SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Trong thực tế, ta gặp những bài toán dẫn đến việc tìm tất cả các giá trị của X nghiệm đúng những phương trình nào đó, như
3sin2x + 2 = 0
hoặc 2cosx + tan2x -1=0,
mà ta gọi là các phương trình lượng giác.
Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thoả mãn phương trình đã cho. Các giá trị này là sô' đo của các cung (góc) tính bàng radian hoặc bằng độ.
Việc giải các phương trình lượng giác thường đưa về việc giải các phương; trình sau, gọi là các phương trình lượng giác cơ bản :
sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a, trong đó a là một hằng số.
1. Phương trình sinx = ữ
/ \ Có giá trị nào của X thoả mãn phương trình sinx =
-2 không ?
Xét phương trình sinx = a.	(1)
sinj
Trường hợp lưl > 1
B
Phương trình (1) vô nghiệm, vì Isinxl < 1
M
/ a
M
K	\
với mọi X.
Trường hợp lữl < 1
Vẽ đường tròn lượng giác tâm ơ, trục
ẤẬ	o
/ côsin
hoành là trục côsin, trục tung là trục sin.
Trên trục sin lấy điểm K sao cho OK - a.
Từ K kẻ đường vuông góc với trục sin, cắt
B'
đường tròn lượng giác tại M và Af đối
xứng với nhau qua trục sin (nếu |ứ| = 1	„, ,
thì M trùng với M') (h. 14).
Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM' là tất cả các nghiệm
của phương trình (1).
Gọi a là số đo bang radian của một cung lượng giác AM, ta có
sđ AM = a + k2ĩi, k e z ;
... _
sđ AM' - 71 - a + k2ĩi, k e z.
Vậy phương trình sinx = a có các nghiệm là
X = a + k2n,
Iceĩ,;
X = TE - a + k2n,
k e z.
TC	. 7t
~ < a < —
2	2 thì ta viết a = arcsin a
sina = a
(đọc là ac-sin-a, nghĩa là cung có sin bằng ứ). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là
X = arcsinư + k2n, k e z và X = ĩĩ - arcsin a + k2n, k e z.
Nếu số thực a thoả mãn điều kiện <
CHƯ Y
Phương trình sinx = sin a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là
x= a + k2n, k e z và X = 71 - a + k2ĩi, k e z.
Tổng quát,
sin/(x) = sin g(x) 
f(x) = g(x) + £2rc, k e z /(x) = 71 - g(x) + k2n, k e z.
Phương trình sinx = sin/?° có các nghiệm là
X- (3° + £360°,	keZ
và X = 180° -/?° + £360°, ke z.
Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
Các trường hợp đặc biệt:
a = 1 : Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là
X = -7 + k2n, k e z .
2
a = -l : Phương trình sinx = -1 có các nghiệm là
x= -	+ k2n, k e
2
a = 0 : Phương trình sinx - 0 có các nghiệm là
X = kn, k e z .
b) sin X = 4 5
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau :
sinx = — ;
Giải
,	1	™	71	5tí
X = -7 + k2n, k e z	và X = 7t - -7 + k2n = -- + k2n, k e z.
	 1 _ . ..	. rc
Vì — = sin— nên sinx = — sinx = sin--.
Vậy phương trình có các nghiệm là 71 6
2 6 2 6
Ta có sinx = j khi X = arcsiiw. Vậy phương trình sinx = -^ có các nghiêm là
X =arcsin- + k2n, k e z và X = 7Ĩ - arcsin4 + k2n, k e z .
5	5
Giải các phương trình sau :
b) sin(x + 45°) =
a) sinx =
1
Phương trình cosx = a
Trường hợp |ữ| > 1
Phương trình COS X = a vô nghiệm vì lcosxl < 1 với mọix.
Trường hợp Id < 1 Tương tự trường hợp phương trình sinx = a, ta lấy điểm H trên trục côsin sao cho OH = a. Từ H kẻ đường vuông góc với trục côsin, cắt đường tròn lượng giác tại M và M' đối xứng với nhau qua trục côsin (nếu íd =lthìM = M')(h,15).
Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM' là tất cả các nghiệm của phương trình cosx = a.
Gọi a là số đo bang radian của một cung lượng giác AM, ta có :
ry
sâAM = a+ k2n, k e z ;
sđ AM' = -a + k2ĩL, k G z .
