2
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Giải
Kẻ đường cao AH của hình chóp thì H là tâm của đáy ABCD.
Ta có SA = SC = a, AC =
2
Suy ra AC2 = SA2 + sc2 = 2a3 Do đó ASAC vuông tại s.
Chứng minh tương tự, ASBD vuông tại s. Ta được: HA = HB = HC = HD
Do vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là H và có bán kính R =	■
Bài 3. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cô định cho trước.
Giải
Xét đường tròn (T) tâm I bán kính r, A là điểm bất kì trên (T).
Gọi A là trục của đường tròn (T) thì A là đường thẳng cố định.
* Lấy điểm o bất kì trên A và đặt d = OI. Tam giác IAO vuông tại I nên:
A
OA = Via2 + OT = V?-2 + d2 Như vậy, mặt cầu (S) tâm o bán kính R = Vr2 + d2 đi qua đường tròn (T).
(T) thì ta có:
VA e (T)
* Đảo lại, giả sử (S) là mặt cầu tâm 0 bán kính R chứa đường tròn ÍOA = R
Vậy tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa đường tròn (T) là trục A của đường tròn (T).
Bài 4. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Ta xét tam giác ABC. Gọi (T) là đường tròn tâm I nội tiếp trong AABC, (T) tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điếm M, N, p.
Suy ra: IM = IN = IP và IM 1 AB, IN 1 BC, IP 1 CA.
Dựng đường thẳng A là trục của đường tròn (T).
Như thế, nếu lấy điểm K bất kì trên A ta đều có: KM 1 AB, KN 1 BC, KP 1 CA và KM = KN = KP.
Do đó, với o là một điểm bất kì trong không gian, ta có:
OM = ON = OP
OM 1 AB, ON 1 BC, OP 1 CA
Điều kiện (*) tương đương với: 0 là tâm của mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, BC, CA tại M, N, p.
Vậy có vô sô mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của AABC, tập hợp các tâm o của các mặt cầu này là trục A của đường tròn nội tiếp AABC.
Bài 5. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và c, D.
Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD.
Gọi MO = d. Tính MA, MB theo r và d.
Gọi A là một cát tuyến của mặt cầu (S) đi qua M, cắt mặt cầu tại hai điểm A và B.
Dựng mặt phẳng (P) qua 0 và A, mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn lớn (T). Trong mặt phẳng (P) ta có:
P(M/(T) = MẨ, MB = MA.MB = d2 - r2 với d = OM
(do điểm M nằm bên ngoài (S))
Tương tự ta cũng có: MC.MD = d2 - r2.
Vậy MB.MB = MC.MD.
Theo câu a ta có: MA.MB = d2 - r2
Bài 6. Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mặt phắng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm o. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng AMB - AIB.
Giải
Theo giả thiết ta có OI 1 mp(P) tại điểm I. Vì IA và IB là các tiêp tuyến của (S) tại I nên OI 1 IA và OI ± IB.
Xét hai tam giác AIB và AMB ta có:
+ AI = AM (hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ A)
+ BI = BM (hai đoạn tiếp tiếp tuyến kế từ B)
Do đó hai tam giác trên bằng nhau.
Suy ra: AMB = AIB.
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.
Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.
Gọi Ũ là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', thì o là tâm của mặt cầu (S) qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật.
Bán kính của (S) là: R = 4 Va2 + b2 + c2 2
Mặt phẳng (ABCD) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (T) tâm I, với I là giao điểm của AC và BD.
Bán kính của đường tròn (T) là:
Bài 8. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
Giải
Ta có: AH = AI = AJ (các đoạn tiếp tuyến kẻ từ A) BH = BL = CK (các đoạn tiếp tuyến kẻ từ B)
CM = CI = CK (các đoạn tiếp tuyến kế từ C) DM = DJ = DL (các đoạn tiếp tuyến kẻ từ D)
Do đó: AB + CD = (AH + BH) + (CM + DM)
= (AI + BL) + (CI + DL)
= (AI + CI) + (BL + DL) = AC + BD
Chứng minh tương tự, ta được: AB + CD = AD + BC Vậy AB + CD = AC + BD = AD + BC
Bài 9. Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi o là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm o bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Giải
Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại I, vì A và a cố định nên (P) là mặt phẳng cố định.
Do đó I cũng là một điểm cố định.
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (T) bán kính IA, rõ ràng (T) là một đường tròn cố định nằm trên (P).
Vậy mặt cầu (S) luôn đi qua đường tròn cố định (T).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, sc = c và ba cạnh SA, SB, sc đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khôi cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Giải
Tam giác SAB vuông tại s nên trung điểm của AB là tâm đường tròn ngoại tiếp ASAB.
Từ giả thiêt suy ra sc ± (SAB). Do đó nếu qua I dựng đường thẳng A vuông góc với mp(SAB) thì A là trục của đường tròn ngoại tiếp ASAB. Qua trung điểm J của sc ta dựng mặt trung trực của sc, mặt phẳng này cắt A tại o. Điểm o là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Ta CÓ
AB Va2 + b2 Ó: —— =	
c
B
2 2 Từ tam giác SIO vuông tại I cho:
so = 75F7S7 =	=
c2 + b2 + c2 _ Va2 + b2 + c2 4	-	2
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
R = ị Va2 + b2 + c2 2
Diện tích của mặt cầu:
S(m/c) = 4rcR2 = 71 Va2.+ b2 + c2
Thể tích của khối cầu:
v _ i nR3 = 7t.Ợ(a2 + b2 + c2):i 3	6