Giải toán 10 Bài 3. Tích của vectơ với một số
§3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT số A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa: Cho số k * 0 và vectơ a * 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng I k I. I a I. Tính chất: Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có: k(a + b) = ka+kb; (h + k)ẵ = hã+kã; h(ka) = (hk)a; 1.a = a; (-1).a =-a. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MÃ + MB = 2MI. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MÃ + MB + MC = 3MG. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b * 0) cùng phương là có một số k để a = k b. Phân tích một vectú theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ X đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho X = h a + k b. A B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC . tyiÁi Ta CÓ: ĂB + ÃC + ĂD = (ÃB + Ăd) + ÃC = ÃC + AC = 2ÃC . Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ u = AK, V = BM . (ỹiải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. AB = GB-GA = ỊmB-|kA 3 3 = |(AK-BM) = |(Ó-Ĩ) Ta có BC = GC - GB = (-GA - GB) - GB =-GA-2GB = AG + 2BG Chú ý: G là trọng tâm AABC thì GA + GB + GC = õ. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB = 3MC . Hãy piictii IIOII VCCIU Ml VI líieo nai vecio u = AD va V = AG . <ỹiải Ta có: MB = 3MC ÃB - ÃM = 3(ÃC - âm) phân tích vectơ AM theo hai vectơ u = AB và V = AC . 3AM - AM = 3AC - AB AM = 1 AC - ị AB 2 2 • Vậy: ÃM = -ịó + iv . 2 2 Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng 2 DA + DB + DC = õ ; b) 2 OA + OB + oc = 4OD , với o là điểm tùy ý. ý-iẩi Ta có: 2DA + DB + DC = 2 DA + 2DM = 2( DA + DM ) = 2. õ = õ 2 ÕA + ÕB + oc = 2 ÕA + 2ÕM = 2( ÕA + ÕM) = 2(2. ÕD) = 4ÕD Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN=AC+BD=BC+AD. Ta CÓ: AC + BD = (am + MN + Nc) + (ẼM + MN + NÕ) = 2 MN + (am + BM) + (no + ND) = 2 MN (vi AM = -BM và NC = -ND ) Tương tự: BC + ÃD = (ẼM + MN + Nc) + (am + MN + ND) = 2MN + (bM + AM) + (nC + n5) = 2MN Vậy 2 MN = AC + BD = BC + ÃD . Cho hai điểm phân biệt A vá B. Tim điểm K sao cho 3 KA + 2KB = 0 . Ta CÓ: 3 KA + 2KB = õ h + t + + | o -3 ÃK + 2(ÃB - ÃK) = õ A K B o -5 AK = -2AB AK = 4 AB 5 Cho tam giác ABC. Tim điểm M sao cho MA + MB + 2MC = õ . ỹiẦÃ Gọi C' là trung điểm của AB, ta có: MA + MB + 2MC = õ 2MC' + 2MC = 0 2(MC' + MC) = 0 MC' + MC = õ Vậy điểm M là trung điểm của trung tuyến CC'. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Gọi G là trọng tâm tam giác MPR và G là trọng tâm tam giác NQS. Ta có: GM + GP + GR = ^(GA + GB + GC + GD + GE + GF) = õ 2 GTSl + G'Q + G'S = |(G'A + G'B + G'C + G'D + G'E + G'F) = õ Do đó: GA + GB + GC + GD + GE + GF = GÃ + GB + G'C + GT) + GB + GF => (ga + Ãẽ?) + (GB + BỠ) + (GC + CC?) + (GD + DG5) + (ÕẼ + EC?) + (GF + FỠ) = Õ => 6GG' = Õ => G = G'. Cho tam giác đều ABC CO o là trọng tàm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ tử M đến BC, AC. AB. A Chửng minh rằng MD + ME + MF = ^MO . tỹiẦi Qua M kẻ các đường thẳng sau: K]Ki // AB, K2Ks // AC, K3Ke // BC (Kj, K2 6 BC; K3, KL, e AC; Kg, K« e AB). B K, D K, c 2 1 * 3 4 ờ t> = |[(mk>mk;)+(mk;+mk;)+(mk4‘+mk;)] = 4(MB + MC + MA) = |(MA + MB + MC) 2 2 Ta có MK4K2, MK3K4, MKsKg là các tam giác đều nên MD + ME + MF = I (MK^ + MẼỊ + MKg + MĨỤ + MK^ + MK^) (vì MK5AK4, MK3CK2, MKiBKfi là các hình bình hành). Vậy: MD + ME + MF = ị.3M0 = |mÕ . 2 2 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng: AB +AI +JA + DA = ^DB . "ítycáttuỷ dẩK: Áp dụng quy tắc ba điểm. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: ÃÌ = |ÃC-^ÃB b) ci =--^(ÃB + Ấc) c) Ml = ^ÃC-|ăB . 3 3 3' ' 6 6 Cho tam giác ABC. Xác định điểm I, J, K thỏa các điều kiện sau: 3IA + 2IC = 0; 2JA + 3JB = 3BC ; KA + KB + 2KC = 0. 'Uứu? dắt-: Chọn A làm gốc, biểu diễn AI, AJ, AK qua hai vectơ AB và AC . Cho hình bình hành ABCD. Xác định M thỏa: 4 AM = AB + AC + AD . 'ĩtytácttẠ dẩM.: Chứng minh AM = ỉ AC. Cho A, B cố định. M tùy ý và điểm p là điểm xác định bởi MP = MA + 3MB. Chứng minh đường thẳng MP đi qua điểm cố định. “ĩĩháciuỷ dẫtt,: Gọi I là điểm thỏa IA + 3IB = õ Chứng minh M, p, I thẳng hàng do MP = 4MI. Cho tứ giác ABCD: a) Xác định điểm I thỏa IA-2IB+4IC = õ Với M bất kì, chứng minh: MA-2MB + 4MC = 3MI Cho điểm M thỏa |mA-2MB + 4Mc| = 3|md| Chứng minh M chạy trên đường thẳng cố định. "ítyuÁnạ dẫn: Chọn A làm gốc ta có AI = ^2AC - ABj. Áp dụng quy tắc ba điểm. 3 |mi| = s|md| »mi = md M chạy trên đường trung trực đoạn ID cố định.