SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

LUtỷH DtìQ
Trước đây, Đạo hàm và Tích phân được học trọn vẹn trong Giải tích 12. Ngày nay, phần Lí thuyết đạo hàm được học trong chưong trình Đại số và Giải tích 11 để phục vụ kịp thời cho việc học các môn khoa học khác như Vật lí, Hoá học,...
ở đây, học sinh được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một từ các bài toán đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và các công thức đạo hàm cơ bản và quan trọng nhất.
Đạo hàm cấp hai được đưa ra nhằm giúp cho việc hiểu bản chất và cách tính toán một khái niệm quan trọng của Vật lí là gia tốc.
Định nghĩa Vi phân được đưa ra nhằm chuẩn bị cho việc học Tích phân ở Giải tích 12. Vì không có thời gian học ở lớp 11, phần ứng dụng đạo hàm chuyển sang chương đầu tiên của Giải tích 12.
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
(C 4 CỦA ĐAO HÀM
I - ĐẠO HÀM TẠI MỘT DIEM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
1
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hãnh từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi
được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên,
2
hàm sô đó là 5 = t .
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [r; r0] với f0 = 3 và t - 2 ; t = 2,5 ; t = 2,9 ; t = 2,99.
Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần r0 = 3.
a) Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục s'Os (h. 61).
s'	o	s(t0)	s(t)	s
Hình 61
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t s = s(t).
Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm tữ.
Giải. Trong khoảng thời gian từ ÍQ đến t, chất điểm đi được quãng đường là 5 - 50 = 5(0 - 5(zo).
Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số
s - Sọ = 5(0 - 5(z0) z - zo t - tQ
là một hằng số với mọi t.
Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm.
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian |z - z0|.
Khi t càng gần Zq, tức là \t - Zq| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm ÍQ.
Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây.
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
lim *> - *»> t->t0 t ÍQ
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm zo.
Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm ÍQ.
b) Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t:
Q = Q(tỵ
Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian |z - r0| là , Ôơ)-Ôơo)
Nếu |f — Zq| càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm Í0. Người ta đưa ra định nghĩa sau đây.
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
lim	.
/->í0 t ÍQ
được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm ÍQ. NHẬN XÉT
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, ... đưa đến việc tìm giới hạn dạng lim	, trong đó y = /(.x) là một hàm số
A—>A'o	X — Xq
đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y =/(*) xác định trên khoảng (ứ ; b) và Aq 6 (ứ ; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim f_w - /(*o>
*->*0 X- xữ
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = /(x) tại điểm x0 và kí hiệu là/'(A'o) (hoặc y'(x0)), rác là |/Vo)= llm/w_{(^.
X —> À*Q	X Xq
CHU Y
Đại lượng Ax = X - x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.
Đại lượng Ay = /(x) - /(x0) = f(x0 + Ax) - /(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy
y'(x0) = lim 4^.
Ax->0 Ax
Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa 2
iCho hàm sốy -X2. Hãy tính y’(x0) bằng định nghĩa.
Để tính đạo hàm của hàm số y =fix) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây.
QUY TẮC
Bước 1; Giả sử Ax là số gia của đối số tại x0, tính Ay =f(x0 + Ax) -f(x0).
Bước 2. Lập tỉ số —.
Ax
. Av
Bước 3. Tìm lim -ý-.
Ax—»0 Ax
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số /(x) = — tại điểm x0 = 2.
Ay = /(2 + Ax)-/(2) =
Ay _	1
Ax ”	2(2 + Ax) ’
2 + Ax 2
2(2 + Ax)
Giải. Giả sử Ax là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có 11	Ax
lim -y- = lim Ax->0 Ax Ax—>0 2(2 + Ax) 4 Vậy /'(2) = -ị. ■
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Ta thừa nhận định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 1
Nếu hàm số y = /(x) có đạo hàm tại XQ thì nó liện tục tại điểm đó.
CHÚ Ý
Định lí trên tương đương với khẳng định :
Nếu hàm số y = /(x) gián đoạn tại Xq thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng.
Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Chẳng hạn, hàm số /(x) = •
-X2 nếu X > 0 X nếu X < 0
liên tục tại X - 0 nhưng không có đạo hàm tại đó.
Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số
này là một đường liền, nhưng bị	
"gay" tại điểm ơ(0 ; 0) (h. 62).
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
0.3
Vẽ đồ thị của hàm sô' f(x) = -y-.
Tính/'(1).
O
Hình 62
c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm A/(l ; -|) và có hệ số góc bằng/'(l). Nêu nhận
xét về vị trí tương đôĩ của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.
a) Tiếp tuyên của đường cong phảng
Trên mặt phảng toạ độ Oxy cho đường cong (C). Giả sử (C) là đồ thị của hàm sốy =/(x) và M0(x0 ; /(x0)) e (C). Kí hiệu M(x ; fix)) là một điểm di chuyển trên (C). Đường thẳng MqM là một cát , tuyến của (C) (h.63).
y
(C)
X
Hình 63
Nhận xét rằng khi X —> XQ thì M(x ; /(x)) di chuyển trên (C) tới điểm Aí0(x0 ; /(.Y0)) và ngược lại. Giả sử cát tuyến MqM có vị trí giới hạn, kí hiệu là MqT thì MqT được gọi là tiếp tuyến của (C) tại Mq . Điểm Mq được gọi là tiếp điểm.
Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy.
b) ¥ nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (ứ ; z?) và có đạo hàm tại x0 e (ớ ; bỴ Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.
ĐỊNH LÍ 2
( 77 77	7 77	7	777— ..,	777	7—7—7—7
Đạo hàm của hàm số y - f(x) tại điểm Xq là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm Mq (x0 ;/(x0)).
Chứng mình. Giả sử + Av ;/(.Y0 + Ax)) là điểm di chuyển trên (C). Ta có (h.64)
MqH = Ax, HM - Ay.
Hệ số góc của cát tuyến MữM là tan ợ?, trong đó (p là góc tạo bởi trục Ox và vectơ MqM như trên Hình 64a hoặc 64b. Ta có
Hình 64
Khi M dần tới Mo (M -> Mq) thì Ax -» 0 và ngược lại.
Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại %Q nên tồn tại giới hạn Ay
f'(Xft) = lim — = lim tan 69. úx->0Ax A/-7ẤÍO
Vậy khi M -> Mữ thì cát tuyến MqM dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng MqT, có hê số góc bằng lim tan<j9 =/'(a'q) .
Đường thẳng MqT là tiếp tuyến tại Mq của (C).
Vậy/ '(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến tại Mq của đồ thị (C). ■
Phương trình tiếp tuyến
4
Viết phương trình đường thẳng đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k.
Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = /(%) tại điểm Mq(xq ; /(x0)) là
= f\xữ\x-xq),
trong đó y0=/(x0).
^Cho hàm số y = -x2 +3x-2. Tính /(2) bằng định nghĩa.
Ví dụ 2. Cho parabol y = -x + 3x - 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ x0 - 2.
Giải. Bằng định nghĩa ta tính được ý(2) = -1. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là -1. Ngoài ra ta có y(2) = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm Af0(2 ; 0) là y - 0 = (-l).(x - 2) hay y = —X + 2. ■
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Vận tốc tức thời
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = sự), với 5 = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s = sự) tại t0 :
v(zo) = s'(t0).
Cường độ tức thời
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian : Q = Q(t) (Ổ = ổ(0 là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = Q(í) tại t0 :
I(t0) = Q\tữ).
II - ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
*Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm sô':
b) j?(-rì = — tại điểm bất kì X * 0. X
a)/(x) = x~ tại điểm X bất kì;
ĐỊNH NGHĨA
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (ứ ; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm X trên khoảng đó.
Khi đó,.ta gọi hàm số/' : (ứ ; z?) —» R
X f'(x)
là đạo hàm của hàm số y =f(x) trên khoảng (ữ ; b), kí hiệu là y' hay/'(x).
Ví dụ 3. Hàm số y = X có đạo hàm ý = 2x trên khoảng (-00 ; +oo).
Hàm số y = — có đạo hàm y' = - -Ị- trên các khoảng (-00 ; 0) và (0 ; +oo).
