SGK Hình Học 10 - Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập

  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 1
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 2
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 3
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 4
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 5
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 6
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 7
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 8
  • Bài 3. Phương trình đường elip - Câu hỏi và bài tập trang 9
§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
Hình 3.18
Định nghĩa đưòng elip
4^1 Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng (h.3.18a). Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải là đường tròn hay không ?
^2 Hãy cho biết bóng của một đường tròn trên một mặt phẳng (h.3.18b) có phải là một đường tròn hay không ?
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F và E, (h.3.19). Lấy một vòng
dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn 2 FỵF2. Quàng vòng dây đó qua hai
chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Đặt đầu bút chì tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip.
Hình 3.19
Định nghĩa
Cho hai điểm cố định Fị, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn ^2 . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho
FỵM + F2M = 2a.
Các điểm Fỵ và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài FỵF2 - 2c gọi là tiêu cự của elip.
Phương trình chính tắc của elip
Hình 3.20
XỶ
Cho elip (F) có các tiêu điểm F và F,. Điếm M thuộc elip khi và chỉ khi F\M + F2M = 2a. Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho FỊ = (-C ; 0) và F2 = (c; 0). Khi đó người ta chứng minh được :
2 2
W;y)e (F)^^- + ^- = l (1) a b
2 2 2 trong đó b -a -c .
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.
^3 Trong phương trình (1) hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được b2 = a1 -c2.
Hình dạng của elip
Xét elip (F) có phương trình (1):
a) Nếu điểm M(x ; ỳ) thuộc (F) thì các điểm M (-X ; y), AF, (% ; -ỳ) và M (-X ; -ỳ) cũng thuộc (F) (h.3.21).
Vậy (F) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc o.
b) Thay y = 0 vào (1) ta có X = ±a, suy ra (£) cắt Ox tại hai điểm Ạ (-ứ ; 0) và A2 (a ; 0). Tương tự thay X = 0 vào (1) ta được y = ±b, vậy (£) cắt Oy tại hai điểm Bl (0; -b) và #2 (0 ; bỵ
Các điểm Âj, A2, và gọi là các đỉnh của elip.
Đoạn thẳng AỵA2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B{B^ gọi là trục nhỏ của elip.
Ip	r2 V2
I Ví dụ. Elip (£):	“ = 1 có các đỉnh là Aỵ (-3 ; 0), Â2 (3 ; 0), Bỵ (0 ; -1),
9	1
£2(0 ; 1) và AỵA2 - 6 là trục lớn còn BịB-) = 2 là trục nhỏ.
.4 Hãy xác định toạ độ các tiêu điểm và vẽ hình elip trong ví dụ trên.
Liên hệ giữa đưồng tròn và đưòng elip
Từ hệ thức b2 = a2 - c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ) có phương trình
2 , 2 _ 2
X +y =a .
Hình 3.22
Với mỗi điểm M(x ; y) thuộc đường tròn ta xét điểm A£(x’; y’) sao cho x' - X
b (với 0 <b < ữ) (h.3.22) a
thì tập hợp các điểm M' có toạ độ thoả mãn phương trình ,2 ,2
——+ —^- = 1 là một elip (£). a b
Khi đó ta nói đường tròn Ợể) được co thành elip (£).
Câu hỏi và bài tạp
Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của các elip có phương trình sau :
,2 „2 , X , y ,
;
25	9
4x2 + 9y2 = 1 ;
4x2+9y2 = 36.
2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết
Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6 ;
3.
Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau : a) Elip đi qua các điểm Af(0 ; 3) và A0 3 ;	;
nằm trên elip.
/
b) Elip có một tiêu điểm là Fị (-5/3 ; 0) và điểm M 1
V
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm X 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu ?
Cho hai đường tròn ^(Fị ; 7?ị) và ^(F2 ; /?2) . nằm tr°ng *^2 và Fị F2 . Đường tròn & thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với íq và tiếp xúc trong với . Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn & di động trên một elip.
Hình 3.23
Ba đường conic
và quỹ đạo của tàu vũ trụ
Khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng không đi qua đỉnh và không vuông góc với trục của mặt nón, người ta nhận thấy ngoài đường elip ra, có thể còn hai loại đường khác nữa là parabol và hypebol (h.3.23). Các đường nói trên thường được gọi là ba đường cônic (do gốc tiếng Hi Lạp Konos nghĩa là mặt nón).
Hình 3.24
Dưới đây là vài ví dụ về hình ảnh của ba đường cônic trong đời sống hằng ngày : - Bóng của một quả bóng đá trên mặt sân thường có hình elip (h.3.24).
- Tia nước từ vòi phun ở công viên thường là đường parabol (h.3.25).
Hình 3.25
- Bóng của đèn ngủ in trên tường có thể là đường hypebol (h.3.26).
Hình 3.26
Tàu vũ trụ được phóng lên từ Trái Đất luôn bay theo những quỹ đạo, quỹ đạo này thường là đường tròn, elip, parabol hoặc hypebol. Hình dạng của quỹ đạo phụ thuộc vào vận tốc của tàu vũ trụ (h.3.27). Ta có bảng tương ứng giữa tốc độ và quỹ đạo như sau.
Tốc độ V của tàu vũ trụ
Hình dạng quỹ đạo tàu vũ trụ
7,9 km/s
đường tròn
7,9 km/s < vo < 11,2 km/s
elip
11,2 km/s
Một phần của parabol
vo > 11,2 km/s
Một phần của hypebol
Ngoài ra người ta còn tính được các tốc độ vũ trụ tổng quát, nghĩa là tốc độ của các thiên thể chuyển động đối với các thiên thể khác dưới tác dụng của lực hấp dẫn tương hỗ. Ví dụ để phóng một tàu vũ trụ thoát li được Mặt Trăng trở về Trái Đất thì cần tạo cho tàu một tốc độ ban đầu là 2,38 km/s.
Hình 3.27
ị>J\aỉi cổ fasp
Hình 3.28
Một hành tinh
Qỉô-han Kê-ple và quy luật
chuyển động của các hành tinh
Giô-han Kê-ple (Johannes Kepler, 1571-1630) là nhà thiên văn người Đức. ông là một trong những người đã đặt nền móng cho khoa học tự nhiên. Kê-ple sinh ra ở Vu-tem-be (Wurtemberg) trong một gia đình nghèo, 15 tuổi theo học trường dòng. Năm 1593 ông tốt nghiệp Học viện Thiên văn và Toán học vào loại xuất sắc và trở thành giáo sư trung học. Năm 1600 ông đến Pra-ha và cùng làm việc với nhà thiên văn nổi tiếng Ti-cô Bra.
Kê-ple nổi tiếng nhờ phát minh ra các định luật chuyển động của các hành tinh :
Các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo các quỹ đạo là các đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm.
Đoạn thẳng nối từ Mặt Trời đến hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Chẳng hạn nếu xem Mặt Trời là tiêu điểm F và nếu trong cùng một khoảng thời gian t, một hành tinh di chuyển từ đến M2 hoặc từ M' đến M'2 thì diện tích hai hình FM^M2 và FM^M'2 bằng nhau (h.3.28).
Nếu gọi Tf, T2 lần lượt là thời gian để hai hành tinh bất kì bay hết một vòng
quanh Mặt Trời và gọi a-Ị, a2 lần lượt là độ dài nửa trục lớn của elip quỹ đạo của hai hành tinh trên thì ta luôn có
Các định luật nói trên ngày nay trong thiên văn gọi là ba định luật Kê-ple.