SGK Giải Tích 12 - Bài 1. Nguyên hàm
Nguyên hàm ' K Tích phân ứng dụng của tích phân trong hình học 1BH if 4 NGUYÊN HÀM I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm I Tìm hàm số F(x) sao cho F '(x) =/(x) nếu : a) /(-*■) = 3x với X e (-00 ; +oo) ; b) /(X): 1 . X,. _[ % 71 với xe 2;2 COS X V z A Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R. ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số /(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số /(x) trên K nếu F '(x) = /(%) với mọi X e K. Vídụl Hàm số F(x) = X2 là một nguyên hàm của hàm số /(%) = 2x trên khoảng (-00 ; +oo) vì F '(%) = (x2)' = 2x, Vx e (-00 ; +oo). Hàm số F(x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số /(x) = — trên X khoảng (0 ; +oo) vì F '(%) = (lnx)' = —, Vx e (0 ; +oo). X F N Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1. ĐỊNH LÍ 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số /(%) trên K thì với mỗi hằng số c, hàm số ơ(x) = F(x) + c cũng là một nguyên hàm của/(x) trên K. " ® Hãy chứng minh Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của/(x) trên K đều có dạng F(x) + c, với G là một hằng số. Chứng minh. Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của /(x) trên K, tức là G'(x) =/(x), X e K. Khi đó (G(x) - F(x))' = G'(x) - F '(x) =/(x) -/(X) = 0, X e K. Vậy G(x) - F(x) là một hàm số không đổi trên K. Ta có G(x) - F(x) = c => G(x) = F(x) + c,x e K. ■ Hai định lí trên cho thấy : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số/(x) trên K thì F(x) + c, Ce R là họ tất cả các nguyên hàm của/(x) trên K. Kí hiệu J/(x)dx = F(x) + c. CHŨ Ý Biểu thức /(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của /(x), vì dF(x) = F '(x) dx =/(x) dx. Ví dụ 2 Với X e (-00 ; +oo), J2xdx = X2 + c ; Với í 6(0; +oo), f-ds = Ins + c ; J s Với t e (-00 ; +co), Jcosfdr = siní + c. Tính chất của nguyên hàm TÍNH CHẤT 1 J/'(x)dx = /(x) + c. Tính chất này được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm. Ví dụ sau đây minh hoạ cho tính chất đó. (k là hằng số khác 0). (*) p^(x)dx = Ẩ:J/(x)dx Ví dụ 3. J(cosx)'dx = J(-sin x)dx = cosx + c. TÍNH CHẤT 2 Chứng minh. Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x), ta có ạ/U) = F’(x) Vì £ + 0 nên /(x) = ~^F\x) - ^F(x)^ . Từ đó, theo tính chất 1 ta có I Ắ:J/(x)dx = k |Qf(x)^ đ* = *(jFW + cl] = FW + kc\ (C1 e R) = F(x) + c (vì Cị tuỳ ý thuộc R và k 0 nên c = kC\ tuỳýthuộc R) = JV(x)dx (do (*)). B TÍNH CHẤT 3 J[/(x) ± g(x)]dx = J/(x)dx ± Jg(x)dx. í Hãy chứng minh Tính chất 3. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số /(x) = 3 sin X + — trên khoảng (0 ; +00). X Giải. Với X e (0; +oo), ta có / 2 A r r 1 I 3sinx + — dx = 3 fsinxdx + 2 f— dx = -3cosx + 21nx + c. \ X) J Jx Sự tồn tại nguyên hàm Ta thừa nhận định lí dưới đây. ĐỊNH LÍ 3 Mọi hàm số/(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Ví dụ 5 2 Hàm số/(%) = X3 có nguyên hàm trên khoảng (0 ; +oo) và 2 5 íx3dLv = -ịx3 + c. J 5 Hàm số g(x) = —— có nguyên hàm trên từng khoảng (kn ; (k + 1)tĩ) sin2 X (k & Z) và f 1 —-Z—dx = -cot X + c. J sin2 X Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 5 Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền các hàm số thích hợp vào cột bên phải. f’(x) /(A) + c 0 ơ.xa~' 1 X ex ax In a (a > 0, a * 1) cosx —sin.v 1 * COS2 X 1 sin2 X Từ bảng các đạo hàm, ta có bảng nguyên hàm sau đây. Jodr = c ax iaxdx = —— + c (a > 0, a 1) J Ina JcLr = X + c Jcosxdx = sinx + c fyOTj _ 1 ra+l 1 c (rrh n Jsinxdr = -cosx + c 1A OA — A 1 v_z ỵ cz y- 1J J a + 1 i—dr = lnlxl + c f———dr = tanx + c Jx J cos2 X Jexdx = ex+c c 1 —-—dr - -cotx + c J sin2 X Ví dụ 6. Tính : dx trên khoảng (0 ; +oo) ; )dx trên khoảng (-00 ; +oo). F+tì