BÀI ĐỌC THÊM
ĐẠO HÀM MỘT BÊN
Cho hàm số y = /(x) xác định trên khoảng (đ;ố) và Xg e(ứ;fr). Có thể không tồn tại giới hạn (hữu hạn)
.. /w-/(xo)
X-Xr,
lim 	—-——
x^x0
nhưng tồn tại các giới hạn một bên
Z(x)-/(x0)
lim 	—-——, lim 	—-——.
x-xn
x-xn
Ao •• Ao x->x0
Khi đó, ta nói hàm sô' có đạo hàm một bên.
ĐỊNH NGHĨA 1
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải
..	/(x)-/(xQ)
lim 	-——,
x-»Xp x-x0
ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm sô' y = /(x) tại X = Xq và kí hiệu là /’(Xg).
Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)
lim
X->Xn
X - Xn
/(x)-/(Xg)
Ao "	0
được gọi là đạo hàm bên trái của hàm sô' y = f(x) tại X = Xg vậ kí hiệu là /’(X-).
Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên.
Từ các tính chất của giới hạn một bên suy ra ngay định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ
	——	— x
Hàm sô' y = /(x) có đạo hàm tại Xg khi và chỉ khi /'(Xg), /'(Xg) tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có
/'(Xg) = /'(xg) = /'(xg).
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số
-z . X2 nếu X > 0 = ■	-
. -X nếu X < 0
có các đạo hàm một bên, nhưng không có đạo hàm tại x0 =0.
Giải. Ta có :
f '(0+) = lim	= lim	= 0 ;
x-»0+	x-0	x_>0+ X
/•«)-) = Iim/W~{(0) = lim ^ = -1.
Vậy tại Xq =0, hàm số này có đạo hàm bên phải bằng 0, đạo hàm bên trái bằng -1. Vì các đạo hàm bên phải và bên trái khác nhau nên hàm số không có đạo hàm tại *0=0. ■
Ví dụ 2. Xét sự tồn tại đạo hàm và các đạo hàm một bên của hàm số
-ỹjx
2x
nếu x>0 nếu X < 0
5/74
tại điểm x = 0.
-0
lim	Hm
= - lim
A-»0+
■ = —00
Giải. Vì
x->(f	x-0	x->0+	x-0
nên hàm số không có đạo hàm bên phải tại X = 0.
Vì
lim	Jn = lim — = 2
JC—»0_	x-0	x_>0~ X
nên hàm số có đạo hàm bên trái tại X = 0 và /'(0“) = 2.
Từ định lí suy ra rằng hàm số đã cho không có đạo hàm tại X = 0. ■ ĐỊNH NGHĨA 2
Hàm số y = f (x) được gọi là có dạo hàm trên đoạn [a ; h] nếu thoả mãn các điểu kiện sau :
Có đạo hàm tại mọi X G (ứ; b) ;
Có đạo hàm bên phải tại X = a ;
Có đạo hàm bên trái tại x = b.
Bài tập
Tìm số gia của hàm số/(x) = X , biết rằng :
x0 = 1 ; Ax = 1 ;
x0 = 1 ; Ax = - 0,1.
Ay ,
Tính Ay và — của các hàm số sau theo X và Ax : Ax
a) y = 2x - 5 ; c) y = 2x3 ;
b) y = X - 1 ;
d) y = -.
X
3. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
X	2
a) y = X + X tại x0 = 1 ;
tại x0 = 2 ;
c) y =
tại x0 = 0.
X - 1
Chứng minh rằng hàm số
fw =
(x - l)2 nếu X > 0
-X nếu X < 0 không có đạo hàm tại điểm X = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm X = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = X3 :
Tại điểm (-1 ; -1);
Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = — :
X
Tại điểm ; 2J ;
Tại điểm có hoành độ bằng -1 ;
Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
e	lọ	2
7. Một vật rơi tự do theo phương trình s = -jgt , trong đó g ~ 9,8 m/s là gia
tốc trọng trường.
Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5 s) đến t + At, trong các trường hợp Az = 0,1 s ; At = 0,05 s ; At = 0,001 s.
Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm í = 5 s.