Giải toán 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ
§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0° ĐÈN 180° A. KIẾN THỨC CĂN BÀN Định nghĩa: Với mỗi góc a (0° < a < 180°) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta định nghĩa: sin của góc a là y0, kí hiệu since = y0; côsin của góc a là Xo, kí hiệu cosa = x0; Các số since, cosa, tance, cota được gọi là các giá trị lượng giác của góc a. Tính chất sin (180° - a) = since ; cos(180° - ex)- -cosce tan(180° - a) = -tance; cot(180° - oe) = -cota 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt '^a^rHượng^ĩac^'— 0° 30° 45° 60° 90° 180° sina 0 1 2 72 2 73 2 1 0 cosa 1 . 73 2 72 2 1 2 0 -1 tan a 0 1 73 1 73 II 0 cota II • 73 1 1 73 0 II GÓC giữa hai vectơ Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b đều khác B vectơ õ. Từ một điểm o bất kì ta vẽ ÕA = a và OB = b. Góc AOB với số đo từ 0° đến A13 0 - . . -• ã* 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. o Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a, b). Nếu (a, b) = 90° thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a i b hoặc b 1 a. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: sinA = sin(B + C); b) cosA = -COS(B + C). Vì A + B + c = 180° nên sinA = sin[180u- (B + C)J = sin(B + C) Vì A + B + c = 180° nên cosA = -cos[180°- (B + 0.1 = -cos(B + C) Vậy AK = asin2a <ỹủii OA b) COS 170° = -cos 10°: c) COS1220 = -COS580. Cho AOB là tam giác cân tại o có OA = a và có các đường cao OH vá AK. Giả sử AOH = a. Tính AK và OK theo a và a. Vậy OK = a.cos2a. Chứng minh rằng: sin105° = Sin75°; (ỷiẰi sin 105° = sin(180° - 75°) = sin75° COS1700 = cos(180° - 10°) = -coslO0 COS12211 = cos(180u - 58°) = -cos58° M^- y L a\ <0 o X 1. Chứng minh rằng với mọi góc ư (0° < a < 180°) ta đếu có cos2ct + sin2ci = 1. Giả sử M(x0; yo) nằm trên nửa đường tròn tâm o bán kính bằng 1. Theo định nghĩa giá trị lượng giác của góc a bất kì 0° < a < 180° ta có: COSGĨ = x0, sina = y0 mà x| + Vq = OM2 = 1 nên cos2a + sin2a = 1. 5. Cho góc X, với cosx = i . Tinh giá trị của biểu thức: p = 3sin2x + COS2X. <ỹidi Áp dụng công thức sin2x + COS2X = 1 Ta có: p = 3(1 - cos2x) + COS2X = 3 - 2coszx = 3-2 2„\ . „„„2„ _ o o„„„2„ _ Q ol1i_3_2 = 25 9 9 6. Cho hình vuông ABCD. Tinh: COS )aC,Ba), sin^AC.BD), COS^AB, cd) . tyừti Vẽ AE = BA ta có: cos(AC, BA) =cos(aC, As) = COS 135° = - Vì AC 1 BD nên sin(ÃC, Ẽ5) = sin90° = 1 cos(AB,CD) = cosl80° = -1. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho cosx = —; tính 2sin2a + 3cos2a. 3 Chứng minh các đẳng thức sau: (since + cosa)2 = 1 + 2sinacosa; sin4a + cos4a = 1 - 2sin2acos2a; sin6a + cos6a = 1 - 3sin2acos2a; Cho tana = 2. Tính ~ ; 4sina + 5cosa 'ÍVuánạ dẫn: Chia tử và mẫu cho COS a . A = tan2 a + cot2 a; B = tan3 a + cot3 a ; c = tan4 a - cot4 a . Cho tan a -cot a = a, tính: 'ZVuvn? dẫn: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chứng minh rằng: a)tan2a =sin2a + sin2 a .tan2 a; .. 2. ._2. 1-tan2a b) cos a - sin a = -———=—; tana - sina c) 1 + tan a sin3 a cos a (1 +cos a) Cho tam giác ABC vuông tại A và B = 30°. Tính sin (AB, AC)+cos)BC, ba) + cos (ca, ba).