SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC
1. Giới hạn của
sinx
sin0,01 sin0,001 .J.
Tính ————, —_	— băng máy tính bó túi.
0,01 0,001
Ta thừa nhận định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 1
Vídụl. Tính lim
tanx
X —>0 X
sinx
lim - = 1.
X—»0 X
Giải. Ta có
tanx	(sinx 1	sinx	1	,
lim —— = lim I ——.	I = lim ——. lim —-— = 1.
x-»0 X x^ữ V X cosxy x->0 X x-»0 cos X
Ví dụ 2.'Tinh lim
X—>0 X
Giải. llm . Iim 2f. 2 lim — = 2.1 = 2.
X—>0 X	X—>0 \ 2x
X —>0 2x
2. Đạo hàm của hàm số J = sin X
ĐỊNH LÍ 2
Hàm số y = sin % có đạo hàm tại mọi X e R và (sinx)' = cosx.
Chứng minh. Giả sử Ax là số gia của X. Ta có :
.cosi X + — I ;
Vì lim cost X + I - COS A (do tính liên tục của hàm số y = cosx) Ax->0	<	2 1
• Ax
sin—	...
2 -I	.	Ay
và lim ——— = l nên lim —— - l. COS X - COS X.
Ax—>0 to	Ax—>0 Ax
Vậy y' = (sin A-)' = COS A.
CHÚÝ
Nếu y - sin M và u = w(x) thì
(sinw)' = «'. cosh.
Ví dụ 3. Tim đạo hàm của hàm số y = sin ^3x + y .
Giải. Đặt u = 3x + -- thì u' - 3 và y = sin M.
5
Ta có y' = m'cos m = 3cos 3x +
7Ĩ
3. Đạo hàm của hàm sốy = COS X
Tìm đạo hàm của hàm số y = sin^-x^. ĐỊNH LÍ 3
Hàm số y = COS A có đạo hàm tại mọi A e R và (cos x) ' = - sin A.
. f 7Ĩ	..	.
Từ nhận xét COS A - sin - A suy ra ngay điều phải chứng minh.
CHÚ Ý.
Nếu y - COS u và u = u(x) thì
(cosm)' = - w'.sinM.
sinx
cosx
(tanu)' =
COS2 u
ợ	z	3
Ví dụ 4. Tim đạo hàm của hàm số y = cos(x - 1).
Giải. Đặt w = x - 1 thì u' - 3x và ỵ = COS M.
Ta có
2 .	3
y' = -«'sin II = -3x sin(x - 1).
Đạo hàm của hàm sổ<y = tan X
& 3
Tìm đạo hàm của hàm số /(.y) = SinA X + Ả’7t, e z |.
cosx V 2
ĐỊNH LÍ 4
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi X* Z +kiỉ,k e z và 2
(tanx)' =
COS2 X
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương đối với hàm số tan X - suy ra điều phải chứng minh.
CHỨ Ý
Nếu y = tan II và II = «(x) thì ta có
Ví dụ 5. Tim đạo hàm của hàm số y = tan(3x + 5). Giải. Đặt M = 3x +5 thì m' = 6x và y = tan li.
Ta có
y' =
COS2W cos2(3x2+5)
u'	6x
Đạo hàm của hàm sốy = cotx
^Tìm đạo hàm của hàm số
với X kn, k G z.
y = tan
ĐỊNH LÍ 5
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi X kn, k g z và
(cotx)' =	ir—
sin2 X
CHÚ Ý
Nếu y = cot u và u = u(x), ta có
V
. _ \l	w'
(cotw) =
sin2 u
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của hàm số
y = cot3(3x - 1).
Giải. Đặt M = cot(3% - 1) thì y = M3.
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, tạ có y'x =y'u-u'x = 3m2.m'x
= 3cot2(3x - l)[cot(3x - 1)]'
= 3cot2(3x - 1). ~(3x~1)'- sin2(3x - 1)
ọ	—3
= 3 cot2 (3x - 1). ——	
sin2 (3% - 1)
9cos2(3x - 1)
sin4(3jc - 1)
BẢNG ĐẠO HÀM
z	«—1
(x ) = nx
3-ị
2-s/x
/	n-l .
(m ) = nu .u
&--$
(7zự= Ỳ
2yju
(sinx)1 = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' = —ỉy- COS2 X
(cot x) -
sin2 X
(sin uỴ = lỉ.cosu
(cosí/)' - -w'.sinM
(tan m) =
COS2 w
.	X.	w'
(cot n) =
sin2 u
Bài tạp
Tìm đạo hàm của các hàm sô sau
..	x-1
5x - 2
X'2 + 2x + 3 c) y = —-— 	 ;
3 - 4x
Giải các bất phương trình sau :
b)
2x + 3 7 - 3x
x~ + 7x + 3
X2 - 3x
y' < 0 với y
y' > 0 với y
y' > 0 với y
X + X + 2
X — 1
X2 +3 .
X + 1
2x - 1
X2 + X + 4
Tim đạo hàm của các hàm số sau a) y = 5sinA - 3cos A ;
c) y = X cotA ;
e) y = Vl + 2 tan A ;
Tim đạo hàm của các hàm, số sau a) y = (9 - 2a)(2a3 - 9a2 + 1);
, x sin X J- cos A b) y = .	' ■ ■■■
sin A - cos A
sin A A d) y =	+ -7-
A	sin A
f)y
= sinvl
b) y =
+ A2.
677-4
(7a - 3) ;
c) y = (a - 2)'VA2 + 1;
2 2
y = tan A - cotA ;
e) y = cos
/’(1)
Tính •,	, biết rằng/(a) = A2 và ộ?(a) = 4a + sin 77.
$4(1)	2
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc A :
,	.6 , _ 6 , a . 2	2 .
b) y = cos2 -7 - A
+ cos
+ COS
2tt
a) y - sin A + COS A + 3sin A.cos A ;
2 I 2k , „ I n • 2 „ + COS I -J- + A I - 2 sin A.
Giải phương trình/'(a) = 0, biết rằng :
/(a) = 3cos a + 4sinA + 5a ;
_ ■ f 2k + A
/(A) = 1 - sin(7ĩ + a) + 2 COS
Giải bất phương trình /'(a) > g'(A), biết rằng :
/(a) = A3 + A - 5/2 , g(A) = 3a2 + A + V2 ;
2
/(a) = 2a3 - a2 + V3 , g(A) = A3 +	— a/3.