Giải Toán 11: Vấn đề 4. Phép vị tự

(tề 4. PHÉP VỊ Tự
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. ĐỊNH NGHĨA
Cho điểm I cố định và một số k * 0. Phép vị tự tâm I tĩ số k, kí hiệu là Vjk, là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
ĨÃT = k.ĨM
n. BIỂU THỨC TỌA Độ
Trong mặt phẳng Oxy, cho Kxqỉ y0), M(x; y), gọi M’(x’; /) = Vjk (M) thì x' = kx + (1 - k)x0 y' = ky + (1 - k)y0
UI. TÍNH CHẤT
Giả sử M’, N’ theo thứ tự là ảnh của M, N qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó
M'N' = k.MN ,	b) M’N’ = |k| .MN
Phép vị tự tỉ số k
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng;
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho;
Biến một đường tròn có bán kính r thành đường tròn có bán kính |k| r.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Anh của A, B, c qua phép vị tự V ! lần lượt là trung điểm của các cạnh HA, HB, HC.	’ '	(H’Ế)
M
Có hai tâm vị tự là o và O’ tương ứng với các tỉ số
vị tự là —— và -	.
• • R R
\ M" /
Bài 3
Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm o sẽ được một phép vị tự tâm o.
Giải
Vói mỗi điểm M, GọiM’ = V(0 k)(M), M”= V(0 p/M1). Khiđó OM' = kÕM, OM" = pOM' = pkOM . Từ đó suy ra M” = V(0 pk,(M). Vậy thực hiện liên tiếp hai phép vị tự V(0 k) và V(0 p) sẽ được phép vị tự V(O pk).
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1
Cho tam giác ABC có hai đỉnh là B và c cố định, còn đỉnh A di động trên đường tròn (O) cho trước. Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC.
Giải
Gọi I Ịà trung điểm của BC. Ta có I cố định. Nếu G là trọng tâm của
AABC thì IG = i IA • Vậy G là ảnh của A qua phép vị tự y 3 .
Tập hợp điểm A là đường tròn (O) nên tập hợp điểm G là đường tròn 1
(O’), đó chính là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự y 3.
Bài 2
Trong mặt phảng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đường thẳng d đi qua A có hệ số góc bằng 1. Gọi B là điểm di động trên d. Gọi c là điểm sao cho tứ giác OABC là một hình bình hành. Tìm phương trình tập hợp:
Các tâm đối xứng I của hình bình hành.
Các trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
a) Đường thẳng AB qua A(-2; 2) và có hệ số góc bằng 1 nên có phương trình y - 2 = l(x + 2) y = X + 4.
Vậy khi B chạy trên đường thẳng d thì I chạy trên đường thẳng d’ song
song với d và đi qua trung điểm M(— “; 1) của đoạn OA. Vậy ta có phương trình d’ là X - y + 2 = 0.
X - y + 2 = 0'
Bài 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (‘ặ) có phương trình X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
Viết phương trình đường tròn (‘ặ7’) là ảnh của (‘ệ) qua phép vị tự có tâm là gốc tọa độ, tỉ số vị tự là k = 2.
Giải
Đường tròn () có tâm 1(1; 1) và bán kính R = 2.
Đường tròn (<«F’) có tâm I’ = Vq (I) nên Xj’ = 2.1 + (1 - 2).o = 2 y/ = 2.1 + (1 - 2).o = 2, suy ra Ị’(2; 2).
Bán kính của (SF) là R’ = 2.R = 2.2 = 4. Vạy (^”) có phương trình (x - 2)2 + (y - 2)2 = 16
Bài 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d đi qua A(0; 1) và B(-3; 0). Tìm phép vị tự để ảnh của d qua phép vị tự đó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
Giải
Gọi A’ là điểm có tọa độ (0; 3)..Ta có OA' = 3OA . Vậy phép vị tự cần tìm là phép vị tự tâm 0(0; O) tỉ số 3.
Bài 5
Giải
Cho hai đường tròn (^), (^) và cắt nhau, có một giao điểm là A. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A cắt (‘ệ’) ở M và cắt (^) ở N, sao cho M là trung điểm của AN.
Giả sử đã dựng được đường thẳng d, ta có AN = 2AM. Vậy N là ảnh của M qua phép vị tự VẲ • Vì M e Cệ’) nên N e (^ị) là ảnh của (^) qua V2. Do đó N là giao điểm của c^) và (‘ỹ’).
Dựng đường tròn (^j) là ảnh của (tễ7) qua VẨ
Xác định giao điểm của c^) và (^), đó chính là N.
Đường thẳng d cần dựng chính là AN.
Bài 6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình (x - l)2 + (y - 3)3 = 1 và (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4.
