SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 1. Giới hạn của dãy số

Glứl HẠn
Chương
i
GIỨI Hfln
Chương này cung cấp những kiến thức mở đầu về Giải tích. Nội dung của chương xoay qùanh hai khái niệm cơ bản là giới hạn và liên tục.
Chính những khái niệm và cấc phép toán về giới hạn và liên tục là cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung khác của Giải tích (Đạo hàm, Tích phân,...). Đặc biệt,-chúng sẽ cho phép giải quyết nhiều bài toán của khoa học và thực tiễn, mà ta không thể giải quyết được nếu chỉ dùng các kiến thức của Đại số. Đó chính là những bài toán liên quan tới sự vô hạn.
NGHỊCH Lí CỦA ZE-N0NG (ZENON)
A-ị	A2 a3 A4 I
A-sin (Achille) - một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là "có đôi chân chạy nhanh như gió" đuổi theo một con rùa trện một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm cách A-sin một khoảng bằng a khác 0, thì mặc dù chạy nhanh hơn, A-sin cũng không bao giờ có thể đuổi kịp rùa.
Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết A-sin cần đi đến điểm xuất phát của rùa. Nhưng trong khoảng thời gian đó, rùa đã đi đến một điểm Â2 khác. Để đuổi tiếp A-sin lại phải đến được điểm Aọ này. Khi A-sin đi đến điểm Ạ, thì rùa lại tiến lên điểm A3, ... Cứ như thế, A-sin không bao giờ đuổi kịp rùa.
Câu chuyện trên là nghịch lí nổi tiếng của Zê-nông (Zenon d'Elée 496 - 429 trước CN) - một triết gia Hy Lạp ở thành phố Elée, phía nam nước Ý bây giờ. Nghịch lí của ông góp phần thúc đẩy sự xuất hiện khái niệm giới hạn. Nhờ khái niệm giới hạn, con người có thể nghiên cứu các vấn đề liên quan tới sự vô hạn.
- GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY số
Định nghĩa
1 í 1 í 1	1
’ 2’ 3’ 4’ 5’100’"'
Cho dãy số (h„) với un
Biểu diễn (m„) dưới dạng khai triển
Biểu diễn (m„) trên trục số (h.46) :
Ị- U1
°	/	"5	3
\	u6 «4 u3	«2	ùị
í,|0°	Hình 46
Nhận xét xem khoảng cách từ u„ tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn.
Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01 ? 0,001 ?
(Ta cũng chứng minh được rằng |ỉí I = — có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể n
từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là |wM| có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là
chọn n đủ lớn. Khi đó, ta nói dãy số («„) với un = — có giới hạn là 0 khi n dần tới n
dương vô cực).
ĐỊNH NGHĨA 1
Ta nói dãy số («„)■ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực,
nếu |«„| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu : lim un = 0 hay un —> 0 khi n -> +00.
n->+co
Như vậy, (ỉ/ZỈ) có giới hạn là 0 khi n —» +00 nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.
T7Z , , (-1)”
Cl “10- 100
Hình 47
Người ta chứng minh được rằng lim un = 0, nghĩa là |m„ I có thể nhỏ hơn
«—»+00
một sô'dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn :
_Ị_" J_
M2 < 100
\un 1 =
(-1)"
■ 2
n
< 0,01 hay mJ
với mọi n thoả mãn «2 > 100 hay n > 105
Nói cách khác, |m,j I <0,01 kể từ số hạng thứ 11 trở đi.
Tương tự,
, . 1 	, , . 1 1
M„ =	< 0,000 01 hay \u„ = - <	
1 1 n2	J I «1 n2 100000
với mọi n thoả mãn M2 > 100 000 hay n > ựioo 000 « 316,2 . Vậy |mzỉ| < 0,000 01 kể từ số hạng thứ 317 trở đi.
ĐỊNH NGHĨA 2
Ta nói dãy số (v„) có giới hạn là số a (hay vn dần tói à) khi n —» +CO,
nếu lim (v„ - ữ) = 0.
«—»+00
Kí hiệu : lim vn = a hay v„—> a khi n + 00.
«—»+co
X
Ví dụ 2. -Cho dãy số (v„) với vn - ——— . Chứng minh rằng lim vn = 2.
n	n—>+00
Giải. Ta có lim (vw - 2) = lim I + * - 2 ] = lim — = 0.
«—>+00	«—>+oo(	n	) n-^+coỉĩ
Vậy lim vn = lim ——— = 2. ■
«->+00	«—>+00 n
Một vài giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau :
lim — = 0 ; lim -7- = 0 với k nguyên dương ;
«—>+co>2	«—>+0077^
lim qn — 0 nếu \q\ < 1 ;
«—>+00
Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un = lim c = c.
