Giải Toán 11: Vấn đề 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

CHƯƠNG n
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHANG trong
KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG
O)àa đề 1. ĐẠI CÚƠNG VỀ ĐƯỜNG THANG VÀ MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. CÁC TÍNH CHẤT
Tính chất 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 2: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì nó nằm trong mặt phẳng đó.
Tính chất 3: Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác nữa và do đó chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tính chất 5: Trên mỗi mặt phảng, các kết quả đã biết trong hình phảng đều đúng.
n. CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHANG
Một mặt phẳng được xác định bởi:
Ba điểm phân biệt không thẳng hàng;
Một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó;
Hai đường thẳng cắt nhau.
III. HÌNH CHÓP - TỨ DỆN
Hình chóp
Trong mặt phẳng (a) cho đa giác lồi AjA^.. An, lấy s là một điểm nằm ngoài (ot). Nối s với các đỉnh Ap A^.-.An ta được n miền tam giác SA^, SAgAg..., SAnAp Hình gồm miền đa giác A^... A,J và n miền tam giác SA1A2, SA2A3,...SA11A1 được gọi là hình chóp . Ký hiệu là S-A^.-An-
Tứ diện
Hình chóp có tất cả các mặt tam giác được gọi là tứ diện.
B. BÀI TẬP Cơ BẢN
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp
Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ta xác định hai điểm chung phân biệt A và B của hai mặt phảng ấy. Khi đó giao tuyến chính là đường thẳng AB.
Bài 1
Giải
Cho tain giác ABC và điểm s không thuộc mặt phảng (ABC). Gọi I là điểm trên đoạn SA và L là điểm nằm trên đường thẳng AC và nằm ngoài đoạn AC. Đường thẳng d đi qua L và cắt các đoạn AB, BC lần lượt tại M, K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I, d) với các mặt phẳng (SCA), (SAB) và (SBC).
Ta có I và M là hai điểm chung của (SAB) và (I, d) nên
(SAB)	n (I, d) = IM
Tương tự I và L là hai điểm chung của (SAC) và (I, d) nên
(SAC)	n (I,d) = IL.
Gọi N là giao điểm của IL và
sc. Ta có K và N là hai điểm	B
chung của (SBC) và (I, d) nên (SBC) n (I, d) = KN.
Bài 2	
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BPQ) và (DMN).
Giải
Trong tam giác ABD, các trung tuyến DM và BQ cắt nhau tại E. Trong tam giác BCD, các trung tuyến DN và BP cắt nhau tại F.
„ E e BQ c mp(BPQ)
Ta co: E G DM "Ẽ rhp(DMN) J
E Ễ mp(BQP) n mp(DMN) (1) Tương tự DN n BP = F
F G mp(BQP) n mp(DMN) (2) Từ(l), (2) suy ra:
mp(BPQ) n mp(DMN) = EF.
Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp
Giả sử cần xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phảng (P), ta thực hiện như sau:
+ Xác định mp(Q) chứa a và cắt mp(P).
+ Xác định b = mp(Q) n mp (P).
+ Trong mp (Q), xác định K = a n b thì K = a n mp(P).
Bài 1
Giải
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên các cạnh AB, AD với AI = |IB và AJ = I JD. Tìm giao điếm của đường thăng IJ với mặt phẳng (BCD).
Bài 2
Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AD. G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của:
1/ MN và mp(ABG)
2/ AG và mp(BMN)
Giải
1/ Do G là trọng tâm ABCD
=> BG cắt CD tại E.
Trong ÁACD, AE, cắt MN tại F.
Ta có: F G AE c mp(ABG)
F 6 MN
=> F = MN n mp(ABG)
2/ Trong mp(ABG), BF cắt AG tại K. Ta có:
K G AG
K G BF c mp(BMN)
K = AG n mp(BMN)
Bài 3
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD; G là trọng tâm tam giác SCD. Tìm giao điểm của:
1/ MG và mp(ABCD)
2/ BN và mp(SAG)
Giải
1/ Do M là trung điểm SA nên = — (1)
Trong ASCD, SG cắt CD tại E. Do G là trọng tâm tam giác SCD
(2)
SG 2 nên: SE - 3 Từ(l), (2) suy ra:
nên MG cắt AE tại F. Ta có:
K G MG
K G AE c mp(ABCD)
=> F = MG n mp(ABCD)
2/ Nối BD cắt AE tại I, trong tam giác SBD, nối BN cắt SI tại K.
K G BN	Ị
Ta có: K G SI cz mp(SAG)J
=> K = BNn mp(SAG)
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp:
Đế chứng minh 3 điểm A, B, c thẳng hàng ta chứng minh A, B, c là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt.
Bài 1
Cho ba điếm A, B, c không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt M, N, p. Chứng minh rằng M, N, p thẳng hàng.
Giải
Ta có M, N, p lần lượt thuộc về hai mặt phẳng (Q) và (ABC) nên M, N, p thuộc giao tuyến (d) của (Q) và (ABC)
Vậy M, N, p thẳng hàng.
Bài 2
Cho hình chóp S.ABCD. AC cắt BD tại o. Mặt phẳng (a) cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại Ap B1; Cp Dv Gọi I là giao điếm của A^! và BpDp Chứng minh s, I, o'thẳng hàng.
Giải
ì
'0 e AC c mp(SAC)
0 e BD c mp(SBD)
(1)
(2)
Do
I = A1C1 n BjDj suy
ra:
ì e AjCi c mp(SAC)
■(3)
I e BjDi c mp(SBD)
(4)
Do
s e mp(SAC), và
(5)
s e mp(SBD)
(6)
Ta có: o = AC n BD, suy ra:
Từ (1) - (6) suy ra: s, I, o là ba điểm chung ( .mi mặt phẳng (SAC) và (SBD), nên s, I, o thẳng hàng.