Xác định tọa độ tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó.
Viết phương trình các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đó.
Giải
Đường tròn (^) có tâm 0/1; 3), bán kính Rj = 1 Đường tròn (^) có tâm 0/4; 3), bán kính R2 = 2.
Gọi I là tâm vị tự ngoài của (Oj) và (02), ta có I02 = kĩch , với
k = Y = 2. Do đó Rj 1
x _ x02 ~ 2x01 _ 4 - 2.1 _ 2 1 1-2 -1
Yo2 ~ 2yoi	3 - 2.3
y' “ 1-2 ■ —- 3
Do đó I có tọa độ là (-2; 3).
Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn chính là tiếp tuyến kẻ từ I đến đường tròn (V).
Xét đường thẳng (A) đi qua I và có hệ số góc k,
(A ): y - 3 = k(x + 2) (A ): kx - y + 3 + 2k = 0.
(A ) tiếp xúc với (C) o d(Oj, A) = R o |3k| = Vk2 + 1
 k = ±-Ấ=
2V2
Vậy có hai tiếp tuyến chung ngoài của (Ỷ?) và ’) là:
y=±À(x+2,+s
Bài 7	
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Hãy dựng hình vuông MNPQ với M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC, còn p và Q nằm trên cạnh BC.
Giải
Vẽ AQ’ vuông góc với BC tại Q’.
Vẽ hình vuông AN’P’Q’
BN
BN'
Gọi N là giao điểm AC và BN’. Xét phép vị tự tâm B tỉ số k =
Phép vị tựVg biến tam giác vuông cân A N’P’ đỉnh N’ thành tam giác vuông cân MNP đỉnh N. Và biến tam giác vuông cân N’P’Q’ đỉnh P’ thành tam giác vuông cân NPQ đỉnh p. Vậy phép vị tự VB biến hình vuông AN’P’Q’ thành hình vuông MNPQ.
Vậy hình vuông MNPQ là hình vuông cần dựng.
Biện luận: Ta chỉ có một hình vuông AN’P’Q, nên chỉ có một điểm p và một điểm Q. Vậy bài toán có một nghiệm hình.
Bài 8
Cho đường tròn tâm o và điểm p nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến kẻ từ p cắt đường tròn tại M và N. Gọi I là trung điểm của dây cung MN.
Tìm tập hợp điểm I khi cát tuyến PMN quay quanh p.
Tìm tập hợp trung điểm của PI.
Giải
Vì I là trung điểm của MN nên OI 1 MN hay OI 1 PI. Do đó I nằm trên đường tròn đường kính PO
Gọi T và T’ là hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ p đến đường tròn. Khi cát tuyến PMN quay quanh p thì tập hợp các điểm I là cung tròn TOT’ của đường tròn đường kính PO.
Gọi J là trung điểm PI, ta có
ợ
Vì I chạy trên cung tròn TOT’ nên tập hợp các trung diêm J của PI là cung tròn KK, ảnh của cung TOT’ qua phép vị tự .
c. BÀI TẬP ĐÊ NGHỊ
Bài 1
Cho tam giác ABC với trọng tâm'G, trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp o. Chứng minh rằng GH = -2GO.
I PJ = ịpi, do đó J=v|(I).
Bài 2
Các khẳng định sau đây có đúng không?
Phép vị tự luôn có điểm bất động (tức là điểm biến nó thành chính nó).
Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động.
Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động.
Bài 3
Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường họp sau:
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau.
Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Một đường tròn chứa đường tròn kia.
Bài 4
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) ở N sao cho M là trung điểm của AN.
Bài 5
Cho đường tròn (0, R) và một điểm I cố định khác với 0. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.
Bài 6
Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O”) thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O’) lần lượt tại B và c. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7
Cho góc xOy và một điểm qua A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường tròn đi qua A và đồng thời tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy.
Bài 8
Cho hai đường tròn tâm o bán kính R và đường tròn tâm O’ bán kính R’ tiếp xức trong tại A (R > R’). Đường kính qua A cắt đường tròn (O) tại B và cắt (O’) tại c. Một đường thảng thay đổi đi qua A cắt (O) tại M cắt (O’) tại N. Tìm tập hợp giao điểm s của BN và CM. •
Bài 9
Cho tứ giác ABCD. A, B, D cố định, cạnh BC = a không đổi.
Tìm tập hợp trung điểm M của đường chéo AC.
Tìm tập hợp trung điểm p của đoạn thẳng MN nối hai trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
Bài 10
Cho hình thang ABCD có AB // CD và AD = a, DC = b còn A và B là hai đỉnh cố định. Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo.
Tìm tập hợp các điểm c khi D thay đổi.
Tìm tập hợp các điểm I khi c và D thay đổi.