Giải toán 10 Bài 3. Tích của vectơ với một số

  • Bài 3. Tích của vectơ với một số trang 1
  • Bài 3. Tích của vectơ với một số trang 2
  • Bài 3. Tích của vectơ với một số trang 3
  • Bài 3. Tích của vectơ với một số trang 4
  • Bài 3. Tích của vectơ với một số trang 5
§3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT số
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Định nghĩa: Cho số k * 0 và vectơ a * 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng I k I. I a I.
Tính chất: Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:
k(a + b) = ka+kb;	(h + k)ẵ = hã+kã;
h(ka) = (hk)a;	1.a = a; (-1).a =-a.
Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có:
MÃ + MB = 2MI.
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
MÃ + MB + MC = 3MG.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b * 0) cùng phương là có một số k để a = k b.
Phân tích một vectú theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ X đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho X = h a + k b.
A
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC .
tyiÁi
Ta CÓ: ĂB + ÃC + ĂD = (ÃB + Ăd) + ÃC = ÃC + AC = 2ÃC .
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.
Hãy phân tích các vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ u = AK, V = BM .
(ỹiải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
AB = GB-GA = ỊmB-|kA 3	3
= |(AK-BM) = |(Ó-Ĩ)
Ta có
BC = GC - GB = (-GA - GB) - GB
=-GA-2GB = AG + 2BG
Chú ý: G là trọng tâm AABC thì GA + GB + GC = õ.
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB = 3MC . Hãy
piictii IIOII VCCIU Ml VI líieo nai vecio u = AD va V = AG .
<ỹiải
Ta có: MB = 3MC ÃB - ÃM = 3(ÃC - âm)
phân tích vectơ AM theo hai vectơ u = AB và V = AC .
 3AM - AM = 3AC - AB AM = 1 AC - ị AB 2 2
• Vậy: ÃM = -ịó + iv .
2 2
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng
2 DA + DB + DC = õ ;	b) 2 OA + OB + oc = 4OD , với o là điểm tùy ý.
ý-iẩi
Ta có:
2DA + DB + DC = 2 DA + 2DM
= 2( DA + DM ) = 2. õ = õ
2 ÕA + ÕB + oc = 2 ÕA + 2ÕM
= 2( ÕA + ÕM)
= 2(2. ÕD) = 4ÕD
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN=AC+BD=BC+AD.
Ta CÓ: AC + BD = (am + MN + Nc) + (ẼM + MN + NÕ)
= 2 MN + (am + BM) + (no + ND)
= 2 MN (vi AM = -BM và NC = -ND )
Tương tự: BC + ÃD = (ẼM + MN + Nc) + (am + MN + ND)
= 2MN + (bM + AM) + (nC + n5) = 2MN Vậy 2 MN = AC + BD = BC + ÃD .
Cho hai điểm phân biệt A vá B. Tim điểm K sao cho 3 KA + 2KB = 0 .
Ta CÓ: 3 KA + 2KB = õ	h	+	t	+	+	|
o -3 ÃK + 2(ÃB - ÃK) = õ	A	K	B
o -5 AK = -2AB AK = 4 AB 5
Cho tam giác ABC. Tim điểm M sao cho MA + MB + 2MC = õ .
ỹiẦÃ
Gọi C' là trung điểm của AB, ta có:
MA + MB + 2MC = õ 2MC' + 2MC = 0 2(MC' + MC) = 0
 MC' + MC = õ Vậy điểm M là trung điểm của trung tuyến CC'.
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR và G là trọng tâm tam giác NQS. Ta có:
GM + GP + GR = ^(GA + GB + GC + GD + GE + GF) = õ 2
GTSl + G'Q + G'S = |(G'A + G'B + G'C + G'D + G'E + G'F) = õ
Do đó:
GA + GB + GC + GD + GE + GF = GÃ + GB + G'C + GT) + GB + GF => (ga + Ãẽ?) + (GB + BỠ) + (GC + CC?) + (GD + DG5) + (ÕẼ + EC?) + (GF + FỠ) = Õ => 6GG' = Õ => G = G'.
Cho tam giác đều ABC CO o là trọng tàm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ tử M đến BC, AC. AB.	A
Chửng minh rằng MD + ME + MF = ^MO .
tỹiẦi
Qua M kẻ các đường thẳng sau: K]Ki // AB,
K2Ks // AC,
K3Ke // BC
(Kj, K2 6 BC; K3, KL, e AC; Kg, K« e AB).
B	K, D K, c
2	1	*	3	4	ờ	t>
= |[(mk>mk;)+(mk;+mk;)+(mk4‘+mk;)]
= 4(MB + MC + MA) = |(MA + MB + MC)
2 2
Ta có MK4K2, MK3K4, MKsKg là các tam giác đều nên MD + ME + MF = I (MK^ + MẼỊ + MKg + MĨỤ + MK^ + MK^)
(vì MK5AK4, MK3CK2, MKiBKfi là các hình bình hành).
Vậy: MD + ME + MF = ị.3M0 = |mÕ .
2 2
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng: AB +AI +JA + DA = ^DB .
"ítycáttuỷ dẩK:
Áp dụng quy tắc ba điểm.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:
ÃÌ = |ÃC-^ÃB	b) ci =--^(ÃB + Ấc) c) Ml = ^ÃC-|ăB .
3	3	3'	'	6	6
Cho tam giác ABC. Xác định điểm I, J, K thỏa các điều kiện sau:
3IA + 2IC = 0;	2JA + 3JB = 3BC ;	KA + KB + 2KC = 0.
'Uứu? dắt-:
Chọn A làm gốc, biểu diễn AI, AJ, AK qua hai vectơ AB và AC .
Cho hình bình hành ABCD. Xác định M thỏa: 4 AM = AB + AC + AD .
'ĩtytácttẠ dẩM.:
Chứng minh AM = ỉ AC.
Cho A, B cố định. M tùy ý và điểm p là điểm xác định bởi MP = MA + 3MB. Chứng minh đường thẳng MP đi qua điểm cố định.
“ĩĩháciuỷ dẫtt,:
Gọi I là điểm thỏa IA + 3IB = õ
Chứng minh M, p, I thẳng hàng do MP = 4MI.
Cho tứ giác ABCD: a) Xác định điểm I thỏa IA-2IB+4IC = õ
Với M bất kì, chứng minh: MA-2MB + 4MC = 3MI
Cho điểm M thỏa |mA-2MB + 4Mc| = 3|md|
Chứng minh M chạy trên đường thẳng cố định.
"ítyuÁnạ dẫn:
Chọn A làm gốc ta có AI = ^2AC - ABj.
Áp dụng quy tắc ba điểm.
3 |mi| = s|md| »mi = md
 M chạy trên đường trung trực đoạn ID cố định.