Giải toán 10 Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

  • Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trang 1
  • Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trang 2
  • Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trang 3
  • Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trang 4
  • Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trang 5
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC - b. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b. Vậy AC = a + b.
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
B
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC.
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có:
Với ba vectơ
B
D
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a+o=o+a=a
(tính chất giao hoán);
(tính chất kết hợp);
(tính chất của vectơ-không).
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối:
Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kíhiệulà-a.
Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.
A
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ:
Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + (—b), kí hiệu a - b.
Vậy: a-b = a+ (-b). Với o, A, B tùy ý ta có: AB = OB-OA.
Áp dụng
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi:
IÃ + IB = õ.
Điểm G là 'trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi:
GA + GB + GC = 0.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB.
Vẽ các vectơ MA + MB và MA - MB .
A	-c M	B
Vẽ AC = MB, ta có:
MA + MB = MA + AC = MC
Theo định nghĩa hiệu của hai vectơ ta có:
MA - MB = MA + BM = BA
Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý.
Chứng minh rằng MA + MC = MB + MD.
ặíÂi
Ta CÓ: MÃ + MC = (mb + BÃ) + (m5 +Dc)
= MB + MD + (bA+DC)
= MB + MD (Vi BA + DC = Õ)
Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:
a) ÃB + BC + CD + DA = õ:	b) AB - AD = CB - CD .
(ý-iẦi
Ta có:
ÃB + BC + CD + DA = AC + CD + DA = AD + DA = ÃẨ = Õ
AB - AD = DB ;
CB - CD = DB.
Vậy: AB - AD = CB - CD .
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình binh hành ABU, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ + IQ + PS = õ.
(ỹièLi
Ta có:
RJ + IQ+PS = (rA + AJ)+(IB+BQ) + (pC+CS)
= (RA + CS) + (AJ+ ĨB) + (BQ + PC) = õ vì RA= -CS, ÃJ= -ĨB, BQ= -PC.
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a.
Tính độ dài của các vectơ AB + BC và AB - BC .
Ta có: AB + BC = AC => I AB + BC I ÃB - BC = AB + CB
Vẽ BE = CB thì ÃB - BC = ÃB + BẼ = ÃE => I ÃB - BC I = I ÃẼ I = AE = VaH2 + HE2
Cho hình bình hành ABCD có tâm o. Chứng minh rằng:
a) CO - ÕB = BA ;	b) AB - BC = DB ;
DÃ - DB = ÕD - õc ;	d)DA-DB + DC = 0.
ýiẦi
Ta có: a) co - OB = OA - OB = BA ;
ÃB - BC = ÃB - ĂD = DB ;
DA - DB = BA ;
ÕD - Õc = CD.
Vì BA = CD nên DA - DB = ÕD - Õc
DA - DB + DC = BA + DC = õ, vì BA = -DC.
Cho a , b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức:
Nếu a và b cùng phương thì ba điểm A, B, c thẳng hàng.
Trường hợp a và b ngược hướng ta có |a + b| < |a| + |b|.
Trường hợp a và b cùng hướng ta có Ịã + b| = ỊãỊ + |bj.
Vậy a + b = a + b a, b cùng hướng.
b) Vẽ OA = a, OB = b. Nếu a và b không cùng phương, ta dựng hình bình hành OACB. Khi đó Ja + b| = oc. |a - b| = AB. Do đó Ja + b| = |a - b|
khi và chỉ khi hình bình hành là hình chữ nhật, nghĩa là các giá của a và b vuông góc với nhau.
Nếu a, b cùng phương, vẽ OA = a, AB = b, giả sử: a > b
Trường hợp a và b ngược hướng ta có:
L 7.	1=— -Ị.’	o B A c
a + b = OA + AB = OB = OB	H	-+•	1-	H
|ẵ - b| = |ÕÃ - Ãẽ| = |ÕẨ + Ãc| = oc > OB
Trường hợp a và b cùng hưởng ta có:
I- rl l^rr Tvd	o	c	A	B
a + b = OA + AB = OB	I	1	*+-	►
|ẵ - b| = |ÕẤ - Ãẽ| = |ÕẨ + Ãc| = oc < OB
Vậy a+. b = a - b a±b.
Cho I a + b I = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.
(ỹ-iÂ-i
Ta CÓ I a + b I = 0 a + b = 0 a - - b
Vậy a và b có cùng độ dài và ngược hướng (a và b đô'i nhau).
Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. <ỹiảé
Gọi It là trung điểm của AD và I2 là trung điểm của BC.
Ta có AIj = IjD và CI2 = I2B, do đó
AB = CD AIj + 1^2 + I2B = CI2 + I2Ij + IjD
«(Ãĩ;-ĩ^)+ĩ^ = ĩ^+(c|j-ĩ^) ĨX = Ụ>ĩx = õ~Ii-i2
Cho ba lực F, = MA , F2 = MB và F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ cùa F,, F2 đều là 100N và AMB = 60°. Tìm cưởng độ và hướng của lực F3 .
(ỹiái
Vật đứng yên do Fj + F2 + Fg = õ.
Vẽ hình thoi MAEB ta có Fj + F2 = và lực F4 = ME có cường độ là
ME = 2MI = 2.	= 100 Vé
2
Ta có F4 + F3 = õ, do đó Fg là vectơ đốì của F4 .
Như vậy Fg có cường độ là 100 73 N và ngược hướng với F4 (như hình vẽ).
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho lục giác đều ABCDEF và M tùy ý.
Chứng minh rằng: MA + MC + ME = MB + MD + MF.
MÃ + MC + ME = (mb + ba) + (MD + do) + (mF + FẼ) Chứng minh: BA + DC + FE = Õ .
Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình bình hành ABMN, BCPQ, CARS.
Chứng minh: QM+NR+SP=Ỏ "ĩụuÁnạ
QM = QB + BM ; NR = NA + ÃR; SP = sc + CP
Cho bốn điểm A, B, c, D.
Chứng minh rằng AB-CD = AC + DB.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm độ dài các vectơ:
ÃB + ÃD; AB-BC và CB-CD
Cho tam giác ABC, xác định điểm I thỏa điều kiện:
ĨA-ÍB-ĨC = õ.