SGK Hình Học 10 - Bài 2. Tích vô hướng cảu hai vectơ - Câu hỏi và bài tập

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Niutom (viết tắt là N), |ơơ'| là
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực
F tác động lên một vật tại điểm o và làm cho vật đó di chuyển một quãng
đường 5 = 00' thì công A của lực F được tính theo công thức :
A = |fj.|ơơ'|cosộ? (h.2.8)
trong đó |f| là cường độ của lực F tính bằ
độ dài của vectơ 00' tính bằng mét (m), ộ?là góc giữa hai vectơ 00' và F , còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J).
1.
Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đom vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ F và 00'.
Định nghĩa
Cho hai vectơ a và ĩ) đều khác vectơ 6 . Tích vô hướng của a ■ và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định hởi công thức sau :
a.b = |ữ|. \ĩ>\cos(ữ, b).
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước ai = 0.
Ưồ" Chú ý
Với a và b khác vectơ 6 ta có a. b = 0 a Lb .
Khi a = ĩ> tích vô hướng a . a được kí hiệu là a và số này được gọi là
bình phương vô hướng của vectơ a .
-2 1-1 1-1 _ |-|2 Ta có a = |ữ|.|ớ|cosO =|ữ| .
Ví dụ. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH. Khi đó ta có (h.2.9)
AB.	AC = a. a. COS 60° = 4<32,
2
AC.	CB = Ỡ.ữ.cosl20° = --ị-ứ2,
2
	. 	(	/7
ÂH.BC = ^.ứ.cos90° =0.
2
Hình 2.9
Các tính chất của tích vô hưỏng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :
Với ba vectơ a , b , C bất kì và mọi số k ta có : a . b = b .a (tính chất giao hoán); ứ .(ĩ) + c)=a Ãb + a .C (tính chất phân phối);
Á.1
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?
(ka).b = k(a .b)- a.(kb); a >0, a = 0 ữ = 0.
ưng dụng. Một xe goòng chuyển động từ A đến B dưới tác dụng của lực F. Lực F tạo với hướng chuyển động một góc a, tức là (F, Aổ ) = (X (h.2.10).
Hình 2.10
Lực F được phân tích thành hai thành phần Fị và F2 trong đó Fị vuông góc với AB, còn F2 là hình chiếu của F lên đường thẳng AB. Ta có F = Fị+F2. Công của lực F là = F.AB = (F\ + FƯ).AB =
= ỈỊ.Ãb+ĩỊ.ãb - ĨỊ.ÃB.
Như vậy lực thành phần Fj không làm cho xe goòng chuyển động nên không sinh công. Chỉ có thành phần F2 của lực F sinh công làm cho xe goòng chuyển động từ A đến B.
Công thức F .AB là công thức tính công của lực F làm vật di chuyển từ A đến B mà ta đã biết trong vật lí.
Biểu thúc toạ độ của tích vô hưóng
Trên mặt phẳng toạ độ (ớ ; ỉ , j ), cho hai vectơ a = (ttj; ư2), b = (ỜJ; ồ2). Khi đó tích vô hướng a. b là :
a .b - ũịbị + a2b2.
Thậtvậy a.b = (ưp'+ ữ2ỹ). (ỏị/+ ố2ý)
-2	->2	,-*7,77
- aỵbỵi +a2b^j + aỵt>2'i ‘j+ a-zby.j .ỉ.
^2 72 , x 7 7 7 7
Vì i = j = 1 và Z. 7' = 7'. Z = 0 nên suy ra :
a .b = aịbỊ + a2b2.
Nhận xét. Hai vectơ a = (ữj; đ2), b = (ỜJ; z?9) đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi
ữ1ỏ1 + đ2ồ2 = 0.
^2 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm /1(2 ; 4), fi(1; 2), C(6 ; 2). Chứng minh rằng ÃBlẦC.
ứng dụng
Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ a = (a J; <7Ọ) được tính theo công thức :
|ứ| = ựơỊ2 + aị .
x	|—*|^ —*2 “*	9 9
Thật vậy, ta có |ốz| = a = a.a = dỵCiỴ + 6Z2^2 “ a\ + a2 •
Do đó |ư| - ựữ2 +«2 ■
Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (<2| ; «2) và b- (Z?| ; /?2) đều khác 0 thì ta có :
™ M M - JL - __Vl±£A	
Vậy (ỠM, ỠV) = 135°.
Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A(xa ; yA) và B(xb ; yfì) được tính theo công thức :
AB - yỊ(xB~xA^2 + <Jb -yA? •
Thật vậy, vì AB = (xB -XA ; yB - yA) nên ta có
Â5 = UI = ỵỊ(xB-xA)- + (yB -yAỴ .
Ví dụ. Cho hai điểm M{-2 ; 2) và 7V( 1 ; 1). Khi đó MN = (3 ; -1) và khoảng cách MN là : [mn\ = ự32+(-l)2 = 7ĨÕ.
Câu hỏi và bài tạp
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng ÃB.ÃC, AC.CB.
Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB - b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp :
Điểm o nằm ngoài đoạn AB ;
Điểm o nằm trong đoạn AB .
Cho nửa đường tròn tâm 0 có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại ỉ.
Chứng minh AI. AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA ;
Hãy dùng kết quả câu a) để tính Al.AM + BI.BN theo R.
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm /4(1 ; 3), z?(4 ; 2).
Tìm toạ độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA - DB ;
Tính chu vi tam giác OAB ;
Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau :
a = (2 ; -3), b = (6 ; 4);
a = (3 ; 2), b = (5 ; -1);
a = (-2 ; -273 ), £ = (3 ; 73 ).
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho bốn điểm A(7 ; -3), B(8 ; 4), C( 1 ; 5), D(0 ; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm Â(-2 ; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc toạ độ o. Tìm toạ độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c.