Giải Toán 11: Vấn đề 3. Đường thẳng song song mặt phẳng

đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHANG
SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THANG và mặt phang
Giữa đường thẳng d và mặt phảng ot ta có ba vị trí tương đối như sau:
d và a cắt nhau tại M, kí hiệu d n a = {M}; .
d song song a , kí hiệu d // a hay a // d;
d nằm trong a , kí hiệu d c a .
n. ĐỊNH Ú VÀ TÍNH CHAT
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phảng a và d song song với đường thẳng d’ nằm trong a thì d song song với a .
d <z a
• d//d' =>d//a. d' c a
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng a . Nếu mặt phẳng p chứa d và cắt ct theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.
d//a
.pod => d//d’. p n a = d' '
Nếu hai mặt phẳng a và p cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d thì giao tuyến d’ của a và p cũng song song với d.
a//d
-p//d	=> d//d'.
a n p = d'
Với hai đường thẳng chéo nhau dx và d2 có duy nhất một mặt phẳng a chứa dx và song song với d2.
ơ. ũ dj a//d2
dj và d2 chéo nhau thì có duy nhất mặt phẳng ot: •
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Trong phần này cần chú ý các dạng toán cơ bản sau đây:
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phổng.
Để chứng minh đường thẳng a song song vói mặt phẳng (P) (a không nằm trong (P)) ta chứng minh a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P).
Dạng 2: Dựng thiết diện song song với đường thẳng
Ta có thể dùng tính chất sau:
Nếu một mặt phẳng (a ) song song với đường thẳng d thì (a ) sẽ cắt những mặt phẳng chứa d (nếu có) theo các giao tuyến song song với d.
c. GIẢI BẢI TẬP SÁCH GIÀO KHOA
Bài 1
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là o và O’.
Chứng minh rằng đường thẳng 00’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
Gọi 'M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).
Giải
a) Ta có
và
b) Ta có tứ giác EFDC là hình bình hành, suy raEDc (CEF).
IM IN 1
E
c
D
ta có
ID IE 3
• Vậy MN // ED mà ED c (CEF) => MN // (CEF).
Bài 2
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (a) là mặt phảng qua M song song với AC và BD.
Tìm giao tuyến của (a) với các mặt phảng của tứ diện.
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phảng (a) là hình gì?
Giải
Giao tuyến của (a) với các mặt của tứ diện
là các cạnh của tứ giác MNPQ có:
MN // PQ // AC và MQ // NP // BD.
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) với tứ diện là hình bình hành.
Bài 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi o là giao điểm của hai đường thẳng chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phảng (a ) đi qua o, song song với AB và sc. Thiết diện đó là hình gì?
Giải
(a)//AB
AB c (ABCD)	=> AB // MN
MN = (a) n (ABCD)
(a)//sc
sc c (SBC) => sc 11 MQ MQ = (a) n (SBC)
'(a)//AB
AB c (SAB) => AB // PQ PQ = (a) n (SAB)
Do đó MN // PQ => tứ giác MNPQ là hình thang.
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điếm của AD. Trên tia CI lấy điểm K sao cho I là trung điểm của CK. Chứng minh:
1/ AK // mp (BCD)
2/ DK // mp (ABC)'
Bài 2
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, p lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, BCD, CDA. Chứng minh:
1/ MN // mp (ABD)
2/ NP // mp (ABC)
Bài 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm 0. M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng với hình chóp
S.ABCD nếu qua mặt phẳng M và đồng thời song song với sc và AD.
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
Tìm giao tuyến của hai mặt phảng (SAD) và (SBC).
Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD).
Chứng minh rằng MG // (SCD).
Bài 5
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB (M khác A và B). Giả sử (P) là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng cắt AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?
Bài 6
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp (BCD).
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC).
Bài 7
Cho tứ diện ABCD. Có thế’ cắt tứ diên bằng một mặt phảng để:
Thiết diện là hình thang?
Thiết diện là hình bình hành?
Thiết diện là hình thoi?
Bài 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi, o là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua o, song song với AB và sc. Hỏi thiết diện đó là hình gì?
Bài 9	.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điếm M của cạnh AB song song với BD và SA.
Bài 10
Cho hình chóp S.ABCD với M, N là hai điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi (a ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA.
1/ Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a ) với các mặt phảng (SAB) và
(SAC).
2/ Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phảng (a ).
3/ Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Bài 11
Cho tứ diện ABCD. Vẽ trung tuyến CK. Một mặt phảng (a) bất kì song song với AB và CK đi qua M trên BC, cắt các cạnh BD, AD, AC tại N, p, Q
1/ Chứng minh MNPQ là hình thang.
2/ Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP.
Bài 12
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AD không song song với BC. Một mặt phảng bất kì song song với SA và AB đi qua điểm M trên AD , cắt BC, sc, SD tại N, p, Q.
1/ Chứng minh MNPQ là hình thang.
2/ Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP
Bài 13
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng
bất kì song song với SD và BC đi qua điểm M trên AB cắt DC, sc, SB tại N, p, Q.
1/ Tứ giác MNPQ là hình gì?
2/ Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP.