Giải toán 10 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
1. Cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh A(5; 1), C(0; 6) và phương trình CD: X + 2y- 12 = 0. Tim phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.
CD: x + 2y-12 = 0có vectơ pháp tuyến n = (1; 2)
Vì AB // CD nên AB đi qua A có vectơ pháp tuyến n = (1; 2), do đó AB có phương trình là:
l.(x - 5) + 2.(y - 1) = 0 OX + 2y - 7 = 0
AD 1 AB nên AD đi qua A và có vectơ pháp tuyến m = (2; -1) (vì mìn)
Vậy AD có phương trình là: 2(x - 5) - l.(y -l) = 02x-y-9 = 0
BC // AD nên BC đi qua C có vectơ pháp tuyến m = (2; -1) nên BC có phương trình: 2.(x - 0) - l.(y -6) = 02x-y + 6 = 0.
Cho A(1; 2), B(- 3; 1) và C(4; - 2). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 = MC2.
(ỹiắi
Với điểm M(x; y), ta có: MA2 + MB2 = MC2
« (X - l)2 + (y - 2)2 + (X + (3)2 + (y - l)2 = (x - 4)2 + (y + 2)2 o X2 + y2 + 12x - lOy - 5 '= 0 o (x + 6)2 + (y - 5)2 = 66.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I (-6; 5) bán kính R = 766 .
Tim tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:
Ai:5x + 3y-3 = 0	và	A2: 5x + 3y + 7 = 0
Ta có: M(x; y) cách đều Ai và A2 d(M, Ai) = d(M, A2)
|5x + 3y - 3|	|5x + 3y + 7|
 J' = 1—,7 —— - 5x + 3y + 2 = 0
725 + 9	725 + 9
Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng Ai và A2 là đường thẳng A có phương trình: 5x + 3y + 2 = 0.
Cho đường thẳng A: X - y + 2 = 0 và hai điểm 0(0; 0), A(2; 0).
Tìm điểm đối xứng của o qua A;
Tìm điểm M trên A sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
a) Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ 0
vuông góc với A có phương trình:
X + y = 0
Tọa độ giao điểm H của d và A là
kA. [x-y + 2 = 0 Jx = -1 nghiệm hệ:	„ o <
}x + y = o	ly =1
Vậy H(-l;l).
0’ là điểm đô'i xứng với 0 qua A H là trung điểm của 00’.
1 ° + A -x0' yA-y'	2 + 2 °-2
0'
0 + yn.
x0, = -2
. Vậy O'(-2; 2).
b) Ta có: OM + MA ngắn nhất O’M + MA ngắn nhất
 O’, M, A thẳng hàng M = Mo
với Mo là giao điểm của 0'A và A.
Phương trình đường thẳng 0'A là:	,
X - x0, y - y0' .. X + 2 y - 2 _ .. .... n n
——-2— = ——-2— 2 2 = 2—2 o X + 2y - 2 = 0
Tọa độ của Mo là nghiệm của hệ:
X - y + 2 = 0 X + 2y.~ 2 = 0
M / 2.4
Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8).
Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC;
Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng;
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Gọi G(xg; yd là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
XG =
XA+XB+XC
yG
2
yA + yB + yc
Vậy G 1^1
Gọi H(xh; yH) là trực tâm tam giác ABC. Ta có: AH = (xH - 4;yH •- 3)
BC = (-5; -15)
BH = (xH -2;yH -7)
AC = (-7; -11)
H là trực tâm tam giác ABC
AH 1BC
	I, ■
-5(xh -4)-15(yH -3) = 0
BH 1 AC
-7(xH-2)-ll(yH-7) = 0
XH + 3yH = 13
ÍXH = 13
o ] H	.Vậy H(13; 0).
7xH+llyH=91	[yH=°
 ■
b) Phương trình đường tròn ('<0 ngcại tiếp tam giác ABC có dạng:
X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
16 + 9 - 8a - 6b + c = 0
4 + 49 - 4a - 14b + c = 0
9 + 64 + 6a + 16b + c = 0
Ta có: A, B, c e Cd 
-8a - 6b + c = -25 -4a - 14b + c = -53 6a + 16b + c = -73
a = -5 b = l c =-59
Vậy ta được tọa độ tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là T(-5; 1).
Ta có: TH = (18; -1)
*4*4)
Suy ra TH = 3TG nên T, G, H thẳng hàng, c) Theo câu b) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
X2 + y2 + lOx - 2y - 59 = 0 (x + 5)2 + (y - l)2 = 85
6. Lập phương trình hai đường phàn giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
3x-4y+12 = 0	và	12x + 5y-7 = 0.
(ỹiải
Gọi Ap 3x - 4y + 12 = 0;
A2: 12x + 5y - 7 = 0
Điểm M(x; y) thuộc phân giác của các góc tạo bởi A] và A2 khi và chỉ khi
|3x-4y + 12| |l2x + 5y-7|
V9 + 16	- 7144 + 25
d(M, A,) = d(M, Az) »
 13 13x - 4y + 121 = 5 112x + 5y - 7 I
r21x + 77y-191 = 0
99x-27y +121 = 0
Vậy hai đường phân giác của các góc tạo bởi Ai và A2 có phương trình là:
d: 21x + 77y - 191 = 0
d': 99x - 27y + 121 = 0.
Cho đường tròn (7) có tâm 1(1; 2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M
mà từ đó ta vẽ được hai tiếp tuyến với ('ế) tạo với nhau một góc 60° là một đường tròn. Hãy
viết phương trinh đường tròn đó.
tyiẦi
Trong tam giác vuông AMI, ta có:
sinẤMÌ = ^
MI
MI =
AI
= 2R = 6
sin 30°
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn
tâm 1(1; 2), bán kính IM = 6 và có
phương trình:
(X - l)2 + (y - 2)2 = 36.
8. Tim góc giữa hai đường thẳng At và A2 trong các trường hợp sau:
At: 2x + y - 4 = 0 và A2: 5x - 2y + 3 = 0;
3
At: y = -2x + 4 và A2: y = -7X + ^.
2
Ta có n.j = (2; 1); n2 = (5; -2) lần lượt là vectơ pháp tuyến của Ai; A2.
=> (Ai, A2) « 48°21'59"
Ai có hệ số góc là ki = -2 A2 có hệ số’ góc là k2 =
2
Ta có ki.k2 = -1 nên Ai 1 A2. Vậy (Ai, A2) = 90°.
Choelip(E): íị + ệ =1.
16	9
Tim tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.
Ta CÓ a = 4, b = 3, c = Va2 -b2 = 77
(E) có tiêu điểm: Fi(-77 ;0), F2(77 ;0) và có các đỉnh Ax(-4; 0), A2(4; 0), Bi(0; -3),
B2(0; 3).
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiểu dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769 266 km và 768 106 km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Tráng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của elip.
ổịiẦi
Ta có:
2a = 769 266 km 2b = 768 106 km
a = 384 633 b = 384 053
=> c = 7a2 - b2 = 21116
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm Trái Đất đến tâm Mặt Trăng là:
A1F1 = a - c = 363 517 (km)
Khoảng cách dài nhất từ tâm Trái Đất đến tâm Mặt Trăng là: F1A2 = a + c = 405 749 (km).