Vậy phương trình cosx = a có các nghiệm là
X = ±a + k2ĩt, k e z.
CHÚ Ý
Phương trình COS X - COS a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là
x = ± a + k2n, k g z.
Tổng quát, COS f(x) - cosg(x) /(x) = ±g(x) + k2n,k e z.
Phương trình COS X - COS j3° có các nghiệm là
x = ±j3o + k360°, ke z.
Nếu số thực a thoả mãn các điều kiện
0 < a < 71 cos a = a
thì ta viết a - arccosứ (đọc là ac-côsin-ứ, có nghĩa là cung có côsin bằng ứ). Khi đó, các nghiệm của phương trình COS X = a còn được viết là
X = ± arccos a + k2ĩi, k e z.
Các trường hợp đặc biệt:
• a = ỉ : Phương trình cosx = 1 có các nghiệm là
X - k2n, k e z.
• a = -1 : Phương trình COSX = -1 có các nghiệm là
X = 71 + k2n, k e
• a = 0 : Phương trình COSX = 0 có các nghiệm là
7t
X = 77 + kít, k e z.
a) cosx = COS-7 ;
6
COS 3x = -	;
2
d) COS (x + 60°) = —
2 •
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau :
JX v;	_ „„„ 3k
Vi	= COS— nên
Vi = cos 45° nên
2
72
cos(x + 60°) = y ocos(r + 60°) = cos45° o X + 60° = ± 45° + £360°
(k e Z).
X = -15° + £360c X = -105° + £360°
.Giải các phương trình sau :
a) cosx = —— ;
2
b) cosx = -| ;
Ư3
c) cos(x + 30°) =	.
Phương trình tanx = a
Điều kiện của phương trình là X + kn (k e z).
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = tan X, ta thấy với mỗi số a, đồ thị hàm số y = tan X
Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình tan X - a. Gọìxị là hoành độ giao điểm (tan Aj = ứ) thoả mãn điều kiện —< Xị < y.
Kí hiệu Xj = arctan a (đọc là ac-tang-ữ, nghĩa là cung có tang bằng à). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là
X = arctan a + kn, k & z.
CHÚ Ý
Phương trình tan X = tan a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là
X = a + kn, k e z.
Tổng quát, tan /(x) = tan g(x) => j\x) - g(x) + kn, k e z.
Phương trình tanx = tan /3 ° có các nghiệm là
x = /?° + H80°,£ ẽ z.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau :
tanx=tany; b)tan2x=-^; c) tan(3x + 15°) =5/3 .
Giải
tanx =
tan 2x ■
7t
tan—
5
_j_
3
K
2x = arc tan
1
 X = — arctan 2
+ kĩi
+ k^, k E z. 2
 X = -7 + kn, k e z. 5
Vì 5/3 = tan 60° nên tan(3x + 15°) = V3 tan(3x + 15°) = tan 60° o 3x + 15° = 60° + Ẩ.T8O0 « 3x = 45° + H80°
x= 15° + £60°, £ 6 z. ■
c) tanx = 0.
Giải các phương trình sau :
tanx = 1 ;	b) tanx = -1 ;
Phương trình cotx = a
Điều kiện của phương trình là .V kn, k e z.
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = cot X, ta thấy với mỗi số a, đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = cot X tại các điểm có hoành độ sai khác nhau một bội của 71 (h. 17).
Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình cotx = a.
Gọi Xị là hoành độ giao điểm (cotA'i = a) thoả mãn điều kiện 0 < Xj < 7Ĩ.
Ị
Kí hiệu Xị = arccotữ (đọc là ac-côtang-ữ, nghĩa là cung có cô.tang bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cotx = a là
X = arccotữ + kn, k e z.
CHÚ Ý
Phương trình cotx = cot a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là
X = a + kĩi, 1’ G z.
Tổng quát, cot/(x) - cotg(x) => /(%) = g(x) + kiĩ, k e z.
Phương trình cotv = cot/?° có các nghiệm là
X = J3° + k\M°, k e z.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau :
2ĩr
cot 4x = cot —7- ;
7
cot 3x = -2 ;
cot (2x - 10°) = —L.
<3
Giải
.	. .	'Vĩt . 2ft .	ft . ft _ rn
Cơt4x = cot-7- ộ>4% = -7 + hox = 77+K7, K e z.
