Giải toán 10 Bài 1. Phương trình đường thẳng

§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A.
Phương trình tham sô' của đường thẳng
X = x0 +
y = y0 + u2t
(t e R)
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận U (Ui; u2) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham sô' của đường thẳng A là:
u9	.
Nêu Ui * 0 thì k = — là hệ sô góc của A. U1
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = (a; b) và vectơ chỉ phương là U = (-b; a).
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a, 0) và N(0; b) (với a * 0, b * 0)
có phương trình là: — + Ị = 1 a b
VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng
ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0
A,, A2 cắt nhau 
A-I H A2
a1 b1
= 0
ai bi
 •
a2 b2
hoặc •
a2 b2
b1 Cl
*0
C1	ai
b2 c2
c2 a2
*0
,	,	a. bi
A2 cat nhau -A. —L
Ai — A2	o
Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì:
„ .	ai bi C1
A, // A2 —L = -—L TÍ —
ai bi C1
A( = A2 AA- = p- = -Al.
a2 b2 c2
Góc giữa hai đưởng thẳng
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi (à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b.
Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0°
Cho A|: A,x + B^y + C-I = 0 và A2: A2X + B2y + c2 = 0
a là góc giữa A, và A2 thì cosa =
I A4An + B.|B2 ị
i'f2 1
A2+B2
= COS
(rvnJ
Đặc biệt: ả) 1A2o A,A2 + B,B2 = 0
Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2
thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1.
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0; yo). Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d(M0,A). được tính bởi công thức:
d(M0,A):
Ti
|ax0 +by0 + c|
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u = (3; 4);
d đi qua điểm M(-2; 3) và vectơ pháp tuyến là n = (5; 1).
(ỹiắé
Ta có: M(2; 1) và U = (3; 4).
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ
, , , "	- fx = 2 + 3t
chỉ phương u là: <
[y = l + 4t
M(-2; 3); vectơ pháp tuyến n = (5; 1) thì d có vectơ chỉ phương U = (1; -5)
,	f X = -2 + t
Phương trình tham sô của d là: <
[y = 3-5t
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau:
A đi qua M(-5; -8) và có hệ sô’ góc k = -3;	b) A đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5).
ỹiắi
Phương trình đường thẳng A đi qua M(-5; -8) có hệ sô' góc k = -3 là:
y - yM = k(x - XM) y + 8 = -3(x + 5) 3x + y + 23 = 0
A có vectơ chỉ phương AB = (-6; 4)
x	, •>	» V - íx = 2 - 6t
Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: <
[y = l + 4t
Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0.
3.
-6	4
Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2).
Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA;
Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM.
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
X~*A = y-yA 	-5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0
XB-XA yB-yA 3-1 -1"4
Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0
Đường cao AH đi qua A( 1; 4) vuông góc với BC nên AH: X + y + c = 0 AH qua A(l; 4) nên l + 4 + C = 0=>C = -5.
Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0.
M là trung điểm của BC thì M
Phương trình trung tuyến AM:
^x+y-5 = 0.
XA-XM yA-yM	4_i
2 2
Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1).
Áp dụng phương trình đoạn chắn.
Phương trình đường thẳng qua hai điểm M(4; 0) và N(0; -1) là
4 + “ = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0.
4-1	7	J
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày:
df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0;
dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_
[y = 3 + 2t
d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t
ly = 6-4t
4	-10
Ta có —	—— nên di và d2 cắt nhau.
11
Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0.
_ , 12 -6 10 , .. ,
Ta có — =	nên di // d2.
2-1-7
Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0.
, 8 _ 10 _ -12 . , _ ,
Ta có — =	= —— nên di = d2.
IX	2 I
6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô'
4	5-6
y = 3 + t
Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.
ỹiẰi
Ta có M(2 + 2t; 3 + t) e d và AM = 5
AM = 5 AM2 = 25 (2 + 2t)2 + (2 + t)2 = 25
 5t2 + 12t - 17 = 0 »
Vậy có hai điểm M thoả mãn đề bài là: Mi(4; 4); M2^-^;--|j.
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0.
ỹiẦí
Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0.
Gọi tp là góc giữa di và d2 có:
costp =
10 _ 72 1072 - 2
|aia2+bib2| _	|4 + 6|	_	10
- VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ
Vậy: (p = 45°.
A(3; 5),
B(1;-2),
C(1;2),
Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0.
Ta có A(3; 5)
A: 4x + 3y + 1 = 0
Ta có C(l; 2)
m: 3x + 4y - 11 = 0
d(C,m) , l” ựgl- nl ■ 0 . vậỵ c e m.
79 + 16
Tim bán kính của đường trồn tàm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng A:
5x+ 12y-10 = 0
ỹiải
Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A.
R g d(C, A) =
725 +144	13
„	44
Vậy R =
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c.
‘rựcứcttỹ (tẩn
Gọi H là trực tâm tam giác ABC: (A) = AB r\ AH => A(-l; -1)
|B( = AB n HB => B(2; 4)
AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0
Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4; -5) và hai đường cao có phương trình là:
5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0
Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0
AC: 5x + 2y - 1 = 0
Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, (2 ; 1), M2(5 ; 3), M3(3; -4). Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác.
a) 2x + 3y + 1 =0
và
4x + 5y - 6 = 0;
b) 4x - y + 2 = 0
và
-8x + 2y + 1 =0;
c) 3x - 2y + 1 =0
và
-6x + 4y - 2 = 0.
5. Viết phương trình
các
cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1; 3) và hai
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm.
đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0.
Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M(-1; 1) còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
dẳtí
Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC.
Cho hình vuông đỉnh A(-4; 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.
dẩti
Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0
Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°.
Cho hai điểm P(2; 5) và Q(5; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3.
ĩ)afitĩ: 7x + 24y — 134 = 0.
Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A(3; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c.
Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2
Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC.
Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; 1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d(: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2.
4».' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.