SGK Hình Học 10 - Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ - Câu hỏi và bài tập

TÍCH VÔ HIÍ0NG CỦA HAI VECTSf VÀ IÌNG DỤNG
Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0° đến 180°
Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu thêm một phép toán mới về vectơ, dó là phép nhân vô hướng của hai vectơ. Phép nhân này cho kết quà là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vectơ. Để có thể xác định tích vô hướng của hai vectơ ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc a bốt kì vối
0° < a < 180° là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn O'đã biết ỏ lớp 9.
§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BAT kì
TỪ 0° ĐẾN 180°
1 Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn ABC - a. Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn a đã học ở lớp 9.
Hình 2.1
^2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm 0 nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (h.2.2). Nếu cho trước một góc nhọn a thì ta có thể xác định một điểm A4 duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xO/W = a. Giả sử điểm M có toạ độ (x0; y0).
Hình 2.2
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc a bất kì với 0° < a < 180°, ta có định nghĩa sau đây :
Định nghĩa
Với mỗi góc a (0° < a < 180°) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị (h.2.3) sao cho xOM = a và giả sử điểm M có toạ độ M(x0 ; y0). Khi đó ta định nghĩa:
sin của góc Cố là y0, kí hiệu sin a - y0 ;
côsin của góc cdà Xq, kí hiệu cos cz= x0;
7 x v yA	.	yQ
tang của góc a là — (x0 0), kí hiệu tana= — ;
• côtang của góc a là — (y0 * 0), kí hiệu cotcz = —.
Các Số sina, cosa, tano, cotađược gọi là các giá trị lượng giác của góc a.
Ví dụ. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = 135°. Khi đó ta có
. /T
Vậy sinl35u=-^—; cosl35°=-—7- 2 '2
(h.2.4).
yOM = 45° . Từ đó ta suy ra toạ độ của điểm M là
O = 7|
2
tanl35°=-l; cotl35° =-1.
Chú ý.* Nếu alà góc tù thì coscz< 0, tanơ< 0, cotac 0.
• tan a chỉ xác định khi a 90°, cotưchỉ xác định khi a 0° và a *180°.
Tính chất
Trên hình 2.5 ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM - a thì xON = 180° - a. Ta có yM = yN = }>Q, XM = -XN = XQ . Do đó
sina= sin (180° - à) cosa=-cos(180°- à) tana- - tan (ì 80° - à) cota= - cot (180° - 6Ộ.
X
Hình 2.5
3.
Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi.
Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà chúng ta cần ghi nhớ.
Bảng giá trị lượng giác của các góc dạc biệt
Giá tr|\.	a
lượng giác
0°
30°
45°
60°
o
O
Ch
180°
sina
0
1
2
72
2
73
2
1
0
cosư
1
73
2
72
2
1
2
0
-1
tan a
0
1
7^
1
73
II
0
cotứr
II
73
1
1
73
0
II
Trong bảng, kí hiệu " II " để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn :
sin 120° = sin(l 80° - 60°) - sin 60° = y-
Ư2 •
COS1350 = cos(180°-45°) =-cos45° =- 2 •
^3 Tìm các giá trị lượng giác của các góc 120°, 150°.
Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa
Cho hai vectơ a và b đều khác vectợ 0 . Từ một điểm o hất kì ta vẽ OA = a yà OB = ĩ). Góc AOB với số đo từ 0° đến
|ị 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b .Ta kí hiệu góc I giữa hai vectơ a và b là (a , b) (h.2.6). Nếu (a , h )= 90“
thì ta nói rằng a và h vuông góc với nhau, kí hiệu là a 1 b II hoặc b la.
Chú ý. Từ định nghĩa ta có () = (b , a).
Hình 2.6
■^4 Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0° ? Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 180° ?
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 50° (h.2.7). Khi đó :
(BA, BC) = 50° , (AB, BC) = 130°, (CA, CB) = 40°, (AC, BC) = 40° , (AC, CB) = 140°, (AC, BA) = 90°.
Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau :
Tính các giá trị lượng giác của góc a
Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây :
Deg
Rad
Gra
1
2
3
Sau đó ấn phím I 1 I để xác định đơn vị đo góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc.
• Tính sina, COS a và tana.
Ví dụ 1-Tính sin 63° 52'41". Ấn liên tiếp các phím sau đây :
sin
63
52
41
O’”
Ta được kết quả là : sin 63° 52' 41" - 0, 897859012.
Để tính cosa và tana ta cũng làm như trên, chỉ thay việc ấn phím bằng phím
COS
hay
tan
sin
Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc X khi biết các giá trị lượng giác của góc đó ta làm như ví dụ sau.
Ví dụ 2. Tìm X biết siriA' = 0,3502. Ta ấn liên tiếp các phím sau đây :
SHIFT
sin
0.3502 Ẹ]
SHIFT
và được kết quả là : X- 20°29’58".
Muốn tìm X khi biết cosx, tanx ta làm tương tự như trên, chỉ thay phím bằng phím
COS
tan
sin
Câu hỏi và bài tạp
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
a) sin A = sin(B + C);	b) cos A = -cos(B + C).
Cho AOB là tam giác cân tại o có OA = ữ và có các đường cao OH và AK. Giả sử ẤỜH = a. Tính AK và OK theo a và a.
Chứng minh rằng :
sin 105° = sin 75° ;
cosl70° = -COS 10° ;
COSỈ220 = -cos58°.
4.
5.
6.
Chứng minh rằng với mọi góc a (0° < a < 180°) ta đều có COS2 a + sin oc — 1.
Cho góc X, với COS * = 3 • Tính giá trị của biểu thức : p = 3 sin ° X + COS2 X.
Cho hình vuông ABCD. Tính :
cos( AC, BA), sin( AC, BD ), cos( AB, CD).