Giải Toán 12: Bài 2. Phương trình mặt phẳng

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Tích có hướng của hai vectơ. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Tích có hướng của hai vectơ
Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ ũ(a; b; c) và V (a'; b', c') là một vectơ kí hiệu ũ A V (hoặc [ũ, V.1) có tọa độ được xác định như sau:
fb
c
c
a
a
1/
<b'
c'
c'
a'
a'
b',
= (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b)
Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng
Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng (a) là vectơ n í 0 có giá vuông góc với mặt phẳng (ct).
Ta viết n ± (ct)
Nếu ũ và V là hai vectơ không cùng phương và các giá của chúng cùng song song với (hoặc nằm trên) một mặt phẳng (a) thì vectơ ũ A V là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a).
Cặp vectơ ũ , V như trên còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (cx).
II. Phương trình tổng quát của mặt phang
Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi phương trình
Ax + By + Cz + D = o với A2 + B2 + c2 * 0 (*) đều là phương trình của một mặt phẳng xác định.
Phương trình (*) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nếu mặt phẳng (a) có phương trình (*) thì một vectơ pháp tuyến của (a) là h (A; B; C).
Mặt phẳng đi qua điếm M0(x0; yoỉ Zo) và có vectơ pháp tuyên h (A; B; C) có phương trình là:
A(x - Xo) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Các trường hợp riêng
Xét mặt phẳng (a) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D - 0. Khi đó:
(a) đi qua gốc tọa độ o D = 0.
(ã) song song với trục Oz (C = 0, D 0)
(a) chứa trục Oz (C = D = 0)
Chú ỷ:
Khi nói (a) song song với Oz hoặc chứa Oz thì điều này tương đương với (a) vuông góc với mp(Oxy).
Khi nói (a) song song hoặc trùng với mp(Oyz) thì điều này tương đương với («) vuông góc với trục Oz. (Các trường hợp khác được suy ra tương tự).
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
Mặt phẳng (ot) cắt trục Ox tại điềm A(a; 0; 0), cắt trục Oy tại điểm B(0; b; 0), cắt trục Oz tại điểm C(0; 0; c) có phương trình:
a b c
Vị trí tương đôi của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phắng:
(ai): AjX + B]y + Ciz + Di = 0
và (a2): A2x + B2y + C2Z + D2 - 0 Gọi n, = (Ai; Bq Ci) và h2 = (A2; B2; c2)
Ta có các trường hợp sau:
(cq) // (a2) 	= kh„ và Di * kD-2
(o-i) = (ct2) hj = kh2 và D! = kD2
(cti) cắt (ct2) n, * kh2
(oti) ± (ct2) AiA2 + B2B-2 + C]C2 = 0
Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phắng:
(cti): AiX + Biy + Cjz + Di = 0 và (ct2): A2x + B2y + C2Z + D2 - 0
ỊA.A, + B.B, + C,C2|
Jy + b;.7a; + B=
Gọi ọ là góc họ'p bởi hai mặt phẳng (ơi) và (a2), ta có:
cosọ =
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M()(xo; yo; Zo)> ta có:
d(M0, (a)) =
7a2 + B2 + c2
K, + By,,+ Cz«+ D|
B. BÀI TẬP
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài 1. Viết phương trình của mặt phẳng:
Đi qua điểm M(l; -2; 4) và nhận n = (2; 3; 5) làm vecto' pháp tuyến.
Đi qua điếm A(0; -1; 2) và song song với giá của hai vecto' ú = (3; 2; 1) và V = (-3; 0; 1).
Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B (0; -2; 0) và C(0; 0; -1).
Giải
Mặt phẳng đi qua điểm M(l; -2; 4) và nhận h = (2; 3; 5) làm vecto' pháp tuyến có phương trình là:
2(x - 1) + 3(y + 2) + 5(z - 4) = 0 2x + 3y + 5z - 16 = 0
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(0; -1; 2) và song song với giá của hai vectơ ũ = (3; 2; 1) và V = (-3; 0; 1), thì (P) có vectơ pháp tuyến là: n = [ũ ,v] = (2; -6; 6).
Do đó mặt phẳng (P) có phương trình là:
2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0
x — 3y + 3z-9 = 0
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 1).
Áp dụng phương trình theo đoạn chắn, phương trình của (P) là:
-^7 + -^7 + —- = 1 2x + 3y + 6z + 6 = 0 -3	-2	-1
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3).
Giải
Đoạn thẳng AB có trung điểm là điểm 1(3; 2; 5).
Gọi (P) là mặt trung trực của đoạn thẳng AB thi l ,e. (P) và (P) có vectơ pháp tuyến là n = AB = (2; -2; -4).
Do đó mặt phẳng (P) có phương trình là:
2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 X - y - 2z + 9 = 0
Bài 3. a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Giải
Ta đã biết các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là: z = 0; X = 0; y = 0
* Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M(2; 6; -3) và song song với
mặt phẳng (Oxy) thì (P) có vectơ pháp tuyến là k = (0; 0; 1). Do đó phương trình của (P) là z = -3.
* Tương tự, phương trình của các mặt phẳng (Q), (R) qua M(2; 6; -3) lần lượt song song với các mặt phắng (Oyz), (Oxz) có phương trình là X = 2, y = 6.
Bài 4. Lập phương trình của mặt phẳng:
Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2).
Chứa trục Oy và điếm Q(l; 4; -3).
Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7).
Giải
a) Gọi (a) là mặt phẳng chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2), thì phương trình của (a) có dạng By + Cz = 0 (B2 + c2 0).
