Giải Toán 11: Vấn đề 3. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

O)ấn đề 3. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAÌ HÌNH BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
PHÉP DỜI HÌNH
Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, tức là với hai điểm M, N và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn luôn có M’N’ = MN.
Theo định nghĩa, phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép quay đều là phép dời hình.
Tính chất chung
Từ tính bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý của phép dời hình, ta suy ra các tính chất sau.
Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dòi hình thì được một phép dòi hình
Phép dời hình
Biến đường thẳng thành đường thẳng.
Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho, trong đó tâm đường tròn biến thành tâm đường tròn.
IL KHÁI NIỆM VỀ HAI HÌNH BANG NHAU
“Hai hình H và H’ được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình f biến hình này thành hình kia”.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(—1; 3).
Chứng minh rằng các điểm A’(2; 3), B’(5; 4) và C’(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và c qua phép quay tâm o góc -90°.
Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o góc -90° và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A1B1C1.
Giải
Ta có ÕÃ_= (-3; 2), ,ÕÃ*’ =
(2; 3) và OA.OA1 = 0, từ đó suy ra góc lượng giác (OA;
OA’) = -90°. Mặt khác, OA =
OA’ = 7Ĩ3 . Do đó phép quay tâm o góc -90° biến A thành A’. Các trường hợp khác làm tưong tự.
Gọi Tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A^J-S), B1(5;-4), C/3;
-1) là đáp số cần tìm.
Bài 2
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, o, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK va FOIC bằng nhau.
Giải
Gọi G là trung điểm của OF. Phép đối xứng qua đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình thang BEGF.
Phép tịnh tiến theo vectơ EO biến hình thang BEGF thành hình thang FOIC. Nên ■ hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Bài 3
Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.
Giải
Gọi phép dời hình đó là F. Do F biến các đoạn thẳng AB, BC, tương tứng thành các đoạn thẳng A’B’, B’C’ nên nó cũng biến các trung điểm M, N của các đoạn thẳng AB, BC tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm M’, N’ của các đoạn thẳng A’B’, B’ơ. Vậy F biến các trung tuyến AM, CN của A ABC tương ứng thành các trung tuyến A’M’, C’N’ của A A’B’C’. Từ đó suy ra F biến trọng tâm G của A ABC là giao của AM và CN thành trọng tâm G’ của A A’B’C’ là giao của A’M’ và C’N’.
c. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh BC rồi vẽ CF song song với AE, F nằm trên cạnh AD. Hãy chỉ ra phép dời hình biến hình thang ABCF thành hình thang CDAE.
Giải
Phép đối xứng qua tâm của hình bình hành ABCD biến hình thang ABCF thành hình thang CDAE.
Bài 2
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là o. Hãy chỉ ra ít nhất hai phép dời hình biến hình bình hành ABOF thành hình bình hành CDOB.
Giải
Ta có thể chọn hai phép dời hình cần tìm, đó là:
Phép đối xứng trục ĐOg;
Phép quay Q5120° (lưu ý phép quay âm hay dương phụ thuộc vào cách đánh dấu thứ tự các đỉnh A, B, ..., F).
Bài 3
Trong mặt phẳng Oxy cho hai phép dời hình liên tiếp biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) được, thực hiện như sau:
Phép tịnh tiến theo vectơ ũ = (1; -3) biến M thành Mx. Phép đối xứng tâm 1(0; 2) biến Mx thành M’.
Hãy tính tọa độ của M’ theo tọa độ của M.
Giải
Giả sử Mx(xx; yx), do Mx = Tu (M), với U = (1’; -3)
f Xj = X + 1 nên ta có 5	„
lYi = y - 3
Do M’ = ĐX(MX), với 1(0; 2) nên |y, - - _ y + 3 |y, ” ly Ị 7 Ta có tọa độ của M’ là (-X -1; -y + 7).
Bài 4
Cho hai điểm 0 và O’. Một phép biến hình cho tương ứng mỗi điểm M với một điểm M’ được xác định như sau:
Lấy Mx là ảnh của M qua phép đối xứng tâm o rồi vẽ hình bình hành MjOO’M’.
Hỏi phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ theo quy tắc như trên có phải là một phép dời hình hay không? Vì sao?
Giải
Phép đối xứng tâm o biến M thành Mj. Phép tịnh tiến theo vectữ 00' biến Mx thành M’. Vậy phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M’.
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước (cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau.
Bài 2
Các điều kiện sau đây có phải là điều kiện đủ để hai hình tú’ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau hay không?
Có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau (AB = A’B’, BC = B’ơ, CL' = C’D’, DA = D’A’).
Có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau (chẳng hạn AC = A’C’)..
Có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứtig bằng nhau.
Bài 3
Đa giác lồi n cạnh gọi là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau. Chứng tỏ rằng hai n-giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau.
Bài 4
Trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai parabol (P) và (P’) lần lượt có phương trình y = ax2 và y = ax2 + bx + c (a * 0). Chứng minh rằng hai parabol đó bằng nhau.
Bài 5
*
Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau.
Bài 6
Trong mặt phảng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm 1(1; 2) và phép tịnh tiến vectơ V = (-2; 1)