«—>+00 «->+00
CHÚ Ý
Từ nay về sau thay cho lim un = a, ta viết tắt là limww = a.
«—>+00
II - ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí sau đây mà ta thừa nhận.
ĐỊNH LÍ 1
Nếu limWjj = a và lim vzỉ - b thì
lim (wzỉ - vn) = a - b
lim— = y (nếu b * 0). v„ b
lim (un + vn) = a + b
lim(ww.vn) = a.b
b) Nếu un > 0 với mọi n và lim ùn = a thì a > 0 và lim = y/ã .
Ví dụ 3. Tìm lim
■?	.	9 z	~	2	'
Giải. Chia tử số và mẫu số cho n , ta được
3n - n
3-
Vì limL3- —
= lim3 - lim— = 3-0 = 3 n
và lim
nên lim
. 3n - n
l + «4
= lim—.lim— + liml = 0.0 + 1 = 1 n n
= lim
3--
_	«_ =	. < n)
-.-+1 limf—.—+ 1 n n	{ n n
= - = 3.
1
Ví dụ 4. Tìm lim
Vl + 4«2
1-2«
Giải. Ta có lim +	= lim-
1-2«
\n
1-2«
= lim-
lim lạ
ự.-2,
--2
«
2
-2
= -1.
Ill
TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
• Cấp số nhân vô hạn («„) có công bội q, với |ợ| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Chẳng hạn, hai dãy số sau là những cấp số nhân lùi vô hạn :
- Dãy sô ~-ị,... với công bội q =	;
1	1 1	1	1 I 1
-Dãys«l,-|,±,-^,^	 -j
n-1
... với công bội q = - j
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (m„) có công bội q. Khi đó,
„	Ml (1 - 7" )	«1
sn = Uỵ + u2 + w3 +...+ M„ j—-	- 1 J -
Mị
J-
Vì |ợ| < 1 nên lim qn = 0. Từ đó ta có
limS„ = lim
Uỵ
1-ợ
< uỵ '
1-7,
Mị
= 1 -7
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) và được kí hiệu là 5 = Uỵ + «2 + w3 +•••+ un +•••
Như vậy
Mị
1-7
(l?l < 1).
Ví dụ 5
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (m„), với un =
3n
\ỉĩ-ì
Tính tổng 1 - 4- + -- - 4 + ... + - 4-	+ ...
Giải
Vì M„ = — nên Mi = - , 7 = 4. Do đó "	3«	3	3
e _	1	,1	1	,	1
Mf
3	9	27
3n
1-7
3
__ _1_
ĩ _ 2 ■
b) Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với Uị = 1, 1
Vâw	c_, __L 1 1	, f IT 1 ,
Vậy	S = l-^- + -L_± + ... + _Ạ +
248	< 2j
_ Mị _	1	_ 2
IV - GIỚI HẠN VÔ cực
1. Định nghĩa
2
Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là
0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ
khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp
giấy như vậy một cách vô hạn.
Gọi «J là bể dày của một tờ giấy, «2 là bề dày
của một xếp giấy gồm hai tờ, w3 là bề dày của
một xếp giấy gồm ba tờ, .... un là bề dày của
một chồng giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy, ta
có được dãy số vô hạn («„).
Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm)
của một số chồng giấy.
384 000 km
"1
“1000
"1000 000
"1000 000 000
0,1
100
100 000
100 000 000
n
ĩõ
Hình 48
Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của khi n tăng lên vô hạn.
Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng ? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384 000 km hay 384.109 mm).
(Ta cũng chứng minh được rằng un = có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ
một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số (u„) nói trên được gọi là dần tới dương vô cực, khi n -> +co).
ĐỊNH NGHĨA
Ta nói dãy sổ (zz„) có giới hạn +00 khi n —> +CO, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu : lim un = +00 hay Mn —> +CO khi n -> +00.
Dãy số (zz„) được gọi là có giới hạn -00 khi n —> +00 nếu lim(- «„).= +°°-
Kí hiệu : limzz„ = -co hay UH —> -00 khi n +00.
NHẬN XÉT
limww = + 0O lim(-zzZJ) = -00.
Ví dụ 6. Cho dãy sô («„) với un - n .
Hình 49 cho một biểu diễn các số hạng của (zz/;) trên trục số.
