Giải toán 10 Bài 2. Phương trình đường tròn

§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CĂN BẢN
Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Phương trình đường tròn tâm l(a; b), bán kính R có dạng:
(X - a)2 + (y - b)2 = R2
Phương trình đường tròn (x - a)2 + (y - b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 - R2.
Ngược lại, phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm l(a, b) và bán kính R = Va2 +b2 -c.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Chd đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 và M0(x0; yo) e (C)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo là:
(Xo - a)(x - Xo) + (y0 - b)(y - y0) = 0
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0;
16x2+ 16/+ 16x-8y-11 = 0;
X2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0.
(ỹéiỉé
Phương trình X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn có tâm I(a, b) bán kính 7a2 + b2 - c (với điều kiện a2 + b2 - c > 0).
Ta có a = 1, b = 1, c = -2
Đường tròn có tâm 1(1; 1) bán kính R = 7l2 + l2 + 2 = 2.
16x2 + 16y2 + 16x - 8y- 11 = 0 o X2 + y2 + X - |y - II = 0
2 16
a = 2,	b = -3,	c = -3.
Đường tròn có tâm 1(2; -3) bán kính R = 74 + 9 + 3 = 4 .
Lập phương trình đường tròn (7) trong các trường hợp sau:
(7) có tâm l(- 2; 3) và đi qua M(2; - 3);
(7) có tâm 1(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng X - 2y + 7 = 0;
(7) có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5).
co có tầm I(- 2; 3) và đi qua M(2; - 3) nên co có bán kính R = IM = 7l6 + 36 = 752 . Vậy phverg trình của co là:
(x + 2)2 + (y - 3)2 = 52
Ta có K-l; 2)
d: X — 2y + 7 = 0
CO có tâm I và tiếp xúc với (d) suy ra co có bán kính R bằng khoảng
l-l - 4 + 7|	2
cách từ I tới d: R = -—
7l + 4	75
Phương trình của co là: (x + l)2 + (y - 2)2 = Ệ-.
5
Ta có A(l; 1); B(7; 5)
Tâm I của co là trung điểm của AB nên suy ra I có tọa độ (4; 3). Gọi R là bán kính của co, ta có: R2 = IA2 = 9 + 4 = 13.
Vậy phương trình của co là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13.
b) M(-2; 4), N(5; 5), P(6;-2).
Lập phương trinh đường tròn di qua ba điểm a) A(1;2), B(5; 2), C(1;-3);
l + 4-2a-4b + c = 0
-2a - 4b + c = -5
25 + 4 - 10a - 4b + c = 0 ■
-10a-4b + c =-29 -
l + 9-2a + 6b + c = 0
-2a + 6b + c = -10
Phương trình của đường tròn co có dạng: X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) Thay tọa độ của các điểm A, B, c vào (1) ta được hệ phương trình:
fa = 3
b = 4 2
C = -1
Vậy co có phương trình: X2 + y2 - 6x + y - 1 = 0.
Tương tự như câu a) ta có hệ phương trình:
4a - 8b + c = -20	a = 2
• -10a - 10b + c = -50 - b = 1
-12a + 4b + c = -40 c = -20 Vậy co có phương trình: X2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0.
Lập phương trinh đường trò.n tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi quâ điểm M(2; 1).
tyiAi
Xét đường tròn co có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Có tâm I(a, b). CO tiếp xúc với Ox và Oy, nên: |a| = |b| = R (vì d(I, Ox) = d(I, Oy))
• Trường hợp 1: b = a (O: (X - a)2 + (y - a)2 = a2
M(2; 1) e co (2 - a)2 + (1 - a)2 = a2 a2 - 6a + 5 = 0 
Trường hợp 2: b = -a CO: (x - a)2 + (y + a)2 = a2
M(2; 1) e co » (2 - a)2 + (1 + a)2 = a2 o a2 - 2a + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm.
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài: CO): (x - l)2 + (y - l)2 = 1
CO): (X - 5)2 + (y - 5)2 = 25.
Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0.
(ỷưíi
Đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ có tâm nằm trên đường thẳng y = X hoặc y = -X.
4x - 2y - 8 = 0 íx = 4
. Vậy 1(4, 4).
Trường hợp tâm I thuộc đường thẳng y = X.
Tọa độ tầm I là nghiệm của hệ
Bán kính R = d(I, Ox) = 4 Vậy CO): (x - 4)2 + (y - 4)2 = 16
4x - 2y - 8 = 0 y = -x
Trường bợp tâm I thuộc đường thẳng y = -X.
Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ
Bán kính R = d(I, Ox) = —
3
Vậy«):(x-£) +(y + í) .ụ.
Cho đường tròn ('rì có phương trinh: X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0
Tìm tọa độ tàm và bán kính của (rì-
Viết phương trình tiếp tuyến với (rì đi qua điểm A(-1; 0).
Viết phương trình tiếp tuyến với (rì vuông góc với đường thẳng:
3x - 4y + 5 = 0.
tyúỉi
CO: X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0
Ta có a = 2, b = -4; c = -5
co có tâm 1(2; -4) và có bán kính: R = ^4 + 16 + 5 = 5 CO: (x - 2)2 + (y + 4)2 = 25
Ta có A(-l; 0) 6 co. Phương trình tiếp tuyến với co tại A là:
(-1 - 2)(x + 1) + (0 + 4)(y - 0) = 0
 -3x + 4y-3 = 0 o 3x-4y + 3 = 0
Tiếp tuyến A vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 nên phương trình A có dạng: 4x + 3y + c = 0. Ta có
c-4 = 25 c - 4 = -25
c = 29 c =-21
A tiếp xúc với CO nên d(I, A) = R
18-12 + c| r	, I .
 J	—-	- = 5 I c - 4 I = 25 
Vậy có hai tiếp tuyến của co vuông góc với d, đó là:
Ap 4x + 3y + 29 = 0 A2: 4x + 3y - 21 = 0.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Viết phương trình đường tròn qua điểm A(1; -2) và các giao điểm của đường thẳng: X - 7y + 10 = 0 với đường tròn X2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0.
Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
CO: X2 + y2 - lOx + 24y - 56 = 0 CO'Z- X2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0
Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 1 = 0 và (Cm): X2 + y2 - 2(m + 1 )x + 4my -5 = 0
Xác định m để (Cm) là đường tròn.
Chứng minh rằng có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với (C) ứng với hai giá trị khác nhau của m. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường đó.
Cho (Cm): X2 + y2 + (2 - m)x + 2my -1=0
Xác định m để (Cm) là đường tròn.
Cho m = -2 và A(0; -1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C_2) kẻ từ A.