SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

3	5
ựl - X
b)/<3.
5. Cho y = X3 - 3x 2 + 2. Tìm X để : a) y > 0 ;
b) y - V2 - 5x - X2 ;
1 + X
(ớ là hằng số) ; d) y =
c) y =
a) y = X2 - x-s/x + 1 ;
V. X y
4. Tim đạo hàm của các hàm số sau
(/«, n là các’hằng số).
e) y =
3-5x
X2 - X + 1
d) y =
x2-l
c) y =
b) y = (X2 + 1) (5 - 3x2) ;
a) y = (x7 - 5x2)3 ;
3. Tim đạo hàm của các hàm số sau 7_|
2x
5
1
\3
, ,	1	1	2 n ,4 .
b)y = —--X+X - 0,5x ;
4	3
d) y = 3x 5(8 - 3x2).
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I - ĐẠO HÀM CỦA MỘT số HÀM số THƯỜNG GẶP
1
/
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = X tại điểm X tuỳ ý.
Dự đoán đạo hàm của hàm số y = X100 tại điểm X.
Việc tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa nói chung phức tạp. Đối với một số hàm số thường gặp, ta có những công thức cho phép tính một cách nhanh chóng đạo hàm của chúng tại một điểm.
ĐỊNH LÍ 1
Hàm sốy = x” (n e N , n > 1) có đạo hàm tại mọi X G R và {xnỴ = nxn~X.
V.	.	/
Chứng minh. Giả sử Av là số gia của X, ta có :
Ay = (x + Ax)”-x”
= (x + Ax - x) [(x + Ax)” ^(x + Ax)” 2 X + ... + (x + Áx)xn 2+xn !]
= Ax[(x + Ax)” 1 + (x + Ax)77 2 X + ... + (x + Ax)x” 2 + xn !] ;
= x" 1 + x" *+...+ x” 1 = nxn 1.
y- = (x + Ax)” 1 + (x + Ax)” 2X + ... + (x + Ax)x” 2 + x” 1; Ax
lim y^ = v”-! + r"-! Ax-»o Ax
n sô' hạng
Vậy (x")' = «x”_1.
NHẬN XÉT
Đạo hàm của hàm hằng bằng 0 :	(c)’ = 0
Đạo hàm của hàm số y = X bằng 1 : (x)’ = 1.
(c)’ = 0.
) Chứng minh các khẳng định trong nhận xét trên. ĐỊNH LÍ 2
Chứng minh. Giả sử Ax là số gia của X dương sao cho X + Ax > 0. Ta có Ay = yỊx + Ax - Vx ;
Ay -ựx + Ax - Vx _ (Vx + Ax - y[x)(y/x + Ax + Vx) t Ax	Ax	Ax(Vx + Ax + Vx)
X + Ax - X _	1
Ax(Vx + Ax + a/x) -s/x + Ax + Vx
ky	1	1
lim -ỹ- = lim •.	■■■■	-——7= = —7=.
A.r-»o Ax ứx->0 yj X + Ax + yjx 2yJX
Vậy đạo hàm của hàm số y - y[x là y' - —ỉy=. ■
2-s/x
''Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số /(x) = y! tại X = -3 ; X = 4 ?
II - ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG
1. Định lí
ĐỊNH LÍ 3
Giả sử u = u(x), V = v(x) Ịà các hàm số có đạo hàm tại điểm X thuộc khoảng xác định. Ta có :
~ (v = V'W * 0).
(m + v)' = «' + v' (zz - v)' = m' - v' (zzv)' = u'v + uv'
u V - liv
L
(1)
(2)
(3)
Chứng minh. Ta chứng minh các công thức (1) và (2). .
Xét hàm y = u + V. Giả sử Ax là số gia của X. Ta có số gia tương ứng của u là Azz, của V là Av và của y = M + V là
Ay = [(m + Am) + (v + Av)] - (zz + v) = Am + Av.
TV, AA	_ Aỉí + Av
Ax Ax
lim — Av —> 0 A.V
Vậy (zz + v)' = m' + v'.
Chứng minh tương tự, ta có (zz - v)' = u' - v'. ■ Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được
(zzị ± m2 ± ... ± M„)' = m'ị± m'2± ... ± u'n .
Các công thức khác được chứng minh tương tự.
4
Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số
y = 5x3 - 2x5 ; y = -x34x.
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = A° - A4 + 4x.
Giải. \x2 — A'4 + VÃ)' = 2 A - 4A3 + —■
2a/a
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y - A3(VÃ - A5). Giải. Ta có
1	-5/
2VÃ
[a3(V^ - A5)]' = (a3)'(W - A5) + a3(77 - A5)'
= 3a2(7Ã - A5) + A3
= 3a2VÃ + A3
2. Hệ quả
HỆ QUẢ 1
Nếu k là một hằng số thì (kuỴ - ku'.
HỆ QUẢ 2
iHãy chứng minh các hệ quả trên và lấy ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số y = 	V.
A + 3
Giải. Ta có
<1-2aỴ _ (1 - 2a)'(a + 3) - (1 - 2a)(a + 3)' I X + 3 ) -	(a + 3)2
-2(a + 3) - (1 - 2a) _	-7
(A + 3)2	- (A + 3)2 ’
Ill	- ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
1. Hàm hợp
Hình 65
Giả sử M = g(x) là hàm số của X, xác định trên khoảng (ứ ; b) và lấy giá trị trên khoảng (c ; d); y =f(ụ) là hàm số của u, xác định trên (c ; đ) và lấy giá trị trên R . Khi đó, ta lập một hàm số xác định trên (ứ ; b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc sau (h.65) :
X /(#(*))•
Ta gọi hàm y = f(g(x)~) là hàm hợp của hàm y =f(ù) với II = g(x).
Ví dụ 4. Hàm sốy = (1 - X3)10 là hàm hợp của hàm số y - z?° với u = 1 - X3.
Ví dụ 5. Hàm số y = sin(&>/ + /) là hàm hợp của hàm số y = sin u với u = Cởt + ỵ; (ứ, /là những hằng số.
A zl Zm" acáchàmsốnà0,
Hàm sô y = y X + X +1 là hàm hợp của các hàm sô nào ?
2. Đạo hàm của hàm hợp
Ta thừa nhận định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 4
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại X là li'ỵ và hàm sốy có đạo hàm tại w là y'u thì hàm họp y =f(g(x')) có đạo hàm tại X là
.	y'x = y'uM'x-	y
,	z	3
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của hàm số y = (1 - 2%) .
Giải. Đặt u = 1 - 2x thì y = u , y'u = 3u , li'v = -2. Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có
y'x - y'u-u'x - 3w2.(-2) = -6w2.
Vậy y'x = -6(1-2x)2. ■
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của hàm số y = ———-.
3x - 4
Giải. Đặt M = 3x - 4 thì y = —.
Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có
,	„•	5 o -	~15
y X y u -u X 2 ‘3	.,2
u (3x - 4)
Bài tập
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau : 2 .
y = 7 + X - X tại = 1 ;
.
y = X - 2x + 1 tại x0 = 2.
Tim đạo hàm của các hàm số sau
a) y = x’ - 4x3 + 2x - 3 ;
. .. _ *4	2x3 , 4x2	,