Giải toán 10 Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ã và b. Tích vô hướng này với |a| và |b| không đổi đạt giá trị lớn nhất vả nhỏ nhất khi nào?
ỹiẦi
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là a.b = |a|. |b| cost a, b).
Nếu |a|và|b|không đổi thì tích vô hướng a,b đạt giá trí lớn nhất và nhỏ nhất khi cos (a, b I tương ứng đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Do đó: a.b đạt giá trị lớn nhất khi cos(a,b) = 1 (khi đó (a, b)= 0°)
a.b đạt giá trị nhỏ nhất khi cos(a,b)= -1 (khi đó (a,b) = 180°).
Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a = (-3; 1) và vecto' b = (2; 2), hãy tính tích vô hướng a.b.
Ta có: ẵ.b = (-3).2 + 1.2 = -4.
3. Hãy nhắc lại định lí côsin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB và cosC theo các cạnh của tam giác.
ièci
Định lí cosin trong tam giác: Trong tam giác ABC bất kì với ba góc A, B, c và AB = c, BC = a, CA = b, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
Từ các hệ thức trên, ta suy ra:
cosA =
1? . -2 _2 b + c - a
cosB =
a2+c2-b2
cosC =
a2+b2-c2
2ab
2bc	2ac
4. Từ hệ thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA trong tam giác, hãy suy ra định li Py-ta-go.
(ỹiỉíi
Theo hệ thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA trong tam giác, nếu góc A = 90° thì: a2 = b2 + c2 (vì cosA = 0).
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, trong đó R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác.
(ỹiẦi
Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có: ,a - =	- c - 2R
sin A sinB sinC
Từ đó suy ra: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 b2 + c2.
Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2.
(ỹiẦi
,2 , „2 „2
7,
Áp dụng định lí cosin ta
Do đó: a) Góc A nhọn
Góc A tù
Góc A vuông Cho tam giác ABC có Â = 60°
Z 2	1 2	9	A	A	D + c — a
CÓ: a = b + c - 2bccosA => COS A = 	—	
2bc
o cosA >	0	b2	+	c2	- a2	>	0 	a2	< b2 + c2;
 cosA 	b2	+	c2	- a2	a2	> b2 + c2;
 cosA =	0	b2	+	c2	- a2	=	0 	a2	- b2 + c2
BC = 6. Tính bán	kính đường	tròn ngoại tiếp	tam giác đó.
(ỹitíé
Ta CÓ A = 60°, a = 6. Theo định lí sin ta có: .a— = 2R => R = a = 2V3 .
sin A	2 sin A
Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c = 20. Tính diện tích s của tam giác, chiều cao ha, các bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác.
(ỹiẩi
Theo công thức Hê-rông: p =	(12 + Ị6 + 20) = 24 ta có
2
s = ự24(24 - 12)(24 -16)(24 - 20) = 96;
c _ 1 ,	_K_2S_-.fi.
s = — aha => ha = — = 16;
2	a
_ abc	„ abc 12.16.20 ,n
4R	4S	4.96
o . .	. . s 96 Ậ
24
. 2(
2(b2+c2)-
= 4
162 +202)-122
a	4	4
9. Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam yiác có diện tích lớn nhất.
<ỹiẦi
Ta có công thức s = absinC. Diện tích s của tam giác lớn nhát khi sinC 2
có giá trị lớn nhất, nghĩa là khi c = 90°.
Vậy tam giác vuông tại c có diện tích lớn nhất.
	—	 = 292 => ma « 17,09.
Cho hai góc nhọn a và p phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
A) sina = -cosp ;	B) cosa = sinp ;
C) tana = cotp ;	D) cota = tanp.
Tícỉ lèiỉ (B), (C), (D) đúng. Chọn (A).
Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
B) sin90°15' cos 120°.
A) sin90° < sin150°;
C) cos90°30' > cos100°;
Cèi: (A), (B), (D) sai. Chọn (C).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Khảng định nào sau đây là sai?
A) AB.AC < BA.BC ;	B) AC.CB < AC.BC
C) AB.BC < CA.CB ;	D) AC.BC<BC.AB
7t4	(A), (B), (C) đúng
AC.BC = CA.CB = CA.CBcosC
BC.AB = -BC.BA = -BC.BAcosB < AC.BC . Chọn (D).
Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 7cm, CA = 9cm. Giá trị cosA là:
A)
B)
3	'3
Tícỉ tèi: a = 7, b = 9,c = 4
. _ b2 + c2 -a2 cosA =
92 + 42 - 72
=	. Chọn (A).
