SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
III
Dfly sú. CAP SÚ cOnG
vfi ctfp SÚ rwAn '	
Chương
UtH-HJ ps cipũ PA □!□□□ ps pp:i ps Rtra
Phần đầu của chương giới thiệu Phương pháp quy nạp toán học, một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định toán học, liên quan đến tập số tự nhiên. Đây là một phương pháp chứng minh quan trọng và hữu hiệu trong Toán học.
Phần tiếp theo là các khái niệm cơ bản về c/ãy sổ'(hữu hạn và vô hạn), sẽ được gặp nhiều trong các chương của Giải tích.
Cấp sô'cộng và cấp số nhân là hai dãy số đặc biệt và có nhiều ứng dụng, được trình bày hệ thống và chi tiết ở cuối chương.
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1
Xét hai mệnh đề chứa biến P(ií): "3” /7" với 11 e N*.
Với 11 = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(/7), 2(/z) đúng hay sai ?
Với mọi 77 e N thì P(n), Q(ii) đúng hay sai ?
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên /7 e N là đúng với mọi 7? mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau :
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 77 = 1.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì 77 = k > 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với 77 = k + 1.
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
Một cách đơn giản, ta có thể-hình dung như sau : Mệnh đề đã đúng khi 77 = 1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với 77 = 1 + 1 = 2. Vì nó đúng với /7 = 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với /7 = 2 + 1 = 3, ... Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên 77 G N .
- VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Chứng minh rằng vói 77 e N thì
+ 3 + 5 + ... + (277 - 1) = 772.	(1)
Giải
Bước 1. Khi /7=1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1 .
Vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2. Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k > 1, nghĩa là
sk - 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = Ả'2 (giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là
SĂ.+ 1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2Z: - 1) + [2(Ẳ: + 1) - 1] = (Ẩ: + ỉ)2. Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
%! = SÁ. + [2(k + 1) - 1] = £2 + 2£ + 1 = (£ + l)2.
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi 7? G N . ■
Chứng minh rằng với 77 e N thì
1,0,0.	. „	«(« + l)
2
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với /2 e N thì 7? - /2 chia hết cho 3. Giải. Đặt An = /23 - 77.
Bước 1. Với 7? = 1, ta có A ] =0 : 3.
Bước 2. Giả sử với n = k > 1 ta có
3	9	z
Ak - (Ả' - k): 3 (giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh £+1 : 3.
Thật vậy, ta có
Ak+Ì = (k + l)3 - (A- + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 - k - 1 = (7t3 - Á') + 3(Ả-2 + Ả-)
= Ak + 3{k2 + k).
Theo giả thiết quy nạp Ak : 3, hơn nữa, 3(k + k) : 3 nên ÂẲ.+| : 3.
Vậy An = /2 - /2 chia hết cho 3 với mọi 77 G N . ■
CHÚ Ý
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên) thì :
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p ;
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Cho hai số 3” và 8/2 với n e N .
So sánh 3" với 8/2 khi n = 1.2, 3, 4, 5.
Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quỵ nạp.
Bài tập
Chứng minh rằng với 22 e N*, ta có các đẳng thức : a)2 + 5 + 8 + ... + 3n-l = i^i«.;
22 + 322 + 522 chia hết cho 3 ;
4”+15/2-1 chia hết cho 9 ;
22 + 1122	chia hết cho 6.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 22 > 2, ta có các bất đẳng thức
a)3">3/2+l;	b) 2/ỉ+1 > 2/2 + 3.
^,,„11 1
Cho tong s„ = -~ + -r— + ... + , với n e N 77	1.2	2.3	«(« + !)
Tính Sị, s2, S3.
Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
- X .	z	1X9	. X 1 '•	ỉỉ(ỉỉ 	 3)
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là —
BAN CÓ BIẾT ?
Người ta thường phân biệt hai hình thức suy luận, đó là suy diễn và quy nạp.
Suy diễn hay còn gọi là phép suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đền cụ thể.
Chẳng hạn, từ định lí "Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 đều chia hết cho 5", ta suy ra 135 và 170 chia hết cho 5. Trong suy diễn, nếu mệnh đề tổng quát là đúng thì kết luận có được bao giờ cũng đúng.
Còn quy nạp hay còn gọi là phép quy nạp lại đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát.
Ví dụ : So sánh các số A(n) = 10" 1 với B(n) = 2004 + n, trong đó ne N*. Bằng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta có : A(l) < B(l); Â(2) < B(2); Â(3) < B(3); Â(4) < fi(4). Từ đây, ta kết luận
"10” 1 < 2004 + n với mọi n < 4"	(1)
Rõ ràng kết luận này đúng.
Tuy nhiên, cũng từ kết quả của phép thử trên, nếu vội kết luận :
"10"_1 < 2004 + n với mọi ne N*"	(2)
thì lại sai lầm vì với n = 5 ta có :
104 > 2004 + 5 (tương tự, với n - 6, 7, 8, ...).
Đến đây, nếu kết luận tiếp :
"1O'!_1 >2004 + /? với mọi n > 5",	(3)
sau đó với phép thử, cho dù có nhận được kết quả đúng với n bằng bao nhiêu chăng nữa thì vẫn không thể coi là đã chứng minh được mệnh đề (3).
Mệnh đề (3) sẽ được chứng minh nếu dùng phương pháp quy nạp toán học.
Các mệnh đề (2), (3) có được là kết quả của phép quy nạp không hoàn toàn, trong đó mệnh đề (2) là sai còn mệnh đề (3) là đúng.
Do phép thử chỉ có tính dự đoán, nên kết quả của phép quy nạp không hoàn toàn chỉ là giả thuyết, và việc phải làm tiếp theo là chứng minh hay bác bỏ.
Dưới đây, ta xét thêm vài ví dụ lịch sử.
' 	 , 2"
Phéc-ma (P. Fermat) nhà toán học Pháp (1601 - 1665) khi xét các sô dạng 2	+1
thấy rằng với n = 0, 1,2, 3,4 thì 22°+l = 3; 22' + l=5; 22? + 1 = 17 ; 2z3 + 1 = 257 ;
___	~	A	X,	... 1	'	a'	/
2	+ 1 = 65 537 đểu là những sô nguyên tố. Từ đó, ông dự đoán răng "Mọi so có
dạng 2	+1 với n e N đêu là nhũng sô nguyên tố".
Tuy nhiên, 100 năm sau, nhà toán học Thuỵ Sĩ ơ-le (Euler, 1707 - 1783) lại phát
25
hiện ra rằng 2	+1 không phải là số nguyên tố vì:
225 +1=4 294 967 297 : 641.
Cũng chính Phéc-ma là tác giả của giả thuyết nổi tiếng mà người đời sau gọi là định lí cuối cùng của Phéc-ma : "Phương trình xn + yn = zn không có nghiệm nguyên dương với mọi sô' tự nhiên n > 2". Năm 1993, tức là hơn 350 năm sau, giả thuyết này mới được chứng minh hoàn toàn.
Nhà toán học Đức Lai-bơ-nit (Leibniz 1646 - 1716) đã chứng minh được rằng Vrt e N*
thì /ỉ3 - n : 3 ; rt5'- n : 5, lí1 - n : 7, từ đó ông dự đoán với mọi n nguyên dương
Fermat (1601 - 1665)
và với mọi số lẻ p thì rỉ* - n : p. Tuy nhiên, chỉ ít lâu sau chính ông lại phát hiện ra
29 - 2 = 510 không chia hết cho 9.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xung quanh các giả thuyết có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn (hoặc bằng phép tương tự). Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên, việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học.