Giải toán 10 Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CĂN BẢN 1. Tổng của hai vectơ Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC - b. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b. Vậy AC = a + b. Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. B 2. Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC. 3. Tính chất của phép cộng các vectơ Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có: Với ba vectơ B D a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a+o=o+a=a (tính chất giao hoán); (tính chất kết hợp); (tính chất của vectơ-không). 4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối: Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kíhiệulà-a. Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0. A b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + (—b), kí hiệu a - b. Vậy: a-b = a+ (-b). Với o, A, B tùy ý ta có: AB = OB-OA. Áp dụng Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi: Ià + IB = õ. Điểm G là 'trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi: GA + GB + GC = 0. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MA + MB và MA - MB . A -c M B Vẽ AC = MB, ta có: MA + MB = MA + AC = MC Theo định nghĩa hiệu của hai vectơ ta có: MA - MB = MA + BM = BA Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA + MC = MB + MD. ặíÂi Ta CÓ: Mà + MC = (mb + BÃ) + (m5 +Dc) = MB + MD + (bA+DC) = MB + MD (Vi BA + DC = Õ) Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có: a) ÃB + BC + CD + DA = õ: b) AB - AD = CB - CD . (ý-iẦi Ta có: ÃB + BC + CD + DA = AC + CD + DA = AD + DA = ÃẨ = Õ AB - AD = DB ; CB - CD = DB. Vậy: AB - AD = CB - CD . Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình binh hành ABU, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ + IQ + PS = õ. (ỹièLi Ta có: RJ + IQ+PS = (rA + AJ)+(IB+BQ) + (pC+CS) = (RA + CS) + (AJ+ ĨB) + (BQ + PC) = õ vì RA= -CS, ÃJ= -ĨB, BQ= -PC. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB + BC và AB - BC . Ta có: AB + BC = AC => I AB + BC I ÃB - BC = AB + CB Vẽ BE = CB thì ÃB - BC = ÃB + BẼ = ÃE => I ÃB - BC I = I ÃẼ I = AE = VaH2 + HE2 Cho hình bình hành ABCD có tâm o. Chứng minh rằng: a) CO - ÕB = BA ; b) AB - BC = DB ; Dà - DB = ÕD - õc ; d)DA-DB + DC = 0. ýiẦi Ta có: a) co - OB = OA - OB = BA ; ÃB - BC = ÃB - ĂD = DB ; DA - DB = BA ; ÕD - Õc = CD. Vì BA = CD nên DA - DB = ÕD - Õc DA - DB + DC = BA + DC = õ, vì BA = -DC. Cho a , b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức: Nếu a và b cùng phương thì ba điểm A, B, c thẳng hàng. Trường hợp a và b ngược hướng ta có |a + b| < |a| + |b|. Trường hợp a và b cùng hướng ta có Ịã + b| = ỊãỊ + |bj. Vậy a + b = a + b a, b cùng hướng. b) Vẽ OA = a, OB = b. Nếu a và b không cùng phương, ta dựng hình bình hành OACB. Khi đó Ja + b| = oc. |a - b| = AB. Do đó Ja + b| = |a - b| khi và chỉ khi hình bình hành là hình chữ nhật, nghĩa là các giá của a và b vuông góc với nhau. Nếu a, b cùng phương, vẽ OA = a, AB = b, giả sử: a > b Trường hợp a và b ngược hướng ta có: L 7. 1=— -Ị.’ o B A c a + b = OA + AB = OB = OB H -+• 1- H |ẵ - b| = |Õà - Ãẽ| = |ÕẨ + Ãc| = oc > OB Trường hợp a và b cùng hưởng ta có: I- rl l^rr Tvd o c A B a + b = OA + AB = OB I 1 *+- ► |ẵ - b| = |ÕẤ - Ãẽ| = |ÕẨ + Ãc| = oc < OB Vậy a+. b = a - b a±b. Cho I a + b I = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b. (ỹ-iÂ-i Ta CÓ I a + b I = 0 a + b = 0 a - - b Vậy a và b có cùng độ dài và ngược hướng (a và b đô'i nhau). Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. <ỹiảé Gọi It là trung điểm của AD và I2 là trung điểm của BC. Ta có AIj = IjD và CI2 = I2B, do đó AB = CD AIj + 1^2 + I2B = CI2 + I2Ij + IjD «(Ãĩ;-ĩ^)+ĩ^ = ĩ^+(c|j-ĩ^) ĨX = Ụ>ĩx = õ~Ii-i2 Cho ba lực F, = MA , F2 = MB và F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ cùa F,, F2 đều là 100N và AMB = 60°. Tìm cưởng độ và hướng của lực F3 . (ỹiái Vật đứng yên do Fj + F2 + Fg = õ. Vẽ hình thoi MAEB ta có Fj + F2 = và lực F4 = ME có cường độ là ME = 2MI = 2. = 100 Vé 2 Ta có F4 + F3 = õ, do đó Fg là vectơ đốì của F4 . Như vậy Fg có cường độ là 100 73 N và ngược hướng với F4 (như hình vẽ). c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho lục giác đều ABCDEF và M tùy ý. Chứng minh rằng: MA + MC + ME = MB + MD + MF. Mà + MC + ME = (mb + ba) + (MD + do) + (mF + FẼ) Chứng minh: BA + DC + FE = Õ . Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình bình hành ABMN, BCPQ, CARS. Chứng minh: QM+NR+SP=Ỏ "ĩụuÁnạ QM = QB + BM ; NR = NA + ÃR; SP = sc + CP Cho bốn điểm A, B, c, D. Chứng minh rằng AB-CD = AC + DB. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm độ dài các vectơ: ÃB + ÃD; AB-BC và CB-CD Cho tam giác ABC, xác định điểm I thỏa điều kiện: ĨA-ÍB-ĨC = õ.