Giải Toán 11: Bài tập ôn chương II

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG n
Bài 1
Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phảng.
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau.
(AEC) và (BFD); (BCE) va (ADF).
Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM VỚI mặt phẳng (BCE).
Chứng minh hai đường thẳng AC và BF là hai đường thẳng không cắt nhau.
Giải
Gọi G = AC n BD; H = AE n BF Ta có (AEC) n (BFD) = HG.
Tương tự đặt I = AD n BC;
K - AF C! be
Ta có: (BCE) n (ADF) = IK.
Trong (AIK) gọi N = AM n IK.
Ta có: N - AM n (BCE).
mặt phẳng. Điều này trái với giả thiết.
Nếu AC và BF cắt nhau thì hai hình thang đã cho cùng nằm trên một
Bài 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N và p theo thứ tự là trung điểm của đoạn SA, BC và CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi nó cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Gọi 0 là tâm của hình bình hành, hãy tìm giao điểm của đường thẳng Sỏ với mặt phảng (MNP).
Giải
Gọi E = ABn NP; F = AD n NP;
R = SB n ME;
Q = SD n MF
Thiết diện là ngũ giác MQPNR.
ĐặtH = NP n AC;
I = SO n MH
Ta có I = SO n (MNP)
Bài 3	
Cho hình chóp đỉnh s có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và sc.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Giải
Đặt E = AD n BC.
Ta có (SAD) n (SBC) = SE
Đặt F = SE n MN, p = SD n AF. Ta có p = SD n (AMN).
Thiết diện là tứ giác AMNP.
Bài 4
Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, c, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ỏ' cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng( 3) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A, B’, C’ và D’.
Chứng minh (Ax, By) // (Cz, Dt).
Gọi I = AC n BD, J = A’C’ n B’D’. Chứng minh IJ // AA’.
Cho AA’ = X, BB’ = y, CC’ = z. Hãy tính DD’.
Giải
Học sinh vẽ hình.
Ax // Dt và AB // CD => (Ax, By) // (Cz, Dt)
IJ là đường trung bình của hình thang AA’CC’ nên IJ // AA’
DD’ = X + z — y.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II
1.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chung song song với nhau.
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phảng thì song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phảng còn lại.
2.
3.
Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó
Đồng quy;	(B) Tạo thành tam giác;
Trùng nhau;	(D) Cùng song song với một mặt phẳng.
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng(ABD) và (IJK) là
(A)
(B)
(C)
(D)
KD;
KI;
Đường thẳng qua K và song song với AB; Không có.
4.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu hai mặt phảng (a ) và (3) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (a ) đều song song với (3).
Nếu hai mặt phẳng (a) và (3) song song với nhau thì mọi đường thắng nằm trong (a ) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong (3 )•
Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (a) và (3) thì (a ) và (3) song song với nhau.
Qua một điểm nằm ngoài mặt phảng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phảng cho trước đó.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. E là điểm trên cạnh CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diẹn ẤBCD là:
Tam giác MNE.
Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD.
Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC.
Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I,
J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Thiết diện tạo bởi mặt phang (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là
Tam giác cân;
Tam giác vuông;
T. (C) Hình thang;
(D) Hình bình hành.
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẩng( a ) song song với (SIC). Dùng giả thiết trên trả lời các câu 7, 8 sau đây:
Thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện SABC là
Tam giác đều; Hình thoi.
Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm AB, M là một điểm di động trên
(C)	3x(l + 73 );	(D)	Không	tính	được.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz lần lượt là các đường thẳng song song với nhau đi qua B, c, D và nằm về một phía của mặt phẳng(ABCD), đồng thời không nằm trong mặt phẳng(ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B’, C’, D’ với BB’ = 2, DD’ = 4. Khi đó CC’ bang
(A)	3;	(B) 4;	(B)	5;	(D) 6.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phảng thì không chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SÁB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mật phảng (a) song song với (SBC). Dùng giả thiết trên trả lời các câu 11, 12.
Thiết diện tạo bởi (ct) và hình chóp S.ABCD là hình gì?
Tam giác;	(B) Hình bình hành;
Hình thang;	(D) Hình vuông.
Gọi N, p, Q lần lượt là giao của mặt phảng (a ) với các đường thẳng CD, DS, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là
Đường thẳng;	(B) Nửa đường thẳng;
Đoạn thẳng song song với AB; (D) Tập hựp rỗng.
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II
1.(0; 2.(A); 3.(0; 4.(A); 5.(D); 6.(D);
(A); 8.(B); 9.(D); 1O.(A); 11.(0; 12.(0.
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT THAM KHẢO
cuối CHƯƠNG n
ĐỀ 1 (45 phút)
Câu 1. (2 điểm)
Cho bốn điểm A, B, c, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các đoạn AD, BC. Chứng miĩih rằng IB và JA không nằm trong cùng một mặt phang.
Câu 2. (3 điểm)
Cho tứ diện SABC có E, F lần lượt là trung điểm của SB, AB. Lấy G là một điểm trên đoạn AC sao cho G khônậ trùng với trung điểm của AC. Gọi I là giao điểm của GF và mặt phang(SBC).
Chứng minh rằng I thuộc đường thẳng BC.
Xác định thiết diện tạo bởi (EFG) và tứ diện SABC.