Do (a) qua điểm p nên ta có phương trình -B + 2C = 0.
Có thể cho c = 1, khi đó B = 2.
Ta được phương trình của (a) là 2y + z = 0.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và điểm Q(l; 4; -3), thì phương trình của (P) có dạng Ax + Cz = 0 (A2 + c2 * 0).
Do ((3) qua điểm Q nên ta có phương trình A - 3C = 0.
Có thể cho c = 1, khi đó A = 3.
Ta được phương trình của (p) là 3x + z = 0.
Gọi (y) là mặt phẳng chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7), thì phương trình của (y) có dạng Ax + By = 0 (A2 + B2 0).
Do (y) qua điểm R nên ta có phương trình 3A - 4B = 0.
Có thể cho B = 3, khi đó A = 4.
Ta được phương trình của (y) là 4x + 3y = 0.
Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là: A(5; 1; 3), B(l; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Hãy viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Giải
a) * AC = (0; -1; 1), AD = (-1; -1; 3).
Mặt phẳng (ACD) có vectơ pháp tuyến
n = AD A AC = (2; 1; 1).
Phương trình của mặt phẳng (ACD):
2(x - 5) + l(y - 1) + l(z - 3) = 0 2x +'.y + z — 14 = 0
* BC = (4; -6; 2), BD = (3; -6; 4).
Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến p = BC A BD = (-12; -10; -6), P cùng phương với vectơ q = (6; 5; 3).
Phương trình của mặt phẳng (BCD):
6(x - 1) + 5(y- 6) + 3(z - 2) = 0
 6x + 5y + 3z - 42 = 0
b) Mặt phẳng (a) qua cạnh AB nên A(5; 1; 3) e (a).
Ta có AB = (-4; 5; -1), CD = (-1; 0; 2).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a):
r = AB A CD = (10; 9; 5)
Phương trình của mặt phẳng (a):
10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0 lOx + 9y + 5z - 74 = 0
Bài 6. Hãy viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 4 = 0.
Giải
Mặt phẳng (a) qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (p) nên có vectơ pháp tuyến là hp = (2; -1; 3).
Vậy phương trình của mặt phẳng (a) là:
2(x - 2) - l(y + 1) + 3(z - 2) = 0
2x-y + 3z-ll = 0
Bài 7. Lập phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai đi«?m A(l; 0; 1),
B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẵng (p): 2x - y + z — 7 = 0.
Giải
Ta có AB = (4; 2; 3) và mặt phẳng (p) có vectơ pháp tuyến fip = (2; -1; 1).
Mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A(l; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với (P) nên có vectơ pháp tuyến là h = AB A n = (4; 0; -8), vectơ này cùng phương với P = (1; 0; -2). Phương trình của mặt pihẳng (a).
l(x - 1) - 2(z - 1) = 0 X - 2z + 1 = 0
Bài 8. Xác định các giá trị của m và n đế mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: á) 2x + my + 3z - 5 = 0 và nx - 8y - 6z + 2 = 0 b) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và 2x + ny - 3z + 1 = 0
Giải
Gọi (P): 2x + my + 3z - 5 = 0, (Q): nx - 8y - 6z + 2 = 0
Ta có: (P) // (Q) o Ị =	ỉ
n -8	-6	2
Suy ra: m = 4, n = -4.
Gọi (a): 3x - 5y + mz -3 = 0
(P): 2x + ny - 3z + 1 = 0
Ta có: (a) // (p) I = — =
Bài 9. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
2x — y + 2z — 9 = 0
12x - 5z + 5 = 0
X = 0
Giải
a) Gọi (P): 2x-y + 2z-9 = 0
Khoảng cách từ A(2; 4; -3) đến mặt phẳng (P) là:
|2.2 - 4 + 2.(-3) - 9|
= ựa2 + (-1)’ + 2' = 5
b) Gọi (Q): 12x — 5z + 5 = 0
Khoảng cách từ A(2; 4; -3) đến mặt phẳng (Q) là:
|l2.2-5.(-3) + 5|	44
= Vi2’ + (-1)’ ■ 13
Mặt phẳng có phương trình X = 0 chính là mặt phẳng (Oyz). Khoảng cách từ A(2; 4; -2) đến mặt phẳng (Oyz) là:
d = i 2 I = 2
Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.
Chứng minh rằng hai mặt phẵng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B(l; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1).
a) Chứng minh (AB'D') // (BC'D'):
• Mặt phẳng (AB'D') có vectơ pháp tuyến n = AB A AD .
Ta có: B'(l; 0; 1) => AR = (1; 0; 1)
D'(0; 1; 1) => AD' = (0; 1; 1).
Suy ra n = (-1;-1; 1)	(1)
Mặt phẳng (BC'D) có vectơ pháp tuyến p = BC A BD
Ta có:	B(l; 0; 1), C'(l; 1; 1) => BC' = (0; 1; 1)
B(l; 0; 0), D(0; 1; 0) => BD = (-1; 1; 0).
Suy ra	p = (-1; -1; 1) => n = p	(2)
• Ngoài ra ta cũng có B(l; 0; 0) e (BC'D), nhưng B Ễ (AB'D')(3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra hai mặt phăng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D):
Mặt phẳng (AB'D') đi qua gốc tọa độ o và có vectơ pháp tuyến h = (-1; -1; 1) nên có phương trình là -X - y + z = 0.
Gọi d là khoảng cách giữa (AB'D') và (BC'D) ta có:
l-1-o + ol Tã d = d(B,(AB'D')) = J——I - 7^-
73	3