SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 3. Hàm số liên tục

  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 1
  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 2
  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 3
  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 4
  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 5
  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 6
  • Bài 3. Hàm số liên tục trang 7
Cầu Đvor-so-vưi ở Xanh Pê-téc-bua (Nga) đang mở ra cho tàu qua lại.
I - HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT DIEM
Hình 55
a) Tính giá trị của mỗi hàm sô' tại X = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi % -» 1 ;
b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm sô' tại điểm có hoành độ X = 1.
(Hàm số y =f(x) được gọi là liên tục tại X = 1 và hàm sô' y = g(x) không liên tục tại điểm này).
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho hàm số y - /(x) xác định trên khoảng K và x0 e K.
Hàm số y =ftx) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim /(x) - /(x0).
X—>x0
tại x0 = 3.
Hàm số y =fự) không liên tục tại XQ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số/(x) =
Giải. Hàm số y = /(x) xác định trên R \ {2}, do đó xác định trên khoảng (2 ; +oo) chứa Xq = 3.
lim /(x) = lim —= 3 =/(3). X —> 3	X —> 3 X 2
Vậy hàm sô' y -f{x} liên tục tại Xữ = 3. ■
II - HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
ĐỊNH NGHĨA 2
Hàm số y = /(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y - /(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; bỊ nếu nó liên tục trên khoảng (ữ ; Ế>) và
lim /(x) = /(ứ), lim_ /(x) = /(/?).
X —> ữ	X —b
Khái niệm hàm sô' liên tục trên nửa khoảng, như (ứ ; h], [a ; +oo), ... được
định nghĩa một cách tương tự.
NHẬN XÉT
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó (h.56).
Hình 57 cho ví dụ về đồ thị
của một hàm số không liên tuc trên khoảng (ữ ; ỉ>).	a
\ b
/ 0
\ ì	X
Hình 57
- MỘT SỐ ĐỊNH LÍ cơ BẢN
Ta thừa nhận các định lí sau đây. ĐỊNH LÍT
Hàm sộ' đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
ĐỊNH LÍ 2
Giả sử y = /(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm^
A'o • Khi đó :
Các hàm số y =f(x) + g(%), y =f(x) - g(x) và y =f(x).g(x) liên tục tại Xq ;
/• / \
Hàm số y = —— liên tục tại XQ nếu g(x0) * 0.
2x2 - 2x _	.
Ví dụ 2. Cho hàm số /z(x) =
—	— nếu X * 1
‘	x-1
5 nếu X = 1.
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Giải. Tập xác định của hàm số là R.
-	, X. 2x2 - 2x
• Nêu X 1, thì /z(x) - —	—.
X - 1
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-00 ; 1) u (1 ; +oo). Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-00 ; 1) và (1 ; +oo).
• Nếu X = 1, ta có /z(l) = 5 và
.	.. 2x~ - 2x	..	2x(x -1)	.
lim h(x) = lim — 	— = lim	— = lim 2x - 2.
X —> 1	X —ỳ 1 X 1	X —> 1 X 1	X —> 1
Vì lim /z(x) * h(í), nên hàm số đã cho không liên tục tại X = 1.
X—^1
Kết luận : Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-00 ; 1) , (1 ; +oo) và gián đoạn tại X - 1. ■
Trong biểu thức xác định /ỉ(x) cho ở Vídụ 2, cần thay sô' 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập sô' thực R ?
Giả sử hàm sô'7 =/(x) liên tục trên đoạn [a ; b] vở'\f(à) vàf(ti) trái dấu nhau. Hỏi đồ thị của hàm sô' có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a ; b) không ?
Bạn Hưng trả lời rằng : ”ĐỒ thị của hàm số y = /(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a ; b)
Bạn Lan khẳng định : "Đổ thị của hàm sô' y =/(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm trong khoảng (ứ ; b)", -
Bạn Tuấn thì cho rằng : "Đồ'thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (ứ ; ti), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58).
Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao ?	Hình 58
ĐỊNH LÍ 3
,	—	—
Nếu hàm số y = /(x) liên tục trên đoạn [a ; b] vầf(a)f('b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c e (ứ ; ố) sao cho/(c) = 0.
Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng.
Có thể phát biểu Định lí 3 dưới một dạng khác như sau :
Nếu hàm số y =f(x') liên tục trên đoạn [a ; b]	< 0, thì
phương trình /(%) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (ữ ; h).
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình X + 2x - 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. Giải. Xét hàm số f(x) = X + 2x- 5.
Ta có/(0) = -5 và/(2) = 7. Do đó,/(0)/(2) < 0.
