Giải Toán 11: Vấn đề 5. Phép đồng dạng

Oan đề 5. PHÉP ĐỒNG DẠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. ĐỊNH NGHĨA
Phép đồng dạng theo tỉ số k (k > 0) là phép biến hình sao cho nếu M’, N’ theo thứ tự là ảnh của M, N qua phép biến hình đó thì M’N’ = k.MN. Sô" k được gọi là tỉ số đồng dạng.
Hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
n. TÍNH CHẤT
Nếu thực hiện liền tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.
Phép đồng dạng tỉ số k
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng;
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng;
Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho;
Biến một đường tròn bán kính r thành đường tròn bán kính kr.
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1
Cho tam giác ABC. Dựng ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số 2 và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.
Giải
Gọi A’, C’ tương ứng là trung điểm của
BA và BC. Phép vị tự tâm B, tỉ số —
biến tam giác ABC thành tam giác A’BC’. Phép đối xứng qua đường trung trực của BC biến tam giác A’BC’ thành
tam giác A”CC’. Vậy ảnh của tam giác ẠBC qua phép đồng dạng đó là tam giác A”CƠ.
Bài 2
Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC, IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Giải
B	K L c
Phép đối xứng tâm I biến hình thang IHDC thành hình thang IKBA. Phép vị tự
tâm c tỉ số — biến hình thang IKBA
thành hình thang JLKI. Do đó hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Bài 3
Trong mặt phảng Oxy cho diễm 1(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o, góc 45° và phép vị tự tâm o, tỉ số 72 .
Giải
Chỉ cần dựng ảnh của I qua phép quay o, góc 45° là I’(0; 72 ), rồi dựng ảnh của I’ qua phép vị tự tâm o, tỉ số 72 là I”(0; 2). Khi đó đường tròn (I”, 2 72 ) là đường tròn phải tìm. Phương trình của nó là X2 + (y - 2)2 = 8.
Bài 4
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng tam giác HBA thành tam giác ABC.
Giải
Phép đối xứng qua đướng phân giác của góc ABC biến tam giác HBA thành tam
AC
c. BÀI TẬP BỔ SUNG
giác EBF. Phép vị tự tâm B, tỉ số "TT7 biến tam giác EBF thành tam giác ABC.
Bài 1	
Cho tam giác ABC vuông tại A. AH là đường cao kẻ từ A (H e BC). Chứng minh rằng có một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
Vẽ tam giác A’BƠ với A’ e AB, A’B = HB và C’ G BC, sao cho A’C’ 1 AB.
Gọi I = AH n A’C’. Vậy BI là trục đối xứng của A ABC’. Từ đó ta có
A ƠBA’ = Đbi(AABH). Ta lại có
.	 , BA
A CBA = Vb(AC'BA') với k =
Như vậy, theo chú ý c), §7, chương I của SGK, tồn tại một phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép đối xứng trục và một phép vị tự biến A HBA thành aCBA.
Bài 2
Chứng minh rằng hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.
Giải
Giả sử cho trước hai hình vuông ABCD và A0B0C0D0. Ta sẽ chứng minh chúng đồng dạng với nhau. Thật vậy,
Phép tịnh tiến theo vectơ DD0 biến hình vuông ABCD thành hình
vuông A1B1C1D1 và Dj = Do;
Phép quay tâm Do góc quay là góc
(D0Ah D0A0) biến
hình	vuông
A1B1C1D1 thành hình	vuông
A’B’C’D’, D’ 3 Di = Do. Khi đó A G D0A0,C’g DoCo.
Cuối cùng phép vị tự tâm Do tỉ số vị tự
CoDo , . ,
k = 01 jỹ biến hình vuông A’B’C’D’ thành hình vuông ABCD.
Vậy hai hình vuông đã cho đồng dạng với nhau.
Bài 3
Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
Gọi D là trung điểm đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thẳng B’C’, và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với hai trung tuyến còn lại cũng thế. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’.
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (He BC). Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH thành đường thẳng A’H’. Vì AH ± BC nên A’H’ ± B’C’, nói cách khác A’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’. Đối với đường cao khác cũng thế.
Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường cao nên trực tâm tam giác ABC biên thành trực tâm tam giác A’B’C’.
Nếu o là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì OA = OB = oc nên nếu điểm o biến thành điểm 0’ thì O’A’ = O’B’= O’C’ = kOA = kOB = kOC do đó 0’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Cho hai đường tròn (I, R) và (P; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại o, d là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại o. Gọi V là phép vị tự tâm o tỉ số 2, Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, và F là phép hợp thành của V và Đ.
F biến điểm o và I thành những điểm nào?
F biến đường tròn (I, R) thành hình nào?
Với điểm M không nằm trên d và M’= F(M). Chứng minh rằng nếu E là giao điểm của NM’ và d thì EM’ = 2EM.
d> Chứng tỏ rằng F cũng là hợp thành của Đ và V.
Bài 2
Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.
Bài 3
Chứng minh rằng với hai đoạn thẳng bất kì AB và A’B’ luôn luôn có phép đồng dạng biến A thành A’ và biến B thành B’.
Chứng minh rằng hai đường cônic có cùng tâm sai e thì đồng dạng với nhau.