SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 4. Vi phân

Định nghĩa
Cho hàm số /(x) = Vx, x0 = 4 và Ax = 0,01. Tính/'(x0) Ax.
Cho hàm số y =/(x) xác định trên khoảng (a ; ồ) và có đạo hàm tại X £ (ữ ; bỵ Giả sử Àx là số gia của X.
Ta gọi tích/’(x)Ax là vi phân của hàm số y = /(x) tại X ứng với số gia Ax, kí hiệu là d/(x) hoặc dy, tức là dy = d/(x) = /'(x)Ax.
CHÚ Ý
Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = X, ta có dx = d(x) = (x)'Àx = 1 .kx ■= Ax.
Do đó, với hàm số y = /(x) ta có dy = df(x) = f'(x)dx.
Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau :
_	.
y = X - 5x + 1 ;
y = sin	2
Vậy dy = d(sin x) = y'dx = 3sin X cosxdx. ■
x.
Giải
y = X3 - 5x + 1, y' = 3x2 - 5.
Vậy dy = d(x3 - 5x + 1) = y'dx = (3x2 - 5)dx.
• 3	2
y = sin X, ý = 3sin X cosx.
ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có
/Vo) = lim
Do đó với lAxl đủ nhỏ thì Ay
Ax—>0 Aa
77 * /Vo) hay Ạy« / VoV*- At
Từ đó, ta có f(x0 + At) - /(x0) « / VoV* hay /(x0 + Ax) « /(x0) + /’(x0)Ax.
Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
Ví dụ 2. Tính giá trị gần đúng của ự3,99.
Giải. Đặt /(x) = \[x , ta có / V) = —.
2\lx
Theo công thức tính gần đúng, với -t0 = 4, At = -0,01 ta có /(3,99) = /(4 - 0,01) « /(4) + /'(4)(-0,01),
tức là 7^99 = ự4 - 0,01 « Vĩ + -^.(-0,01) = 1,9975. ■ 2V4
Bài tập
Tìm vi phân của các hàm số sau :
y =	(ạ, b là các hằng số) ;
a + b
y = (x2 + 4â’ + l)(x2 - Vx).
Tìm dy, biết:
2
y = tan X ;
, „	COS X
y =