SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 3. Cấp số cộng
CẤP SỐ CỘNG - ĐỊNH NGHĨA Biết bốn sô' hạng đầu của một dãy sô' là -1, 3, 7, 11. Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm sô' hạng của dãy theo quy luật đó. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu (m„) là cấp sô' cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi * M«+l = un + “ với n e N . (1) Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Ví dụ 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng : 1,-3,-7,-11,- 15. Giả/. Vì-3 = 1 + (-4) ; -11=-7 +(-4); -7 = -3 + (- 4) ; -15 = -11 + (- 4) nên theo định nghĩa, dãy số 1, -3, -7, -11, -15 là một cấp số cộng với công sai d - - 4. ■ Cho (w„) là một cấp sô' cộng có sáu sô' hạng với Mị = --|, d = 3. Viết dạng khai triển của nó. - số HẠNG TỔNG QUÁT Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42. Hình 42 Hỏi : Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp ? ĐỊNH LÍ 1 Nếu cấp số cộng (m„) có số hạng đầu Mj và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức : M„ = Uỵ + (/7 - l)í/ với n > 2. (2) \ / Chứng minh. Ta sẽ chứng minh công thức (2) bằng quy nạp. Khi /7 = 2 thì u2 = Mị + d, vậy công thức (2) đúng. Giả sử công thức (2) đúng với n = k > 2, tức là uk = iíỊ + (k - l)í/. Ta phải chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k + 1, tức là Lik+ị = Mị + kd. Thật vậy, theo định nghĩa cấp số cộng và giả thiết quy nạp ta có uk+ỵ = uk + d—[uị + (k — Y)đ\ + d = Uỵ + kd. Vậy un = Uị + (/7 - l.)ư với /7 > 2. ■ Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (m„), biết Mj = - 5, d = 3. Tìm UỊ5. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu ? Biêu diên các sô hạng Mị, m2, m3, m4, m5 trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm M2, w3’ li4 so với hai điểm liền kề. Giải. Cấp số cộng có li ị = -5, d = 3. Theo công thức (2) ta có «15 - -5 + (15 - 1). 3 = 37. Theo công thức (2) ta có M„ = -5 + (/7 - 1) . 3. Vì M„ = 100 nên -5 + (m - 1) . 3 = 100, từ đó n = 36. Năm số hạng của cấp số cộng là -5, -2, 1, 4, 7 được biểu diễn bởi các điểm Uỵ, U2, u$, m4, «5 tương ứng trên Hình 43. Ta cũng có kết quả tương tự đối với Mọ và «4. ■ Đây là một tính chất đặc trưng của cấp số cộng mà ta sẽ xét dưới đây. - TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CAP số CỘNG ĐỊNH LÍ 2 Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là “k = t vái ki 2. 2 (3) Chứng minh. Giả sử (m„) là cấp số cộng với công sai d. Sử dụng công thức (1) với k > 2, ta có nk-ị = uk - d ; M£+1 = uk + <7. Suy ra uk _! + «£+1 = 2uk hay Itk = + “Ẳ.-+1 - - TỔNG n SỐ HẠNG ĐAU của một cấp số CỘNG số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau : -1 3 7 11 15 19 23 27 Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột. Tính tổng các số hạng của cấp sô' cộng. Ta công nhận định lí sau đây. ĐỊNH LÍ 3 Cho cấp số cộng (m„). Đặt s„ = ỉ/ị + u2 + «3 + ... + u„. Khi đó (4) !_ J CHỦ Ý Vì = ỉ/! + 0? - 1 )ố/ nên công thức (4) có thể viết S„=/2ÍÍJ+—(4) Ví dụ 3. Cho dãy số (w„) với un = 3n - 1. Chứng minh dãy («„) là cấp số cộng. Tìm u Ị và d. Tính tổng của 50 số hạng đầu. Biết s„ = 260, tìm n. Giải a) Vì un = 3« - 1 nên Uỵ = 2. Với n > 1, xét hiệu - M„ = 30? + 1) - 1 - (3/7 - 1) = 3, suy ra M„+J = un + 3. Vậy (??„) là cấp số cộng với công sai d = 3. Vì Mị = 2, ư = 3, /7 = 50 nên theo công thức (4') ta có 50.49 _ S50 = 50.2 + —^—.3 = 3775. 2 Vì Mj = 2, d = 3, Sn = 260 nên theo công thức (4') ta có sn = n.2 + 11(11 - 1).3 = 260 hay 3/72 + n - 520 = 0. Giải phương trình bậc hai trên với n e N*, ta tìm được /7=13. ■ Bài tạp Trong các dãy số (m„) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tính số hạng đầu và công sai của nó. a) un = 5 - 2/7; c) u„ = 3" ; d) un = 7 -3/7 2. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết : U-J — Ho, — 8 M2.M7 = 75. a) b) Mị - M3 + Mg = 10 Mị + Mg = 17 ; Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp nãm đại lượng Mj, d, ỉĩ, un, Sn. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ? Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống : Mị d /7 s„ -2 55 20 -4 15 120 3 4 27 7 17 12 72 2 -5 -205 Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân. Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ ?