Giải toán 10 Bài 2. Tích vô hướng cảu hai vectơ

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a. b, được xác định bởi công thức sau:
a.b = |a|.|b|cos(a,b)
Các tính chất của tích vô hưổng
Với ba vectơ a, b, C bất kì và mọi số k ta có:
a.b = b.a (tính chất giao hoán);
a.(b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối);
(ka).b = k(a.b) = a.(kb);
-2 _ -.2 _ - a > 0,	a=0 o a = 0.
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 ;
(a-b)2 =a2-2.a.b + b2;
(a + b).(a- b) = a2 -E)2.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho a - (ai ; a2), b = (bi; b2)
a.b = a1b1+a2b2
Nhận xét: a, b đều khác ỏ thì a 1 b a1b1 +a2b2 = 0
4.
ứng dụng
Độ dài của vectơ
Cho a = (ai; a2) thì la! = ựa2 + a2
Góc giữa hai vectơ
Cho a = (ai; a2), b= (bi; b2) đều khácõ
Khi đó cos(a,b) :
a.b
a1b1 + a2b2
•|b| +a2.ựbf +b
Khoảng cách giữa hai điểm Cho A(xa; Ya) và B(xb; Yb)
AB = ự(xB-XA)2+(yB-yA)2.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích võ hướng AB.AC, AC.CB.
2. Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp:
Điểm o nằm ngoài đoạn AB;
Điểm o nằm trong đoạn AB.
tỹiải
Khi o nằm ngoài đoạn AB ta có:	Q	Ạ	B
OA.OB = a.b.cosO0 = a.b
Khi o nằm giữa hai điểm A và B ta có:
ÕẨ.ÕB = a.b.cosl80° = -a.b	*	2	?
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa dường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA;
Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM+ BI.BN theo R.
tỹiải
a) Ta có AI.AM = AI.AM.COS(AI.AM)
= AI.AM.cosO0 = AI. AM và AI.AB = AI.AB. cos IAB AM
= AI.AB.^= AI.AM
AB
Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ĂM = ÃỈ.ÃB Tương tự BI.BN = BI.BN
BI.BA = BI.BA.COSÍBẦ
BN "
= BI.BA.^-= BI.BN
BA
Từ đó suy ra BI.BN = BI.BA .
* Cách khác:
Ta có: ÃỈ.ÃM-ÃỈ.ĂB = ÃỈ(ÃM - Ãẽ) = AI.BM = 0 (vì Ãỉ 1 BM )
=> ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB
Tương tự: BI.BN = BI.BA.
b) Ap dụng câu a) ta có
ALAM + BI.BN = AI.AB + BỈ.BÁ = AI.AB + IB.AB = AB.(AI + IB) = AB2 = 4R2
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).
Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
Tính chu vi tam giác OAB;
Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đố tính diện tích tam giác OAB.
(ỹiẦi
a) Giả sử D(xd; 0) nằm trên trục Ox.
Ta có: DA = DB DA2 = DB2 o (1 - XD)2 + 32 = (4 - XD)2 + 22
 X2 - 2xd + 1 + 9 = Xp - 8xd + 16 + 4 XD =
VâyD(|;o].
Ta có: OA = 7l2 +32 = 7ĨÕ ; OB = V42 + 22 = 720
AB = ự(4 -1)2 + (2 - 3)2 = 7ĨÕ Chu vi tam giác OAB là:
2p = OA + OB + AB = 7ĨÕ + 720 + 7ĨÕ = 27ĨÕ + 72.7ĨÕ = 7ĨÕ(2 + 72)
Vì OA = AB = 7ĨÕ và OB = 720 nên OB2 = OA2 + AB2 Vậy tam giác OAB vuông cân tại A.
Diện tích tam giác OAB là: s =	OA.AB = i.TĨÕ.TĨÕ = 5 (đvdt).
2 2
* Cách khác:
Ta có ÕA = (1; 3); ÃB = (3; -1) => ÕẨ . Ãỗ = 1.3 - 3.1 = 0 => OA ± AB.
Trên mặt phẳng Oxy hãy tinh góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau :
ă = (2; -3), b = (6; 4);
ã= (3; 2), b = (5; -1);
a = (-2; -2^3), b= (3; 73 ).
Ta có:	a
Ta có:	a
. b = 2.6 + -3.4 = 0 => a 1 b hay (a, b ) = 90°. . b = 3.5 + 2.(-l) = 13
|ẵ| = 732 + 22 = 7Ĩ3 ; |b| = 726
=> cos(a,b)
- f, a.b 13
,|b|	713.726	7Ĩ3.713.72	72
1 ^(a,b) = 45°
a.b = (-2).3 + (-2731.73 =-6 - 6 =-12
|a| = 4; |b| = 2.73
=> cos(a,b) = a'b =	12 =	=> (a, b) = 150° .
;.b	4.273	2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Ta có: |Ãb| = ự(8 - 7)2 + (4 + 3)2 =750 = 572 |bc| = 7(1 - 8)2 + (5 - 4)2 = 750 = 572 |cd| = 7(0 - l)2 + (-2 - 5)2 = 750 = 572
|ÕÃ| = y/72 + (-1)2 = 750 = 572
=> AB = BC = CD = DA nên tứ giác ABCD là hình thoi.
Mặt khác ÃB= (1; 7); ÃD = (-7; 1)
nên	Ãẽ.ÃD= l.(-7) + 7.1 = 0 AB 1 AD
Vậy hình thoi ABCD có một góc vuông nên tứ giác ABCD là hình vuông.
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A( 2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o.
Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c.
$úỉi
Ta có B(2; -1) là điểm đỗì xứng với A qua o.
Gọi C(x; 2) ta có: CA = (-2 - x; -1); CB = (2 - x; -3)
AABC vuông tại c CA.CB =0	 (-2 - x)(2 - x) + 3 = 0
 X2 - 1 X = ±1
Vậy có hai điểm cần tìm là: C(l; 2) và C'(-l; 2).
c
1.
2.
3.
4.
BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, Â = 60°
a) Tính AB.CA ;	b) Tính BC.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm o. Tính AB.AC và AO.BC Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8.
a) Tính AB.AC và góc A.	b) Tính độ dài trung tuyến AM.
c) Xác định điểm I thỏa 5IA + 3IC = õ. d) Tính AB.IA và BI.
Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6.
Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c. Chứng minh
rằng: GA2 + GB2 + GC2 =	(a2 + b2 + c2).
3
Wert*? dắt: GA2= |aM2=|.ỉ(ÃB + ÃC)2 =j(b2+c2+2ÃB.ÃC)
Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
(mã + 2MB).(mC + 3MD) = 0
dẩti.: Gọi I, J là điểm thỏa: IA + 2IB = õ và JC + 3JD = õ Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ.