Giải toán 10 Ôn tập cuối năm

ÔN TẬP CUỐI NĂM
Cho hai vectơ a và b có ỊaỊ = 3, |b| = 5, (a,b) = 120°. Với giá trị nào của
m thì hai vectơ a + mb và a - mb vuông góc với nhau?
lỹiẦi
(ã + mb) 1 (ã - mb) (a + mb).(a - mb) = 0
 a - m2 b = 0 9 - 25m2 m = ± -Ệ .
5
Cho tam giác ABC và hai điểm M, N sao cho AM = aAB; AN = pAC .
Hãy vẽ M, N khi a = I, p = -1 .
Hãy tìm mối liên hệ giữa a và p để MN song song với BC.
(ỷiải
3. Cho tam giác đều ABC cạnh a.
Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA2 + MB2 + MC2 theo a;
Cho đường thẳng d tuỳ ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA2 + NB2 + NC2 nhỏ nhất.
<ỹưíi
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
2R = —=> R =
sin A 73	73
V
Gọi G là trọng tâm AABC thì G cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC. Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = MA2 + MB2 + MC2
= (GA-GM)2 +1GB-GM)2 + (GC-GM)2 a2
= GA2 + GB2 + GC2 - 2 GM(GA + GB + GC) + 3GM2 = 6R2 = 6.| = 2a2.
O
Ta có: NA2 + NB2 + NC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3GN2
=> NA2 + NB2 + NC2 nhỏ nhất khi GN nhỏ nhất tức là khi N là
hình chiếu vuông góc của trọng tâm G lên d.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6cm. Một điểm M riằm trên cạnh BC sao cho BM = 2cm.
Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính côsin của góc BAM;
Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM;
Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh c của tam giác ACM;
Tính diện tích tam giác ABM.
Xét tam giác ABM Theo định lí côsin ta có:
AM2 = AB2 + BM2 - 2AB.BM.cos60°
= ô2 + 22
Vậy AM = 728 (cm).
AM2 +AB2 -BM2
cos BAM =
•28 + 36-4
2AM.AB
2.728.6
577
14
2.6.2.^ = 36 + 4 - 12 = 28 2
Xét tam giác ABM, theo định lí sin ta có:	= 2R = ^-y=- =
sinB	73	3
T
Vậy: R = —y— (cm).
Gọi m là độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh c của tam giác ACM. Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:
O	AC2+MC2	am2 62 +42	28	52 n	_ AK
m2 =	'	— = ^F-7	= 19 => m	= V19	cm)
2	4	2	4	2
Gọi s là diện tích tam giác ABM
Ta có s = ị BA.BM.sinB = ị .6.2. Ặ= 3^3 2 2 2
Vậy: s = 3\Í3 cm2.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đểu có
a = bcosC + ccosB;
sinA = sinBcosC + sinCcosB;
ha = 2RsinBsinC.
a) Áp dụng định lí cosin ta có:
bcosC + ccosB =
b(a2 +b2 -c2) + c(a2 + c2 - b2) 2ab	2ac
a2 + b2 -c2 + a 2 + c2 - b2 	= a
2a
Theo câu a) ta có: a = bcosC + ccosB (1)
Theo định lí hàm số sin ta có: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC. Thay các giá trị này của a, b, c vào (1) ta có:
2RsinA = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB sinA = sinBcosC + sinCcosB.
Theo công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:
SABC = jaha =|bcsinA(2)
Thay a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC vào (2) ta có:
ị2Rsin Ah = ị2RsinB.2RsinC.sin A ha = 2RsinBsinC. 2 a 2
Cho các điểm A(2; 3), B(9; 4), M(5; y) và P(x; 2).
Tim y để tam giác AMB vuông tại M;
Tìm X để ba điểm A, p và B thầng hàng.
tyiẦi
a) Ta có: AM = (3; y - 3); BM = (-4; y - 4)
Tam giác AMB vuông tại M AM.BM = 0
o3.(-4) + (y-3).(y-4) = 0
o -12 + y
 y - 7y = 0 
7y + 12 = 0 y = 0
.y = 7
b) Ta có AP = (x - 2; -1)
ÃB =(7; 1)
Ta có: A, p, B thẳng hàng AP cùng phương AB .
o ^-2 =	 (x - 2).l - (7).(-l) = 0ox-2 + 7 = 0x = -5
7	1
(ý-iảc
Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng AB, BH và AH lẳn lượt là: 4x + y - 12 = 0; 5x - 4y - 15 = 0 và 2x + 2y - 9 = 0. Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Ta CÓ A = AB n AH nên A( — ; 2) 2
B = AB n BH nên B(3; 0)
H = BH n AH nên hÍ4^;I I 3 6
Ta có: AC 1 BH AC: 4x + 5y + Cl = 0. A e AC ơi> 10 + 10 + Cl = 0
 C] = -20
Vậy phương trình đường thẳng AC là:
4x + 5y - 20 = 0.
Ta có: BC 1 AH X - y + c2 = 0;
B e BC 3 + c2 = 0c2 = -
Vậy phương trình đường thẳng BC là: X - y - 3 = 0.
Ta có: CH 1 AB CH là: X - 4y + c3 = 0;
„ „11 10 . „ _ n „ „ _ 1 3	3	3
Vậy phương trình đường thẳng CH là: X - 4y -ỉ = 0 3x - 12y -1 = 0.
3
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng A: 4x + 3y - 2 = 0 và tiếp xúc VỚI hai đường thẳng:
d,: X + y + 4 = 0 và d2: 7x - y + 4 = 0.
(ỹieíi
Xét đường tròn co có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Ta có: I(a; b) e A 4a + 3b - 2 = 0 (1)
Ta có: co tiếp xúc với di và d2 d(I, di) = d(I, d2).
|a + b + 4|	|7a-b + 4|	.	,	.	.	,	,
77	750	III
5a + 5b + 20 = 7a - b + 4	ra-3b-8 = 0 (2)
Lõa + 2b + 20 = -7a + b - 4 3a + b + 6 = 0 (3)
Giải hệ (1) và (2) ta được a - 2 và b = -2 R = d(I, di) = 272
Ta có CO): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 8.
Giải hệ (1) và (3) ta được a = -4, b = 6, R = 377 Ta có CO): (x + 4)2 + (y - 6)2 = 18.
Cho elip (E) có phương trình:	+ 36 = 1'
Hây xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó;
Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dài đoạn MN.
(ỷiíU
a) a = 10, b = 6 => c2 = a2 - b2 = 100 - 36 = 64 => c = 8 (E) có các đỉnh: Ả! (-10; 0), A2 (10; 0), Bi (0; -6), B2 (0; 6)
Tiêu điểm: Fi(-8; 0), F2(8; 0).
b) Đường thẳng A đi qua F2(8; 0) và song song với Oy có phương trình: X = 8.
Ta có tung độ giao điểm của (E) và A là nghiệm của phương trình:
64 . y2 1 _ ..18 -OO + r— = 1 => y = ±0“
100	36	5
Ta có: m(^8; y) và N^8; -y)
Vậy:	MN = |yM-yNị = y.