3
2bc	2.9.4
Cho hai điểm A = (1; 2) và B = (3; 4). Giá trị của AB là:
A) 4;	B)4 75;	0 6 75;
ÃB = (2; 2) => ÃB2 = 22 + 22 = 8. Chọn (D).
Cho hai vectơ a = (4; 3) và b = (1; 7). Góc giữa hai vectơ a và b là:
A) 90°;	B) 60°;	C) 45°;
7W ố&í/
ã.b
COS ■
72
í; bì - a b _	4.1+ 3.7	_	25	_ 25 _ VS
'a’ ' ” |ẵ|.|b| - V42 +32.Vl2+72 ” 725-750 " 2572 " 2 Do đó góc giữa hai vectơ a và b là 45°. Chọn (C).
D)
D)8.
D) 30°
24. Chữ hai điểm M = (1; -2) và N = (-3; 4). Khoảng cách giữa hai điểm MvàN là:
A) 4;
B) 6;
C) 3^6 ;
D) 2 7Ĩ3.
7w ốài;
MN = ự(-3-l)2 +(4 + 2)2 = 752 = 27Ĩ3 . Chọn (D).
Cho tam giác ABC có A = (-1; 1); B = (1; 3) và c = (1; -1).
Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng.
A) ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau:	B) ABC là tam giác có ba góc đều nhọn;
C) ABC là tam giác cân tại B (có BA = BC);	D) ABC lá tam giác vuông cân tại A
7w (òt;
Ta có ÃB = (2; 2); Ãc = (2; -2); BC = (0; -4)
Nên |ab| = IAc| = 78 và |bc| = 4
Mặt khác: ÃB.ÃC = 2.2 + 2(-2) = 0 => AB 1 AC Vậy AABC vuông cân tại A. Chọn (D).
Cho tam giác ABC có A = (10; 5); B = (3; 2) và c = (6; -5). Khẳng định nào sau đây là đúng?
ABC là tam giác đều;
ABC là tam giác vuông cân tại B;
ABC là tam giác vuông cân tại A;
ABC là tam giác có góc tù tại A.
7ĩA Càé:
Ta có BA = (7; 3), BC = (3; -7); AC = (-4; -10).
Do đó: |ẼÃ| = |bc| = 758
Mặt khác: BA.BC = 21 - 21 = 0. Ta suy ra BA 1 BC .
Vậy tam giác vuông cân tại B. Chọn (B).
Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm o bán kính R. Gọi r là bán
R	Ạ
2
c
A) 1 + 72 ;	B)
C)
D)
kinh dường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có tỉ sô' — bằng:	A
Ta có BC = 2R và OA = R
Đường tròn nội tiếp tâm 0' tiếp xúc với
các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại o, E, F.
Tứ giác O'EAF là hình vuông nên O'A = O'E 72 = r VZ, Do đó OA = r + r 72 = R
Chọn (A).
Tam giác ABC có AB = 9cm; AC = 12cm và BC = 15cm. Khi đó trung tuyến AM của tam giác có độ dài là:
A) 8cm ;	B) 10cm ;	C) 9cm ;	D) 7,5cm.
lèi:
Vì BC2 = AB2 + AC2 nên ta có tam giác ABC vuông tại A.
BC
Do đó trung tuyến: AM = —- = 7,5 (cm). Chọn (D).
2
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích s. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đổng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc c thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
Ă)2S;	B)3S;	C) 4S;	D) 6S.
"InẦ lài:
Ta có công thức: Sabc = 7? absinC 2
Gọi S' là diện tích tam giác mới, ta có:
S' = — 2a.3b.sinC = 6Sabc- Chọn (D).
E 6
2
Cho tam giác DEF có DE = DF = 10cm và EF = 12cm.
Gọi I là trung điểm của cạnh EF. Đoạn thẳng DI có độ dài là:
A) 6,5cm;	B) 7cm;
C) 8cm;	D)4cm.
ố<te:
DI = VdE2 - EI2 = VlO2 - 62 = 8 . Chọn (C).
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM = 6, CN = 9 và BGC = 120°, với G là trọng tâm AABC.
Tính các cạnh của AABC.
Cho AABC, la là phân giác trong góc A.
Chứng minh rằng: la = .ựbcp(p-a)
Cho AABC có diện tích s.
Chứng minh rằng:
16S2 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4.
Chứng minh a4 + b4 + c4 > 16.S2
, c m.
Cho AABC có các trung tuyên mb, mc thỏa = —- * 1
b mc
Chứng minh rằng: a)b2 + c2=2a2;
b) 2cotA = cotB + cotc