Dạng 4: Dựng thiết diện
Để xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (a ) ta thực hiện các bước sau:
+ Tìm hai điểm chung của mp( a) với từng mặt của hình chóp ta - được các đoạn giao tuyến.
+ Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giác cần tìm.
Thiết diện của hình chóp và mp( a) là đa giác thu được khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng đó.
Bài 1
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. p là điểm thuộc cạnh AD sao cho AP - — AD. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNP).	3
Theo bài ra:
Giải
AM _ 1 AP _
2	AM
AB " 2 ; AD "
3	AB
*
MP n BD = I
IN n BC - Q.
-
Nối NP, MQ. Ta có:
MP = mp(MNP) n mp(ABD);
PN = mp(MNP) n mp(ACD);
NQ = mp(MNP) n mp(BCD);
QM = mp(MNP) n mp(ABC).
AP
Do đó: Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(MNP) là tứ giác MPNQ.
Bài 2
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. M, N, p lần lượt là các điểm thuộc các
cạnh SA, CD, SB sao cho: SM = |sA; CN = |cD; SP = |sB.
4
Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNP).
Giải
s
Theo bài ra:
SM _ 1 ■ SP _ 3	SM SP
SA " 2 ’ SB - 4	SA * SB ’
nên MP cat AB tại I.
Nối IN cắt BC tại E và cắt AD tại K. Nối MK cắt SD tại F.
c. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng a chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điềm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC.
Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).
Giả sử EF và BC cắt nhau tại I. Chứng minh I là điểm chung của hai mặt phảng (BCD) và (DEF).
Giải
1. a) E, F G (ABC) => EF c (ABC) b) I G BC => I G (BCD).
I e EF => I e (DEF).
Bài 2
Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng a . Chứng minh M là điểm chung của a với bất kì mặt phẳng nào chứa d.
Giải
Hiển nhiên M e ct
ÍM e d
=> M e 3
• Gọi 3' là mặt phảng bất kì chứa d, ta có:
Vậy M là điểm chung của a và mọi mặt phẳng 3 chứa d.
Bài 3
Cho ba đường thẳng không cùng nằm trorỉg một mặt phẳng và cắt nhau đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Giải
Gọi dp d2 và d3 là ba đường thẳng đã cho. Gọi I = dj n d2. Ta chứng minh I G d3. Thật vậy
I G dị	I 6 p với p = (dp d3)
I G d 2=> I G Y với y = (d2, d3)
Từ đó suy ra I G d3.
Bài 4
Cho bốn điểm A, B, c và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, Gc và GD lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, ABD và ABC. Chứng minh rằng AGa, BGg, CGc và DGd đồng quy.
Giải
Gọi I là trung điểm của CD. Ta có GA e BI, GB G AI.
Gọi G = AGa n BGb. Dễ thấy =
và —=	= 3. Lí luận tương
tự, ta’CÓ CGc và DGd cũng cắt AGa lần
lượt tại G’ và G” và	= 3 ,
G Ga
2'^ = 3 Như vậy G s G’ = G”.
GHI CHÚ: Người ta gọi AGa, BGb, CGc và DGd là các đường trung tuyến và G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Bài 5
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phảng a có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. Gọi s là điểm nằm ngoài mặt phẳng a và M là trung điểm của đoạn sc.
Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB). Gọi giao điểm này là N.
Với 0 là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.
Giải
Đế tìm giao điểm của đường than chỉ rõ phương pháp như sau:
Tìm đường, thẳng d’ nằm trong
Ta có ngay I là giao điểm của c
Gọi E = AB n CD
Ta có: (MAB) n (SCD) = ME. Gọi N = ME n SD. Ta có
N = SD n (MAB).
Gọi I = AM n BN. Ta có
T = AM n BN AM £ (SAC)
‘ BN c (SBD)
(SAC) n (SBD) = so
Vậy 3 đường thẳng so, AM và B
d và mặt phẳng a , giáo viên nên
đồng quy
Bài 6
Cho bốn điểm A, B, c và D không cùng nằm trong một mặt phảng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm p sao cho BP = 2PD.
Tìm điểm chung của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)
Tìm giao tuyến của hai mặt phảng (MNP) và (ACD).
Giải
Bài 7
Cho bốn điếm A, B, c và D không đồng phẳng. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).
Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
Giải
(IBC) n (KAD) = KI
Gọi E = MD n BI; F = ND n CI Ta có EF = (IBC) n (DMN).
Bài 8
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm p không trùng với trung điểm của AD.
Giải
c
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng PD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD), b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC.
(MNP) n (BCD) = EN
Q = BC n EN.
Ta có BC n (PMN) = Q
Bài 9
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Trong mặt phảng (ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh sc.
Tìm giao điểm M của CD và mặt phảng (C’AE).
Tìm thiết diện của hình chóp cắ t bởi mặt phẳng (C’AE).
Giải
A
Gọi M = AE n DC.
Ta có M = DC n (ƠAE) b) Gọi F = MC’ n SD Ta có thiết diện cần tìm là tứ giác AEC’F
Bài 10
Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
Tìm giao tuyến của hai mặt phảng (SBM) và (SAC).
Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phảng (SAC).
Tìm giao điểm p của sc và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).
Giải
Gọi N = SM n CD,
Ta có N = CD n (SBM)
b) Gọi o = AC n BN
Ta có (SBM) n (SAC) = so
c) Gọi I = SO n BM
Ta có I = BM n (SAC)
d) Gọi R = AB n CD
p = MR n sc Ta có p = SC n (ABM)
=> PM = (SCD) n (AMB)
A
S
R