Giải Toán 11: Vấn đề 1. Phép tịnh tiến

CHƯƠNG I
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ,ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHĂNG
roấ,i đề í. PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỊNH NGHĨA
Cho vecto' V. Phép tịnh tiến theo vectơ V, kí hiệu là Tọ , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’ xác định, sao cho MM' = V. Vecto' V được gọi là vectơ tịnh tiến.
M'
Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến của nó.
Khi vectơ tịnh tiến là vectơ - không thì ta có Tộ(M) - M với mọi M.
Vậy phép tịnh tiến Tõ là một phép đồng nhất.
n. BÉẼU THỨC TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng Oxy cho M(x; y), v(a; b). Gọi M’(x’; y’) = T-(M).
Khi đó:
X
,y
ni. TÍNH CHẤT
Phép tịnh tiến
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng;
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
Biến một đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính của đường tròn đã cho.
B. CÁC DẠNG TOÁN cơ BẢN
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến
Phương pháp giải:
Dùng định nghĩa lioặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Dạng 2: Áp dụng phép tịnh tiến dựng hình
Phương pháp giải:
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép tịnh tiến.
Dạng 3: Áp dụng phép tịnh tiến tìm quỹ tích c. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài -I
Chứng minh rằng: M’ = T- (M) M = T_- (M’).
Giải
M’= T-(M) o MM'= V o M'M = -v oM= T-(M’).
Bài 2
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vecto' AG. Dựng điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.
Giải
Dựng các hình bình hành ABB’C và ACC’G. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vecto’ AG là tam giác GB’C’. Dựng điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó DA = AG.
Do đó T— (D) = A
Bài 3
Trong mặt phảng tọa độ Oxy cho vectơ V - (-1; 2),	A(3; 5),
B(-l; 1) và đường thẳng d có phương trình X - 2y + 3 = 0.
Tìm tọa độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo V.
Tìm tọa độ của điểm c sao cho A là ảnh của c qua phép tịnh tiến theo V.
Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo V.
Giải
T-(A) = (2; 7), T-(B) = (-2; 3)
c = T -(A) = (4; 3).
Cách 1
Gọi M(x; y), M’ = T- (M) = (x’; /). Khi đó x’ = X - 1, y’ = y + 2 hay X = x’ + l,y = y’-2.
Ta có Med x-2y + 3 = 0
o (x’ + 1) - 2(y’ - 2) + 3 = 0 o x’ - 2y’ + 8 = 0
 M’ e d’ có phương trình X - 2y + 8 = 0.
Vậy d’ có phương trình X - 2y + 8 = 0.
Cách 2
Gọi T- (d) = d’. Khi đố d’ // d nên phương trình của nó có dạng X - 2y
+ c = 0.
Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1; 1), khi đó T- (B) = (-2; 3) thuộc d’ nên -2 - 2.3 + c = 0. Từ đó suy ra c = 8.
Bài 4
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
Giải
V
Lấy hai điểm A và B bất kì theo thứ tự thuộc a và b. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ AB sẽ biến a thành b.
Đáp số: Có vô số phép tịnh tiến biến a thành b.
D. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho V = (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x — 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua T- .
Giải
f X1 — X	2
Từbĩểuthứctọađộcủa T-: J	suy rax = x’ + 2, y = y~ 3. Thay
ly = y + 3
vào phương trình của d ta được 3(x’ + 2) - 5(y’ - 3) + 3 = 0 Hay 3x’ - 5y’ + 24 = 0. Vậy phương trình của d’ là 3x - 5y + 24 = 0
Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình X2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ V = (-2; 3)
Giải
x’2 + y’2 + 2x’	- 2y’ - 7 = 0
	(x’ + l)2 + (y’ - l)2 = 9.
Do đó (ơ) có phương trình: (x + l)2 + (y - l)2 = 9
Bài 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-l; -1), B(3; 1), C(2; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Giải
Xem D(x; y) là ảnh của c qua phép tịnh tiến theo vectơ BA = (-4; -2). Từ đó suy ra X = 2 - 4 = -2; y = 3 - 2 = 1.
Bài 4
Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau và hai điểm A và B không thuộc hai đường thẳng đó, sao cho đường thẳng AB không song song với d và d’. Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên d’, sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành.
Giải
Giả sử ta dựng được hình bình hành ABMM’ thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Vì tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên MM' - BÃ, tức là M’ = Tg^M). Mặt khác,
M’ nằm trên d’ nên M’ là giao điểm của d’ và d” với d”= Tgà (d). Vậy M’ đã được xác định.