Câu 3. (5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD và s là một điểm cố định nằm ngoài (ABCD). Gọi M là một điểm di động trên cạnh sc và (a) là mặt phảng đi qua AM và song song với BD.
Chứng minh (a ) luôn chứa một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh sc.
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (a ) với các cạnh SB, SD. Hãy xác định các điểm E, F.
Gọi I, J lần lượt là giao điểm của ME với BC và MF với CD. Chứng minh ba điểm I, J, A thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Câu 1. Ta dùng phương pháp phản chứng. Giả sử có một mặt phảng (a) chứa đồng thời IB và JA. Khi đó, ta có
IBc(a)
JAc(<x)
ÍT G (a)
[B e (a)
J e (a)
A G (a)
c e BJ c e (a.) BJ c (a)
D G AI „	. ~ .
=> D e (a)
AI (= (a)
Vậy A, B, c, D cùng thuôc (a ). Điều này vô lí vì A, B, c, D không cùng nằm trong một mặt phảng.
Câu 2.
a)
I G FG FG c (ABC)
I G (ABC)
I G (SBC)
I e BC.
=> I G (ABC)
I G (ABC) n (SBC)
Do EF // SA mà EF c (EFG) nên (EFG) // SA. Vậy (EFG) cắt hai mặt phảng (SAB) và (SAC) lần lượt theo hai giao tuyến EF và GH cùng song song với SA (H e SC). Ta có thiết diện là hình thang EFGH.
Câu 3.
(a ) song son^ với BD nên (a) sẽ cắt mặt phang (ABCD) (chứa BD) theo một giao tuyến A đi qua A (điểm chung) và song song với BD. Do A cố định và BD cố định nên A chính là đường thẳng cố định cần tìm.
Gọi I là giao điểm A với đường thẳng BC. Giao điểm của IM với SB chính là điểm E cần tìm.
Tương tự, gọi J là giao điểm A của đường thẳng CD. Giao điểm của MJ với SD chính là điểm F cần tìm.
Theo chứng minh trên I, A, J cùng thuộc A .
ĐỀ 2 (45 phút)
Câu 1. 63 điểm)
Cho hai mặt phảng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và đường thang b nằm trong mặt phẳng(Q). Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b.
Câu 2. (7 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác. Gọi o là giao điểm các đường chéo AC và BD của mặt đáy, M là điểm nằm trên đường chéo AC. Hãy vẽ thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M, song song với BD và song song với SA trong các trường hợp:
M là trung điểm AO;
M là trung điểm CO;
Giải thích rõ cách xác định giao tuyến của các mặt phảng đế’ vẽ thiết diện trên hình biểu diễn.
ĐÁP ÁN
Câu 1
Vì (P) // (Q) nên a và b không có điểm chung. Do đó chỉ xảy ra một trong hai khả năng:
a) Hoặc a và ồ đồng phẳng, khi đó a // ỏ;
Hoặc a và è chéo nhau.
Kí hiệu mặt cắt là mặt phẳng (a).
• Mặt phẳng (a) // BD nên mặt phảng (a) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến song song với BD.
Trong trường hợp a) giao tuyến là EF.
Trong trường hợp b) giao tuyến là KL.
Câu 2
Mặt phảng (a ) // SA nên cắt mặt phẳng(SAC) theo giao tuyến song song với SA.
Trong trường hợp a) giao tuyến đó là MjH (với H e SC),
Trong trường hợp b) giao tuyến đó là M2N (với N e SC).
• Trong trường hợp a) mặt phẳng( a) cắt các mặt phảng(SAB) và (SAD) lần lượt theo các giao tuyến EI và FG cùng song song với SA.
Trong trường hợp a) ta có thiết diện là ngũ giác EFGHI và trong trường hợp b) thiết diện là tam giác KLN
E. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I,
G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’ và A’B’C’.
Chứng minh (IGK)// (BB’C’C).
Chứng minh rằng (A’GK) // (AIB’).
Bài 2
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’. Một điểm p nằm trên cạnh bên DD’.
Xác định giao điểm Q của đường thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP).
Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?
Tìm giao tuyến của mặt phảng (MNP) với mặt phảng (ABCD) của hình hộp.
Bài 3
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai AM _ CN
cạnh AD và CC’ sao cho 777- = 7777.
•	MD NC
Chứng minh rằng đường thẳng MN song song vói mặt phẳng (ACB’).
Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phảng (ACB’).
Bài 4
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh rằng hai đường chéo AC’ và A’C cắt nhau tại một điểm M và hai đường chéo BD’ và B’D cắt nhau tại một điểm N.
Gọi E và F lần lượt là trung-điểm của hai đường chéo AC và BD ở đẩy.
Chứng minh MN = EF.
Bài 5	*
Trong mặt phẳng (a ) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ ra ngoài (a) các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz. Trên Ax lấy đoạn AA’ = a, trên By lấy đoạn BB’ = b, trên Cz lấy đoạn CC’ = c.
Gọi I, J, K lần lượt là các giao điểm B’C’, C’A’ và A’B’ với (a). Chứng
. ’ ’ IB JC KA minh rằng IC ' JA ' KB _ ■
Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh GG’ // AA’
Tính GG’ theo a, b, c.