Giải Toán 11: Vấn đề 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

■<)(m đề 2.. HAI ĐƯỜNG THẮNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THANG TRONG KHÔNG GIAN
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có bôn trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b:
a và b cắt nhau tại điểm M, ta kí hiệu a n b = M;
a và b song song với nhau, ta kí hiệu a // b hoặc b // a;
a và b trùng nhau, ta kí hiệu a = b;
a và b chéo nhau.
n. CÁC ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT
Trong không gian, qua một điểm không thuộc một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc song song với nhau. (Ta gọi là định lí về giao tuyến của ba mặt phảng.)
Hệ quả
Nếu hai mặt phảng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ
Hoặc, song song với hai đường thẳng đó;
Hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Trong phần này cần chú ý các dạng toán cơ bản sau đây:
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
Giả sử cần chứng minh hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta có thể dùng phương pháp phản chứng bằng cách giả sử a và b không chéo nhau, tức là tồn tại một mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng này. Từ đây dùng suy luận đề đưa đến điều mâu thuẫn.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song
Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta có thể dùng một trong các cách sau đây:
Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng minh hai' đường thẳng song song trong hình học phang.
Chứng minh chúng cùng song song đường thẳng thứ ba.
Dùng tính chất: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng ấy.
Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
c. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1
Cho tứ diện ABCD. Gọi p, Q, R và s là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm p, Q, R và s đồng phẳng thì
Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Giải
Gọi a là mặt phảng chứa p, Q, R, và s. Ba mặt phảng (a), (DAC) và (BAC) có ba giao tuyến là SR, PQ và AC. Như vậy SR, PQ và AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
a)
b)
A
p
B
B
D
D
Lí luận tương tự, ta có PS, RQ và BE hoặc đôi một song song hoặc đồng quy (hình a, b, c)
Cho tứ diện ABCD và ba điểm p, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm s của mặt phảng (PQR) với cạnh AD nếu:
PR song song với AC;
PR cắt AC.
Giải
Nếu PR // AC thì (PQR) n AD = s với QS // PR // AC (hình a).
Gọi I = PR n AC. Ta có (PRQ) n (ACD) = IQ. Gọi s = IQ n AD. Ta có s = AD n (PQR) (hình b).
Bài 3
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phảng (BCD);
Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N.
Chứng minh GA = 3GA’.
Giải
'AA' c (ABN) MM 7/AA'
=> MM’ c (ABN)
a) Gọi A’ = BN n AG Ta có A’ = AG n (BCD)
Ta có B, M’, A’ là điểm chung của hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) nên B, M’, A’ thẳng hàng.
Trong tam giác NMM’, ta có:
G là trung điểmNM
GA 7/ MM ’
Tương tự trong tam giác BAA’, ta có:
M là trung điểm BA ' MM 7/AA'
Vậy BM’ = M’A’ = A’N.
=> A’ là trung điểm NM’.
=> M’ là trung điểm BA’.
c)
GA' = ịMM’ 2
MM'
■AA'
GA’ = 4 AA’ GA = 3GA’. 4
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình bình hành.
Tìm giao tuyến của hai mặt phảng: (SAB) và (SCD).
SM
SA
Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MBC), trong đó
điểm M ở giữa hai điểm s và A sao cho
Bài 2
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, p là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng AB; p, Q là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NP, và vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ.
Bài 3
Cho tứ diện ABCD và ba điểm p, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm s của mp(PQR) với cạnh AD nếu: a)PR//AC.	b) PR cắt AC.
Bài 4
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC. M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.
Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD).
Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d và K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm AD).
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).
Cho hìrih chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, sc và SD.
Chứng minh rằng ME // AC, NF // BD.
Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, MF và so (O là giao điểm của AC và BD) đồng quy.
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Bài 6
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:
Bốn điểm M, N, E, F đồng phảng.
Tứ giác MNEF là hình thoi.
Ba đường thẳng ME, NF và so đồng quy (O'là giao điểm của AC và BD).
Bài 7
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.
Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mp(IJE).
Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi.
Bài 8
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD. E là trung điểm của CB.
Chứng minh rằng MN // BD.
Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE).
Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH // BD.
Bài 9
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh CD và AB.
Hãy xác định điểm I £ AC, J £ DN sao cho IL // BM.
Tính độ dài đoạn thẳng IJ theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O là giao điểm của BD và AC).
Tìm giao điểm I của SD và mặt. phẳng (AMN).
SI
Tính tỉ sô .