Do đó điểm M cũng xác định vì M e d và
M' M = AB . Vẽ d” = Tgà (d) và M’ là giao điểm của d” và d’. Dựng hình
bình hành M’ABM ta suy ra điểm M .thuộc d. Ta có tứ giác ABMM’ là hình bình hành thỏa mãn các điền kiện của bài toán.
Bài 5	
Cho hai điểm phân biệt B và c cố định trên đường tròn (O) tâm o. A là điểm di động trên (Ọ). Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác ABC.
Giải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trurig điểm của BC.
Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì BCD = 90°, nên DC // AH. Tương tự AD // CH. Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành. Từ đó suy ra AH = DC = 2OM . Ta thấy rằng OM không đối. Nên có thể xem H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vecto' 2OM. Do đó khi A chạy trên đường tròn (O) thì H chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ 2OM.
Bài 6	
Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm o bán kính r không cắt đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (C).
Giải
Do ABMM’ là hình bình hành nên BA = MM'. Tứ đó suy ra M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vecto' BA. Từ đó suy ra quỹ tích M’ là đường tròn (ơ), ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ BA.
Bài 7
Trên đường tròn tâm o bán kính R cho 2 điếm cố định A và B và một điểm M di động. Gọi H là trực tâm AAMB, c là trung điểm của đoạn AB và D là điểm đối xứng của M qua tâm 0.
Chứng minh AHBD là hình bình hành.
Gọi I là trung điểm của đoạn MH. Tìm tập hợp các điểm I và tập hợp các điểm H khi M di động trên đường tròn ngoại tiếp ÁABC .
DB 1 MB Ị a- AH 1 MBJ
Giải
DB // AH
DA 1 MA BH 1 MA
DA//BH
Vậy AHBD là hình bình hành, b. Ta có CA = CB => CH = CD,
vì AHBD là hình bình hành.
Tam giác MHD có oc là đường trung bình nên MH = 2OC.
K D
Do đó MÌ = Õc cố định. Vậy I là ảnh của M trong phép tịnh tiến theo
vectơ OC . Vì M chạy trên đường tròn (O; R) nên I chạy trên đường tròn
tâm c bán kính R. Chứng minh phần đảo dành cho người đọc.
Bài 8
Trên đường thẳng d cố định lấy một điểm B cố định và A là điểm thay đổi trên d. Dựng tam giác cân ABM (MÀ = MB) mà đường tròn ngoại tiếp tam giác có bán kính R không đổi. Tìm quỹ tích điểm M.
Giải
Gọi o là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. OM 1 d Dựng vẹctơ BN = ỐM	M
Ta có:	BN - OM = R không đối	/^7
BN 1 d	{	/
\ A
\ A \
Và có B cố định suy ra BN là vectơ cố định. Xét phép tịnh tiến TgN:
( / 0'
Điểm 0 biến thành điểm M
A^-J
	^B
Và do OB = R không đối nên o thay đổi trên
đường tròn tâm B bán kính R.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn (N, R) ảnh của đường tròn (B, R) qua phép tịnh tiến TB5j (trừ ra các giao điểm với đường thẳng d) và đường tròn (N’; R) đối xứng đường tròn trên qua đường thẳng d, với N’ là điểm đối xứng của N qua D.
(Do có thể chọn vecto' tịnh tiến là BN hoặc BN').
E. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho V = (2; -1), M - (3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:
A = T-(M);
M= T-(A).
Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phưong trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo phương song song vói trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.
Bài 3
Qua phép tịnh tiến T theo vectơ ũ * õ, đường thẳng d biến thành đường'thẳng d’. Trong trường hợp nào thì d trùng d’; d song song với d’; d cắt d’?
Bài 4
Cho hai đường thẳng song song a và a’. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a’.
Bài 5
Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song. Gọi Đị và Đ2 lần lượt là các phép đối xứng trục qua dj và d2. Với điềm M bất kì, giả sử Đ/M) = ML và Đ2(Mj) = M2. Chứng minh rằng phép biến hình biến M thành M2 là một phép tịnh tiến.
Bài 6
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = ax2. Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ ũ = (m, n) và (P’) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến đó. Hãy viết phương trình của (P’).
Bài 7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình X2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ V = (-2; 5)
Bài 8
Cho hai đường tròn cố định (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là giao điểm. Một đường thẳng (d) di động qua A và gặp lại hai đường tròn trên tại M và N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B và c sao
cho BA = AC = “ .
, 2
Tìm tập hợp các điểm B và c.