7	7	14	4
cot 3x = -2 3x = arccot(-2) + £ft
1	• ft
 X = 7 arccot(-2) + k--, k e z.
3	3
C) VI —Ị= =cotou nen V3
Cơtv2x- 10°) = —f= V3
' — 1 —° -
 cot(2x - 10°) = cot 60°
o2x- 10°= 60°+ ^180°
 X = 35° + £90°, kE z. ■
SGiải các phương trình sau
a)cotx=l;	b)cotx = -l;	-c)cotx = 0.
GHI NHỚ
Mỗi phương trình
sinx = a (lữl < 1); cosx = a (lữl < 1) ; tanx = a ; cotx - a có vô số nghiệm.
Giải các phương trình trên là 7/W tất cả các nghiêm của chúng.
BÀI ĐỌC THÊM
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẢN BẰNG MÁY TÍNH Bỏ TÚI
Có thể sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản. Tuy nhiên, đối với phương trình sin % = a máy chỉ cho kết quả là arcsina với đơn vị là radian hoặc đã được đổi ra độ. Lúc đó, theo công thức nghiệm ta viết các nghiệm là
X = arcsinư + k2ĩt, k e z
và	x= n- arc sin ữ + k2n, k e z.
Tương tự, đối với phương trình COSA = a máy chỉ cho kết quả là arccosư, đối với phương trình tan A = a máy chỉ cho kết quả là arc tan ữ.
Ví dụ. Dùng MTBT CASIO fx - 500 MS, giải các phương trình sau :
a) sin A = 0,5 ;
Giải
b) COSA =	;
c) tàn A = 5/3.
MODE
a) Nếu muốn có đáp số bằng độ thì bấm ba lần phím màn hình hiện ra chữ D. Sau đó bấm liên tiếp
SHIFT
rồi bấm phím WB để
Dòng thứ nhất trên màn hình hiện ra sin 1 0.5 (có nghĩa là arcsin0,5) và kết quả ỏ dòng thứ hai là 30°0°0 (arcsin0,5 đã được đổi ra độ).
Vậy phương trình sin A = 0,5 có các nghiệm là
A = 30°+ £360°, keZ
và	A= 180°-30°+ £360°= 150°+ £360°,
b) Bấm liên tiếp
OIO
Dòng thứ nhất trên màn hình là cos 1 -(1 J 3) (có nghĩa là arccos^—) và kết quả ở dòng thứ hai là 109°28T6.3" (arccos(-|) đã được đổi ra độ).
Vậy phương trình cosx = — có các nghiệm là X a ± 109°28'16" + £360°, k G z.
SHIFT
Bấm liên tiếp
dòng thứ nhất trên màn hình là tan-1 73 (có nghĩa là arctan73) và kết quả ở dòng thứ hai là 60°0°0 (arctan73 đã được đổi ra độ).
Vậy phương trình tanx = 73 có các nghiệm là x = 60° + £180°, k e z. ■
CHÚ Ý
a) Để giải phương trình sin x = 0,5 với kết quả là radian, ta bấm ba
màn hình hiện ra chữ R.
Sau đó, bấm liên tiếp BBS ỈSH ta được kết quả gần đúng là 0,5236 (arcsin0,5 « 0,5236).
Vậy phương trình sinx = 0,5 có các nghiệm là X » 0,5236 + £271, k 6 z
và	xa 71 - 0,5236 + k2n, k eZ.
Để giải phương trình cotx = a bằng MTBT, ta đưa về giải phương
trình tanx = —.
a
Bài tập
b) sin 3x = 1 ;
73
d) sin (2x + 20°) = - 2 ■
Giải các phương trình sau a) sin (x + 2) = J ;
sin| y-| 1=0;
Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sinx bằng nhau ?
Giải các phương trình sau :
a) cos(x - 1) = y ;
b)Cơs3x = COS 12 ;
c)cos
3x 7Ĩ
d) cos22x = —.
2COS2r
4.
5.
6.
7.
Giải phương trình /	- = 0.
l-sin2x
Giải các phương trình sau :
/T
a) tan(% - 15°) =^-;	b) cot(3x - 1) = -73 ;
COS 2x tanx = 0 ;	d) sin 3x cotx = 0.
Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm, số y - tan,^ - x j và
y - tan 2x bằng nhau ?
Giải các phương trình sau :
a) sin 3x - COS 5x = 0 ;	b) tan 3x tanx = 1.