SGK Giải Tích 12 - Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO)

  • Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO) trang 1
  • Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO) trang 2
  • Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO) trang 3
  • Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO) trang 4
  • Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO) trang 5
  • Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO) trang 6
5-GIẢI TÍCH 12-A
SỐ PHỨC
1. số/
Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình
X2 + 1 = 0.
Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy
2. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b e R, i2 = -1 được gọi là một số phức.
Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
Tập hợp các số phức kí hiệu là c.
Ví dụ 1. Các số sau là những số phức :
2 + 5/ ; -V2 + 3i ; 1 + (-3)/ (còn viết là 1-3/); 1 + V3/ (còn viết là 1 + /V3). V
-3 + 5/, 4-i\Ỉ2, o+rá, 1 +0/.
' ^Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a + bi-c + dioa = cNữ.b = d.
Ví dụ 2. Tìm các số thực X và y, biết
(2x + 1) + (3y - 2)z' = (% + 2) + (y + 4)/.
Giải. Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có 2x + 1 = X + 2 và 3y - 2 = y + 4.
Vậy X = 1 và y = 3.
CHÚ Ý
Mõi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 a = a + Oz.
Như vậỵ, mỗi số thực cũng là một số phức. Tacó i c c.
Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi
bi = 0 + bi.
Đặc biệt	z' = 0 + 1/.
Số i được gọi là đơn vị ảo.
1	‘	\/3
Viết số phức z có phần thực bằng 4, phần ảo bằng -44.
Biểu diễn hình học số phức
Như trên đã thấy, mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (ứ ; bỴ
Hình 67
Điểm M(ạ ; b) trong một hệ toạ độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là
điểm biểu diễn sô phức z = a + bi
(H.67).	'
Ví dụ 3. (H.68)
Điểm A biểu diễn số phức 3 + 2z'; Điểm B biểu diễn số phức 2 - 3/; Điểm c biểu diễn số phức -3 - 2i Điểm D biểu diễn số phức 3/.
I a) Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ các số phức sau : 3 - 2i, -4/, 3. b) Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng toạ độ ?
Môđun của số phức
Hình 69
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm ; ồ) trên mặt phẳng toạ độ (H.69).
Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của sô phức z và kí hiệu là lzl.
Vậy
bi\ = Vữ
2+b2
hay |ứ + bi\ =
Dễ thấy Ví dụ 4
|3 - 2i| = V32 + (-2)2 = VĨ3 ; |l + /Vãi = ựl + (V3)2 = 2.
Sô' phức nào có môđun bằng 0 ?
6. Số phức liên hợp 5
Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng toạ độ và nêu nhận xét:
2 + 3/ và 2-3/ ;
-2 + 3/ và -2-3/.
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi
a - bi là sô phức liên hợp của z và
£
	_ 2 — a + bi
kí hiệu là z - a - bi.
Ví dụ 5
z = -3 + 2i
;	Z = -3 - 2i;
0
ỉứ x
z = 4 - 3z
9
7 = 4 + 3ỉ.
-b
	z — ữ bi
Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn z
và z đối xứng với nhau qua trục Ox (H.70).
Hình 70
A6
/ ^Choz = 3-2z .
Hãy tính z và z. Nêu nhận xét.
Tính |z| và |z|. Nêu nhận xét.
Từ định nghĩa ta có :
BAN CÓ BIẾT
CÁC-ĐA-NÔ (G.CARDANO)
Các-đa-nô là một nhà bác học người l-ta-li-a. ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y mà trở thành thầy giáo dạy toán, ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách "Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số". Trong cuốn sách này, ông trình bày cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.
G. Cardano
(1501 - 1576)
Bài tập
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
a) z = 1- ni;	b) z = y/ỉ -i;
c) z = 2V2 ;	d) z = -li.
Tìm các sô' thực X và y, biết :
(3x - 2) + (2y + 1)/ - (x + 1) - (y - 5)z';
(1 - 2x) -iy/ĩ = 75 + (1 - 3y)i;
(2x + ỳ) + (2y - x)i = (% - 2y + 3) + (y + 2x + l)z‘.
Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện :
Phần thực của z bằng -2 ;
Phần ảo của z bằng 3 ;
Phần thực của z thuộc khoảng (-1 ; 2);
Phần ảo của z thuộc đoạn [1 ; 3] ;
Phần thực và phần ảo của z đề
Tính|zl với:
z - -2 + Ĩyj3 ; c) z = -5;
Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập điều kiện :
|z| = 1; c) 1 < |z| < 2;
Tìm Z, biết:
z = 1 - iyÍ2; c) z = 5 ;
thuộc đoạn [-2 ; 2],
z = 72-3/;
z = /7Ĩ
rp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn
|z| < 1;
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
z = -72 + /73 ; d) z = 7/.