Giải toán 10 Bài 4. Hệ trục tọa độ

  • Bài 4. Hệ trục tọa độ trang 1
  • Bài 4. Hệ trục tọa độ trang 2
  • Bài 4. Hệ trục tọa độ trang 3
  • Bài 4. Hệ trục tọa độ trang 4
  • Bài 4. Hệ trục tọa độ trang 5
§4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Trục và độ dài đại số trên trục
Trục tọa độ (còn gọi là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm o gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e; kí hiệu (O; e).
o	~M
Cho M là một điểm tùy ý trên trục (0; e). Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM = ke . Ta gọi sô' k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
Cho hai điểm A và B trên trục (O; e). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = ae . Ta gọi số a đó là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho và kí hiệu a = AB.
Nếu A, B trên trục (O; e) lần lượt có tọa độ là XA, XB thì AB = XB - XA.
Hệ trục tọa độ
y
1 .
~| r
0
r 1
X
Định nghĩa: Hệ trục tọa độ (O; I ; J ) gồm hai trục (O; T) và (O; I) vuông góc với nhau.
Điểm gốc o chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O; i ) được gọi là trục hoành và còn kí hiệu là Ox, trục (O; j ) được gọi là trục tung và còn kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và
I T I = I J I = 1. Hệ trục tọa độ (0; I ; J) còn được kí hiệu là Oxy.
* Tọa độ của vectơ:	U - (x;. y) u = XI + yj .
* Vectơ bằng nhau: Cho	U = (x; y); v' (x'; y')
u = v' <	,
y = y
Tọa độ của một điểm: M(x; y) OM = xĩ+ yj
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Cho hai điểm A(xa; yA) và B(xb; yB).
Tacó: ÃB = (xB-xA;yB-yA).
Tọa độ của các vectơ u + v, U-V, kũ
Ta có các công thức sau:
Cho u = (u,; u2), V = (v,; v2). Khi đó: u + V = (u, + V,; u2 + v2);
ũ-v = (u1-v1;u2-v2); ku = (kúi; ku2), k e 8.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác
Giả sử M(xm; yM), N(xn, yN), trung điểm P(xp, yp) của đoạn MN thì:
y _XM + XN.	v	VM+yN
xp	2	"p 2
G là trọng tâm của tam giác ABC thì: XG = Xạ + Xg + Xc ' Vg =	+ ^3 +
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trên trục (0: ẽ ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2.
Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;
Tính độ dài đại số của AB và MN. Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN ngược hướng.
ỹiắÃ
NA ẽf	B M
	1	1	1	X	1	1	
-2-10123
Áp dụng: AB = XB - XA.
Ta có:	ÃB = 2 - (-1) = 3, MN = -2 -3 = -5.
Vậy hai vectơ AB và MN ngược hướng.
Trong mặt phảng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?
ã = (-3; 0) và ĩ = (1; 0) là hai vectơ ngược hướng;
a = (3; 4) và b = (-3; -4) là hai vectơ đối nhau;
a = (5; 3) và b = (3; 5) là hai vectơ đối nhau;
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Vì a = -3 i nên a và i ngược hướng. Mệnh đề đúng.
Ta có a = -b nên a và b đối nhau. Mệnh đề đúng.
Ta có - a= (-5; -3) * b nên mệnh đề sai.
Mệnh đề đúng. .
3. Tim tọa độ của các vectơ sau: a) a = 2 ĩ ;	b) b = -3] ;
c) C = 3i - 4j
d) d =0,2Ĩ+^j.
Ta CÓ ĩ = (1; 0) và J = (0; 1) nên:
a) ẵ = 2 ĩ = (2 ; 0)	b) b = - 3 J = (0; -3)
c) c= 3Ĩ- 4 j = (3 ; -4)	d) d = 0,2 1 + 73 J = (0,2; Tã ).
Trong mặt phẳng Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?
Toạ độ của điểm A là tọa độ của vectơ OA ;
Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;
Điểm A nằm trên trục tung thi có hoành độ bằng 0;
Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
*7W iàci
Các khẳng định a), b) và c) đúng.
Khẳng định d) sai, chẳng hạn A(-l; -ì) nằm trên đường phần giác của góc phần tư thứ ba.	y
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x0; yo).
Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với M qua trục Ox;
Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy; B	y0
	X	x-x	’	
c) Tim tọa độ điểm c đối xứng với M qua gốc o.
ỹiãi
A đôi xứng với M qua trục Ox
thì A (x0; -y0);
B đốì xứng với M qua trục Oy
thì B(-Xo; y0);
c đô'i xứng với M qua góc o
thì C(-Xo; -y0).
Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3;	2), C(4; -1).Tim tọa độ đỉnh D.
Ta có AB = (3 + 1; 2 + 2) = (4; 4).	Gọi D (x; y) thì DC = (4	- x; -1	- y).
	,	í 4 - X = 4	f X — 0
ABCD là hình bình hành nên AB = DC 	 <
[_l_y=4 Ịy = -5
Vậy D(0; -5).
Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C’(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của
tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của các
tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.
(ỹiái
k.'.
c
-y0
X.
- -i
A
Ta CÓ: C'A = A'B'-
Vậy A(8; 1).
xA-2 = 2-(-4) yA+2 = 4-l
XA =8
yA = 1
Tương tự: BA' = C'B' 
-4-Xg=2-2
l-yB=4-(-2)
Vậy B(-4; -5).
J	X,, + 4 = 0
A'C = C'B' C
yc - 1 = 6
Vậy C(-4; 7).
Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G
Tọa độ trọng tâm của tam giác A'B'C' là: G'
XB =-^
yB = -5
=-4
yc=7
8-4-4 1-5+7
3	3
-4 + 2 + 2 1 + 4-2
= G(0; 1)
= G’(0; 1)
Chứng minh:
Vậy G = G'.
8. Cho a = (2; -2), b = (1; 4). Hãy phân tích vectơ C = (5; 0) theo hai vectơ ã và b .
5 = 2m + n
0 = -2m + 4n n = 1
(ỹùlé
Giả sử c = ma + nb o
Vậy c = 2a + b .
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2). Tìm tọa độ điểm D thỏa một trong các trường hợp sau:
D là điểm đối xứng của A qua B.
ABCD là hình bình hành.
ABCD là hình thang có cạnh đáy AB và D nằm trên trục hoành.
'ítyưvny dẩn:
B là trung điểm của AD, D(-l; 10)
BÃ = DC, D(4; -4)
c) D(x; 0); D
10
3
Cho hai điểm A(2; 4); B(-2; 1). Tìm điểm c trên trục hoành sao cho: a) Tam giác ABC cân tại A.	b) Tam giác ABC cân tại C.
"í^cácnạ cCẪn.:
Gọi c (x, 0) tìm X sao cho AB = AC => X = -1, X = 5