«1	“2	“3	“4	'	.	.	.	un
—H	Ị	Ị	H-	—	t	*■
01	4	9	16	* ', ■	«2
Hình 49
Biểu diễn hình học này cho thây, khi n tăng lên vô hạn thì un trở nên rất lớn. Hơn nữa, người ta chứng minh được rằng lim un = +00, nghĩa là un có thể lớn hơn một sô'dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn, un > 10 000, hay n2 > 10 000 khi n > 100.
Vậy ỈZ„ > 10 000 kể từ số hạng thứ 101 trở đi.
Tương tự, un > 1O20 hay n2 > 1O20 khi n > 1O10.
Vậy un > 1O20 kể từ số hạng thứ 1O10 + 1.
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau :
limz/ = +oo với Á' nguyên dương ;
lim ợ” = +00 nếu q > 1.
Định lí
Ta thừa nhận định lí dưới đây.
ĐỊNH LÍ 2
Nếu lim«„ = a và limv„ ■= ±00 thì lim — = 0.
vn
Nếu limw„ = a > 0, limV'j =0 và vn > 0 với mọi n thì
un
lim — = +CO . vn
Nếu limwn = +CO và limvn - a > 0 thì limwwv„ = +CO.
Ví dụ 7. Tìm lim + 5.
n.	3n
Giải. Chia tử và mẫu cho n, ta được
2n + 5
n.3n 3n
Vì lim 2 +
= 2 và lim3w= +00 nên
2/7 + 5	i;„2+„ n
lim-- = lim—— = 0.
n.3n	3n
Ví dụ 8. Tìm lim (/?2 — 2/7 - 1).
Giải. Ta có n~ -2/7 — l=/?2fl- — —4-
Vì lim/72 = +00 và lim
= 1 > 0 nên
z 2 1 Ầ
1 --- n
Vậy lim (/72 - 2/7 - 1) = +CO.
"I	T-*	:
100 1002 100
11,
+ -+—77+- (h) 100"
BẢI ĐOC THÊM
UAY VẾ NGHỊCH LÍ ZE-N0NG
Sau khi đã học về giới hạn của dãy số, ta có thể giải thích như thế nào về nghịch lí "A-sịn không đuổi kịp rùa" ?
Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).
Giả sử tốc độ chạy của A-sin là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1 km/h. Lúc xuất phát, rùa ỏ điểm cách A-sin 100 km (h.50).
Hình 50
Ta tính thời gian A-sin đuổi rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các
quãng đường ƠAj, AịA2, A2A3, ..., An-ỊAn, ... Nếu tổng này vô hạn thì A-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa.
Đê’ chạy hết quãng đường OAị = 100(km), A-sin phải mất thời gian ÍỊ =	= 1(h).
Với thời gian í ị này, rùa đã chạy được quãng đường AịA2 = l(km).
Đê’ chạy hết quãng đường 4jÂ2 = l(km), A-sin phải mất thời gian t2 =	Với thời
gian t2 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3 = J— (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường AH-ịAtl
100'
(km), A-sin phải mất
thời gian tn =
100'
(h).
Vậy tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường OAị, AịA2, â2A3, ..., An^An,... là 1 1
1 wn
1 ——-7—-
100
100
Đó là tổng của một cấp sô' nhân lùi vô hạn với Mj = 1, công bội q = -7—, nên ta có
99
Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau I77- giờ.
Kết quả trên (đạt được nhờ áp dụng khái niệm giới hạn) cho phép giải thích nghịch lí của Zê-nông.
Bài tập
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T - 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người (T được gọi là chu kì bán rã}.
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (w„).
Chứng minh rằng (w„) có giới hạn là 0.
Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10 6g.
	’	1
/2
Biết dãy số («„) thoả mãn \un - l| < -y với mọi n. Chứng minh rằng
lim«;7 = 1.
Tìm các giới hạn sau
-Ự9/72 -22 + 1
c) lim
3" + 5.4"
4" + 2"
d) lim
4/2 - 2
4. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, n, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51).
Hình 51
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
Gọi là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính iq , «2 , M3 và un-
Tính limS„ với Sn = Mj + w2 + «3 + ...+ un.
1	1	(-lì”
Tính tổng s = -1 + —-	-- + ... + v _ ■■■ + ...
10 102	10"-1
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a - 1,020 202... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng môt phân số.
Tính các giới hạn sau :
a) lim(/73 + 2/72 - n + 1) ;	b) lim (-/72 +5/7-2) ;
lim ^V/72 - /7 - /7^ ;	d) lim(V/72 - n + /7).
Cho hai dãy số (ỉ7n) và (vw). Biết lim un = 3, lim vn = +OO.
Tính các giới hạn :
X 1;™ 3mw - 1	vn + 2
a) lim—-—— ;	b) lim-^——.
+ 1	V2 - 1