J(3cosx-3X-1 Giải a) Với X e (0 ; +oo) ta có 2x2 + 1 3i~2 dx = 2 Jx2dr + Jx 3dx = |x3 + 3x3 + c = |x3 + 3yfx + c. 3 3 b) Với X 6 (-00 ; +oo) ta có J(3cosx - 3x_1)dx = 3 Jcosxdx - J J3xdx 1 3X 3X_1 = 3sin X — 4;—— + c = 3 sin X — —— + c. 31n3 Ĩn3 CHÚ Ý Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. II - PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số 6 ' a) Cho J(x-l)10dx . Đặt u = x- 1, hãy viết (x-l)10dx theo u và ảu. b) Cho f^U-dx. Đặt X = e', hãy viết ^Ưdx theo t và dí. J X X ĐINH LÍ 1 Nếu J/(zz)dz/ = F(u) + c và u = zz(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì J/(zz(x))zz'(x)dx = F(zz(x)) + c. Chứng minh. Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có (F(z/(x)))' = F\ù).u\x\ Vì F'( u ) =/( u ) = /(zz(x)) nên (F(zz(x)))' = /(zz(x))zz'(x). ■ Như vậy, công thức J/(zz)dzz = F(zz) + c đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập X. HỆ QUẢ Với u = ax + b (ứ 0), ta có ỉf(ax + ờ)dx = — F(ax + b) + c. J a Ví dụ 7. Tính Jsin(3x - l)dx. Giải. Vì Jsinwdw = -COSZZ + c nên theo hệ quả ta có Jsin(3x - l)dx = “Cos(3x - 1) + c. CHÚ Ý Nếu tính nguyên hàm theo biến mới zz (w = w(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến X ban đầu bằng cách thay zz bởi zz(x). Ví dụ 8. Tính í—dx. dx được viết thành -■■■ ■ 1 du. Khi đó, J(x + 1)5 u + 1): Giải. Đặt u=x + ỉ thì «' = 1 và nguyên hàm cần tính trở thành f“ 1 dư = íf-Ặ-;—yÌdu = íư 4 dí/ - iw 5dw = -“.-y + -T'—T + c. J u5 -V u5) J J 3 m3 4 m4 Thay M = X + 1 vào kết quả, ta được X . 1 -dx = ơ + 1)' ơ +1)- 4'x + l 3 + c. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần hay -xsinx = (xcosx)'-cosx. Hãy tính J(xcosx)'dx và JcosxcLr. Từ đó tính Jxsinxdx ĐỊNH LÍ 2 Nếu hai hàm số u = ư(x)'và V = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Jư(x)v'(x)dx = ư(x)v(x) - Jw'(x)v(x)dx X X Chứng minh. Từ công thức đạo hàm của tích hay ta có (ư(x)v(x))' = ư'(x)v(x) + ư(x)v'(x) w(x)v'(x) = (ư(x)v(x))' - ư'(x)v(x), Jw(x)v '(x)dx = J(ư(x)v(x))'dx - Ji/'(x)v(x)dx. Vậy Jỉ/(x)v '(x)dx = ư(x)v(x) - Jí/'(x)v(x)dx. ■ CHÚ Ý Vì v'(x)dx = dv, ỉ/'(x)dx = dư, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng Jwdv = uv - Jvdỉ/. Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần. Ví dụ 9. Tính JxeAdx; b) Jxcosxdx; c) Jlnxdx. Giải Đặt M = X và dv = eAdx, ta có du = dx và V = ex. Do đó JxeAdx - xex - JeAdx = xeA - eA + c. Đặt u = X và dv = cosxdx, ta được du = dx và V = sinx. Vậy Jxcosxdx = xsinx - Jsinxdx hay Jxcosxdx = xsinx + cosx + c. 1 * Đặt M = lnx, dv = dx, ta có du = —dx và V = X. Do đó X Jlnxdx = xlnx - Jdx = xlnx - X + C. Bài tạp 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ? a)e~x và -é~x ; ,\2 , V . 2 b) sin2x và sin X ; c) ( 1 -- < XJ £ XJ ex và 1 - - ex. 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau X ,z , _ X + Vx + 1 a)/(x) = — b)/(x) = 2-1 I Cho P(x) là đa thức của X. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Jp(x)eAdx Jp(x) COS xđx Jp(x) lnxdx u P(x) dv eAdx /(x) = — I - KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong 1 Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng J = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x= 1, x = t (1 < t < 5) (H.45). Tính diện tích <£ của hình r khi í = 5 (H.46). —— ; d)/(x) = sin 5x. COS 3x ; sinzx.cos Tính diện tích S(0 của hình T khi t e [ì ; 5]. x e)/(x) = tan2x ; g)/(x) = e3_2x ; h)/(x)= ——. (1 + x)(l - 2x) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : J(1 - XỶ dx (đặt w = 1 — x) ; Jx(l + x2ỹdx (đặt u = 1 + X2) ; Jcos3xsinxdx (đặt t = cosx) ; đ) —“7—7 (đặtM = eX + !)• J ex + e + 2 Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : a) Jxln(l + x)dx; b) J(x2 + 2x - l)eAdx; Jxsin(2x + l)dx; d) J(1 - x)cosx dx.