SGK Hình Học 10 - Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ - Câu hỏi và bài tập

§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Trên hình 1.5, hai người đi dọc hai bên bờ kênh và cùng kéo một con thuyền với hai lực Fị và F2 . Hai lực Fị và F2 tạo nên hợp lực F là tổng của hai lực Fị và F2 , làm thuyền chuyển động.
Định nghĩa
Cho hai vectơ a và h . Lấy một điểm A tuỳ ỷ, vẽ AB = a và |Ị BC = b. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b.
Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b. Vậy AC=a+b (h.1.6).
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
B
~a
A
~a +
ĩ
c
Hình 1.6
Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC .
B
c
/
s'
ự
/
s'
s'
A'
s'
/
A
D
Hình 1.7
Trên hình 1.5, hợp lực của hai lực Fị và F2 là lực F được xác định bằng quy tắc hình bình hành.
Tính chất của phép cộng các vecto
Với ba vectơ a ,ĩ> ,c tuỳ ý ta có a + b = b + a (tính chất giao hoán);
(a + b)+c = a + (ĩ)+ c) (tính chất kết hợp); ữ+Õ=Õ+ữ=ứ (tính chất của vectơ - không).
Hình 1.8 minh hoạ cho các tính chất trên.
B
c
/~a
'F
à
^s
'S''
X
c
7"-
X
A
/s'
„s'
—> a
X
ờ"
T5“
E
Hình 1.8
^1 Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1.8.
4. Hiệu của hai vectơ
^2 Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ AB và CD.
Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là -a.
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA , nghĩa là -AB = BA.
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
Hình 1.9
^3 Cho AB + BC = Q . Hãy chứng tỏ BC là vectơ đối của AB.
Định nghía hiệu của hai vectơ
Ệ Cho hai vectơ a và b .Ta gọi hiệu của hai vectơ a và h là Ệ vectơ a + ị-b ), kí hiệu a - h.
Như vậy
a-b = a + (-Ồ).
A
Hầy giải thích vì sao hiệu của hai vectơ 06 và 0/4 là vectơ AB.
À4
DS= Chú ý. 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tuỳ ý A, B, c ta luôn có :
AB + BC - AC (quy tắc ba điểm);
AB - AC = CB (quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.
Ví dụ 2. Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có AB + CD - AD + CB. Thật vậy, lấy một điểm o tuỳ ý ta có
AB + CD = OB-OA + OD-OC =OD-OA + OB-OC = AD + CB.
Áp dụng
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB - 0 .
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 .
Ngược lại, giả sử GA + GB + GC = 0 .Vẽ hình bình hành BGCD có I là giao
điểm của hai đường chéo. Khi đó GB + GC - GD, suy ra GA + GD = 0 nên G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Do đó ba điểm A, G, I thẳng hàng, GA = 2GI, điểm G nằm giữa A và /. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu hỏi và bài tạp
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MA + MB và MA - MB.
Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng ~MA + ~MC = ~MB + ~MD.
Chứng minh rằng đối vói tứ giác ABCD bất kì ta luôn có
a) A5 + BC + CD + DA = 0 ;	b) AB-AD = CB-CD.
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành AdỉIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ + ỊQ + PS = 0 .
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB + BC và AB-BC.
Cho hình bình hành ABCD có tâm o. Chứng minh rằng
a)CƠ-ỠB = Ã4;	b) AB-BC = DB ;
DA-DB = OD-0C ;	d) DA-DB + DC	= 6.
Cho a , b là hai vectơ khác	0 .	Khi	nào có đẳng thức
a) |« + £| = |d| + lfrl ;	b) |ứ + z?| = |<7-èị.
Cho \a + ĩ>\ = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và	b.
Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Cho ba lực Fị = MA , F2 = MB và F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của Fị , F2 đều là 100 N và AMB = 60° . Tìm cường độ và hướng của lực F3 .
Thuyền buồm chạy ngược chiều gió
Thông thường người ta vẫn nghĩ rằng gió
thổi về hướng nào thì sẽ đẩy thuyền buồm
về hướng đó. Trong thực tế con người đã
nghiên cứu tìm cách lợi dụng sức gió làm
cho thuyền buồm chạy ngược chiều gió.
Vậy người ta đã làm như thế nào để thực
hiện được điều tưỏng chừng như vô lí đó ?
Nói một cách chính xác thì người ta có thể làm cho thuyền chuyển động theo một góc nhọn, gân băng — góc vuông đối với chiều gió thôi. Chuyên động này được thực hiện theo đường dích dắc nhằm tới hướng cần đến của mục tiêu.
Để làm được điều đó ta đặt thuyền theo hướng TT' và đặt buồm theo phương BB' như hình vẽ.
Khi đó gió thổi tác động lên mặt
buồm một lực. Tổng hợp lực là lực f có điểm đặt ở chính giữa buồm. Lực f được phân tích thành hai lực : lực P vuông góc với cánh buồm 66’ và lực q theo chiều dọc cánh buồm. Ta
có f = p + q. Lực q này không đẩy buồm đi đâu cả vì lực cản của gió đối với buồm không đáng kể. Lúc đó chỉ còn lực pđẩy buồm dưới một góc vuông. Như vậy khi có gió thổi, luôn luôn có một lực p vuông góc với mặt phẳng 66’ của buồm. Lực P này được phân tích thành lực r vuông
Gió
Đích
/
/
/
X
✓
Xuất phát
góc với sống thuyền và lực s dọc theo sống thuyền TT’ hướng về mũi thuyền. Khi đó ta có p = s + r. Lực r rất nhỏ so với sức cản rất lớn của nước, do thuyền buổm
có sống thuyền rất sâu. Chỉ còn lực S hướng về phía trước dọc theo sống thuyền đẩy thuyền đi một góc nhọn ngược với chiều gió thổi. Bằng cách đổi hướng thuyền theo con đường dích dắc, thuyền có thể đi tới đích theo hướng ngược chiều gió mà không cần lực đẩy.