Giải Toán 12: Ôn tập chương II

  • Ôn tập chương II trang 1
  • Ôn tập chương II trang 2
  • Ôn tập chương II trang 3
  • Ôn tập chương II trang 4
  • Ôn tập chương II trang 5
  • Ôn tập chương II trang 6
ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 1. Cho ba điểm A, B, c cùng thuộc một mặt cầu và cho biêt
ACB = 90°. Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng?
Đường tròn qua ba điểm A, B, c nằm trên mặt cầu.
AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
AB không phải là đường kính của mặt cầu.
AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).
Giải
Giả sử ba điếm A, B, c nằm trên mặt cầu (S). Như vậy mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo một đường tròn (T), dĩ nhiên (T) phải qua A, B, c. Vậy đường tròn qua ba điếm A, B, c nằm trên mặt cầu (S). Mệnh đề trong câu a là mệnh đề đúng.
AB có thế không phải là một đường kính của (S). Vậy mệnh đề trong câu b là sai.
Nếu AB qua tâm o của mặt cầu (S) thì khi đó AB là đường kính của (S). Vậy mệnh đề trong câu c là sai.
Trên mặt phẳng (ABC), ACB = 90°, nên AB là đường kính của đường tròn (T) đường kính AB. Vậy mệnh đề trong câu d là đúng.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a, tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.
Theo giả thiết AD 1 mp(ABC) nên suy ra AD ± AB.
Do đó khi quay quanh cạnh AB, cạnh AD sinh ra hình tròn tâm A bán kính R = AD = a và cạnh BD sinh ra mặt xung quanh của một khôi nón. Do đó khi quay đường gấp khúc BAD quanh cạnh AB ta được một khối nón có bán kính đáy R = a, chiều cao h = AB = a.
* Diện tích xung quanh của khối nón.
SXq = 7iRZ = Tia.a V2 = V2 7ia2	(Z = BF = a V2 )
Vậy: SXq = V2 7ia2
V = -^7iR2.h = 4na2.a = ịrca2 3	3	3
Bài 3. Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Giải
Ta xét hình chóp n giác S.AiA2...A„ có tất cả các cạnh bên đều bằng nhau. Kẻ đường cao SH của hình chóp. Ta thây các tam giác SHAi, SHA2, ..., SHAn cùng vuông tại H, có cạnh SH chung và có cạnh huyền SAX, SH2, ... SAn bằng nhau, nên chúng bằng nhau.
Suy ra HAi = HA2 = ... = HAn do đó H là tâm của đường tròn ngoại tiếp của đáy AiA2 ... An. Vậy hình chóp S.A^ ... An nội tiếp được trong một mặt cầu.
Bài 4. Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, sc và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Giải
Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA; I, J, K là các tiếp điểm của các mặt cầu với các cạnh SA, SB, sc.
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
SI = SJ, AI = AM, BI = BM Suy ra: SA = SI + AI = SJ + AM
= SJ + BM = SJ + BJ = SB .
Chứng minh tương tự ta được: SA = sc Như vậy: SA = SB = sc	(1)
Mặt khác ta cũng có:
AB = 2AM, AC = 2AP và	AM = AP nên ta có AB = AC
Chứng minh tương tự: AB = BC Như vậy: AB = BC = AC (2)
Từ (1) và (2) kết luận, hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
Tính diện tích xung quanh và thế tích của khôi trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.
Giải
ABCD là một tứ diện đều nên A.BCD là hình chóp tam giác đều. Do đó nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) thì H là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCD.
Gọi I là trung điểm của CD.
Ta có: BH=|bỉ = ^
Gọi (T) là khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao AH.
Khối trụ (T) có bán kính đáy R = và chiều cao h = AH = ——
3
Diện tích xung quanh (T): Sxq = 2nRh = 2n.	= A
muÁ’	/Ti.	\T _„2i	a- aVẽ Vẽxa'
Thê tích cua (T):	V = 7ir h = 71. —.—T— = —-—
3	3	9
Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm o của hình vuông dựng đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên A lấy điểm
s sao cho OS =	. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiêp
2
hình chóp S.ABCD. Tính diện tích cúa mặt cầu và thế tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Giải
Từ giả thiết suy ra S.ABCD là một hình chóp đều.
Gọi E là trung điểm của cạnh sc. Qua E dựng mặt phẳng (P) trung trực của sc, gọi I là giao điểm của (P) và so thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp.
Hai tam giác vuông SEI và soc đồng dạng nên ta có:
ST SE ^ SI = SC.SE = SCI SC SO	so 2SO
Mà
sc = SC = Vso2 + oc2 = M + f ^ệ- p2y I 2 } 3a2
3a
Suy ra: SI = —— = ~ 2,— 4
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R =
Diện tích của mặt cầu: S|,n/C) = 4 71
3a
4
97ta2
3a Ỵ' _ 97ta3 T J “ 16
Diện tích của khối cầu: V = ~JĨ 3
Bài 7. Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục 00' = 2r và mặt cầu đường kính 00'.
Hây so sánh diện tích mặt cầu vả diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Hãy so sánh thế tích khôi trụ và thế tích khôi cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Giải
Mặt cầu có bán kính là R = r.
Diện tích mặt cầu: S(m/c) = 4ĩtr2 Diện tích xung quanh của hình trụ:
SXq = 2nr.2r = 4ĩrr2
Vậy diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau.
Thể tích khối trụ:
VT = 7tr22r = 2ĩcr3
Q. 3
Suy ra: —ư = —
vc 2