ỵ =/(%) là hàm số đa thức nên liên tục trên R. Do đó, nó liên tục trên đoạn [0 ; 2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 e (0; 2). ■
CHÚ Ý
Nếu nhận xét thêm rằng/(l)/(2) = -14 < 0 thì ta có thể kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (T; 2) c (0 ; 2).
Hãy tìm hai số a và b thoả mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (<7 ; b).
BÀI ĐỌC THÊM
zv^l TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
I	I PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỒI
• Trong Ví dụ 3 ở phần III, §3, ta đã chứng minh được rằng phương trình
X + 2x - 5 = 0 có nghiệm XQ thuộc khoảng (0 ; 2). Giả sử rằng đó là nghiệm duy nhất của phương trình trên khoảng này.
Bằng cách áp dụng liên tiếp Định lí 3, ta có thể tìm được các giá trị gần đúộg của nghiệm XQ. Ta làm như sau :
- Bước 1 : Lấy sô' 1 = —2—. Ta có, /(1) = -2. So sánh dấu của /(1) và dấu của
giá trị hàm sô' tại hai đầu mút là/(0) và/(2), ta thấy :/(l)./(2) = -2.7 < 0. Do đó, phương trình/(X) = 0 có nghiệm thuộc (1 ; 2). Như vậy, x0 6 (1 ; 2).
Bước 2 : Lấy sô' 1,5 = ^-^-. Ta có,/(1,5) = 1,375 và /(1)./(1,5) = -2.1,375 < 0. Do đó,/(x) = 0 có nghiệm thuộc (1 ; 1,5). Như vậy, x0 e (1 ; 1,5).
Bước 3 : Lấy số l,25 = ì±^. Ta có,/(1,25) = -0,546 875 và/(l,25)./(l,5) < 0.
Do đó,/(x) = 0 có nghiệm thuộc (1,25 ; 1,5). Như vậy, xữ G (1,25 ; 1,5).
Bảng sau đây trình bày kết quả tính lần lượt của các bước 4, 5, 6, 7.
a
b
a + b
2
f(a)
f(b)
Nghiệm A'o
1,25
1,5
1,375
- 0,546 875
1,375
0,349609375
1,25 <-v0< 1,375
1,25
1,375
1,3125
-0,546 875
0,349609375
-0,114013671875
1,3125 <-VQ < 1,375
1,3125
1,375
1,34375
-0,114013671875
0,349609375
0,113861083984375
1,3125 <x0< 1,34375
1,3125
1,34375
1,328125
-0,114013671875
0,113861083984375
-0,001049041748046875
1,328125 <XQ< 1,34375
Nếu dừng ỏ bước 4, ta có 1,25 < x0 < 1,375. Như vậy, có thể có được các giá trị 1 25 +1 375
gần đúng của nghiệm x0. Chẳng hạn ——y2— là một giá trị gần đúng của với sai số tuyệt đối A < 11,375 - 1,251 = 0,125.
Khi dừng ở bước 7, ta có 1,328125 <x0 < 1,343 75. Có thể lấy x0 « 1,335 937 5 với sai số tuyệt đối A < 11,343 75 - 1,328 1251 = 0'015 625.
Nếu tiếp tục quy trình trên, ta tìm được những giá trị gần đúng của x0 với sai số càng ngày càng bé.
Chú ý. Trong quá trình tính toán, nếu có số -y— nào đó mà ^^2^-0 ’ thì kết luận nghiệm Xq = —— .
• Việc tìm giá trị gần đúng của nghiệm như trên sẽ dễ dàng hơn nếu sử dụng máy tính bỏ túi. Đặc biệt, máy tính bỏ túi có chức năng lập trình hay máy vi tính có thể cho phép tính một cách tự động và nhanh chóng giá trị gần đúng của nghiệm với sai sô' A rất bé.
Bài tạp
Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số/(x) = X + 2x - 1 tại x0 = 3.
a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết
g(x) = '
—	— nếu -X / 2
X - 2
5 nếu X = 2.
b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại X'o = 2.
3.
3x + 2
Cho hàm số /(x) = •
nếu X -1.
Vẽ đồ thị của hàm số y = /(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của(nó.
Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
z	z	X + 1
Cho các hàm số/(x) = —r—	và g(x) = tanx + sin X.
X2 + X - 6
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.
Ý kiến sau đúng hay sai ?
"Nếu hàm số y = /(x) liên tục tại điểm Xq còn hàm sốy = g(x) không liên tục tại Xq, thì y =/(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0."
Chứng minh rằng phương trình :
2x - 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm ;
cosx = X có nghiệm.